控制電容參數(shù)對(duì)DCVM Cuk PFC穩(wěn)定性的影響

余鐵鈔，周 群，呂尋齋，劉雪山，劉天成

（四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都610000）

隨著電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展，醫(yī)療、教育、軍事和交通等各個(gè)領(lǐng)域?qū)﹄娏﹄娮与娐返膽?yīng)用越來(lái)越廣泛，同時(shí)，電力電子器件的廣泛使用也對(duì)電網(wǎng)造成了諧波污染。有源功率因數(shù)校正APFC（active power factor correction）變換器是抑制諧波電流、提高功率因數(shù)的有效手段[1-2]。近年來(lái)，APFC變換器的動(dòng)力學(xué)行為引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。已有研究表明，固定開(kāi)關(guān)頻率的APFC變換器同時(shí)存在快開(kāi)關(guān)周期和慢交流輸入電壓周期2種時(shí)間尺度，使其出現(xiàn)3種不同時(shí)間尺度的分岔動(dòng)力學(xué)行為，即：快尺度分岔、中尺度分岔和慢尺度分岔[3]。Tse等[4]對(duì)平均電流控制的Boost PFC變換器進(jìn)行了仿真分析,研究了快尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象,通過(guò)對(duì)Jacobi矩陣特征值的計(jì)算，預(yù)測(cè)了快尺度不穩(wěn)定邊界區(qū)域；Giaouris等[5-7]采用離散映射模型和頻閃映射法研究了峰值電流控制Boost PFC變換器的快尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象，當(dāng)Boost PFC變換器發(fā)生快尺度分岔時(shí)，電感電流紋波和輸入電流諧波畸變?cè)龃?，但仍具有高功率因?shù)[7]；王發(fā)強(qiáng)等[8-11]采用諧波平衡法和Floquet理論研究了Boost PFC變換器的慢尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象，分析了電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

目前，對(duì)高階APFC變換器如Cuk、Sepic和Zeta變換器的研究較少[12-14]。Kavitha等[15]研究了峰值電流控制下連續(xù)電容電壓模式CCVM（continuous capacitor voltage mode）Cuk PFC變換器的快尺度分岔行為；張?jiān)吹萚16]研究了單周期控制Cuk PFC變換器的中尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象，揭示了電路參數(shù)改變引起的Neimark-Sacker分岔，分岔使輸入電流總諧波畸變?cè)龃?、功率因?shù)降低；劉陳瓊等[17]研究PI控制下不連續(xù)電容電壓模式DCVM （discontinuous capacitor voltage mode）Cuk PFC變換器主功率電容C1的慢尺度分岔現(xiàn)象，增大主功率電容C1會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)由穩(wěn)定進(jìn)入混沌，同時(shí)電路也會(huì)由單一的DCVM模式進(jìn)入到多種模態(tài)共存的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生慢尺度分岔時(shí)，輸入電流出現(xiàn)多種諧波成分，引起輸入電流畸變，功率因數(shù)降低；當(dāng)變換器進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí)，功率因數(shù)校正能力完全喪失[18]。因此，深入研究APFC變換器的慢尺度分岔現(xiàn)象具有重要意義。

針對(duì)DCVM Cuk PFC變換器具有開(kāi)關(guān)電流應(yīng)力小、輸入電流紋波小和控制電路簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，本文研究了PI控制電容的改變導(dǎo)致DCVM Cuk PFC變換器的慢尺度分岔現(xiàn)象。首先，描述了DCVM Cuk PFC變換器電路，給出了電路的數(shù)學(xué)模型，軟件仿真了反饋電容的減小引起的慢尺度分岔現(xiàn)象，根據(jù)Floquet理論得出分岔的臨界電容值；比較了控制電容與主功率電容C1引起混沌時(shí)電路模態(tài)的不同。最后，電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 DCVM Cuk PFC變換器電路描述

1.1 電路描述

圖1是PI控制DCVM Cuk PFC變換器電路和PI搭建模塊。圖1（a）中，vin為輸入工頻電壓，其幅值為Vm，周期為T(mén)L；vg為整流橋輸出電壓；i1和i2為電感L1和L2的電流；v1和v2為電容 C1和C2兩端電壓。假設(shè)：電感L1和L2足夠大，電路工作于連續(xù)電感電流模式；電容C1足夠小，電路工作于不連續(xù)電容電壓模式；電容C2足夠大，在半個(gè)工頻周期內(nèi)輸出電壓保持不變。圖1（b）是PI搭建模塊，其中：比例系數(shù) kP=RV/RF，積分系數(shù) kI=1/（RFCV）。

PI控制器的輸出電壓ve與鋸齒波信號(hào)vramp比較，產(chǎn)生PWM控制信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)DCVM Cuk PFC變換器的控制。當(dāng)ve＞vramp時(shí)，比較器輸出高電平，開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通；當(dāng)ve＜vramp時(shí)，比較器輸出低電平，開(kāi)關(guān)管S關(guān)斷。因此，開(kāi)關(guān)管占空比d為

式中：VH為鋸齒波幅值；VL為鋸齒波最小值。

由文獻(xiàn)[15]可知，電容C1的放電時(shí)間與開(kāi)關(guān)周期Ts的比值d1為

根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出功率平衡[16]可得

C1兩端電壓v1與輸入電壓的關(guān)系[19]為

當(dāng)d和開(kāi)關(guān)頻率fs固定時(shí)，DCVM Cuk PFC變換器的等效輸入電阻Re為一常數(shù)[20]，即

由式（9）和式（11）可得電感 L1電流 i1和電感L2電流i2分別為

根據(jù)式（3）的功率平衡方程，忽略Ts內(nèi)電流i1的變化[9]，將式（1）、式（2）、式（4）～式（6）代入式（3），令，則狀態(tài)變量 v2的非線(xiàn)性微積分方程為

由式（7）可知，該式只與狀態(tài)變量v2有關(guān)，含有v2的一階微分、二階微分和積分項(xiàng)。采用諧波平衡法[17]將電壓v2進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略高階項(xiàng)，可以求得電壓v2的近似周期平衡解，通過(guò)式（2）和式（4）～式（6）即可求出各變量的近似周期平衡解。

1.2 電路數(shù)學(xué)模型

DCVM Cuk PFC變換器功率主電路存在3種狀態(tài)：開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通，二極管Do關(guān)斷；開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通，二極管Do導(dǎo)通；開(kāi)關(guān)管 S關(guān)斷，二極管Do導(dǎo)通。則DCVM Cuk PFC變換器功率主電路的狀態(tài)空間方程為

式中：x 為狀態(tài)矢量，x=[v2，i2，v1，i1]T；vg=Vm|sin（2πfLt）|，fL為工頻頻率；Ai和Bi分別為狀態(tài)矩陣和輸入矩陣（i為對(duì)應(yīng)3種狀態(tài)），分別表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[8-11]，可以用DCVM Cuk PFC變換器的狀態(tài)空間方程描述其慢尺度動(dòng)力學(xué)行為。

利用Floquet理論分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即在周期平衡解上施加微小擾動(dòng)來(lái)判定周期解的穩(wěn)定[23]。當(dāng)系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)δ（t）作用時(shí)，設(shè)系統(tǒng)的解為

式中：Y0（t）為周期平衡解，Y0（t）=[V2（t） I2（t） V1（t）I1（t） Ve]；δ（t）為微小擾動(dòng)，δ（t）=[Δv2（t） Δi2（t） Δv1（t）Δi1（t） Δve（t）]。

將式（9）代入式（8）中，進(jìn)行 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，并忽略高階項(xiàng)，可得該系統(tǒng)的微分方程為

式中，JF[t，Y0（t）]為式（8）在 Y0（t）處的 Jacobi矩陣，其周期 T=2π/ω。

對(duì)于式（10），存在一個(gè)基礎(chǔ)解矩陣，即

而該基礎(chǔ)解矩陣存在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣H，H的特征值稱(chēng)為Floquet特征乘子。

根據(jù)Floquet理論，若所有Floquet乘子均在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)的周期解是漸近穩(wěn)定的；若至少有1個(gè)Floquet乘子穿越單位圓，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。Floquet乘子與系統(tǒng)分岔行為之間存在3種關(guān)系，具體如下。

（1）1個(gè)實(shí)Floquet乘子沿著負(fù)實(shí)軸穿越單位圓，而其他乘子均在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔；

（2）1個(gè)實(shí)Floquet乘子沿著正實(shí)軸穿越單位圓，而其他乘子均在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)將發(fā)生叉形分岔；

（3）1對(duì)共軛復(fù)數(shù)Floquet乘子穿越單位圓，而其他乘子均在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

2 DCVM Cuk PFC變換器慢尺度分岔分析與驗(yàn)證

2.1 近似周期平衡解

選擇電路參數(shù)為：vin,rms=75 V，TL=20 ms，Ts=20 μs，C1=47 nF，L1=9.8 mH，L2=250 μH，C2=3 300 μF，RL=20 Ω，Vref=-35 V，VH=10 V，VL=0 V，RF=10 kΩ，RV=10 kΩ。

取電容Cv=100 nF，采用諧波平衡法得到電壓v2和ve，則v2和ve的近似周期平衡解分別為

2.2 控制積分電容Cv對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

當(dāng)Cv=100 nF時(shí)，電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖2所示。由圖2可知，當(dāng)Cv=100 nF時(shí)，電壓v2波形與求得的近似周期平衡解一致，電路工作于周期1狀態(tài)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，功率因數(shù)為0.998 2。

當(dāng)Cv=30 nF時(shí)，電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖3所示。由圖3可知，電路工作于周期2狀態(tài)，電流i1和電壓v2波形的周期都是周期1狀態(tài)時(shí)的2倍，即電路發(fā)生了倍周期分岔，功率因數(shù)0.720 6。

當(dāng)Cv=10 nF時(shí)，電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖4所示。由圖4可知，電路工作于混沌狀態(tài)，電流i1和電壓v2波形的周期都很長(zhǎng)，即系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，功率因數(shù)0.604 2，電路基本失去功率因數(shù)校正能力。

為了確定具體的分岔位置，改變電路參數(shù)Cv。表1是不同電容Cv時(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣的特征值λ，圖5是特征值λ在復(fù)平面內(nèi)的變化軌跡。由表1和圖5可見(jiàn)，當(dāng)Cv≤36 nF時(shí)，有且僅有1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)Floquet乘子穿越出單位圓，系統(tǒng)此時(shí)發(fā)生了倍周期分岔。

2.3 控制比例電阻RV對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

由仿真可得當(dāng)控制比例電阻RV由10 Ω增加至100 kΩ時(shí)，系統(tǒng)仍處于穩(wěn)定狀態(tài)。RV取不同值時(shí)輸入電壓、輸入電流、輸出電壓及電感L1上的電感電流波形不會(huì)發(fā)生變化，仿真波形如圖6所示。由仿真結(jié)果分析可得，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的功率因數(shù)為0.988 2，在一定范圍內(nèi)，比例電阻RV的變化對(duì)系統(tǒng)影響較小。

表1 電容Cv不同時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根及電路狀態(tài)Tab.1 Characteristic roots of transfer matrix and circuit states with different values of capacitance Cv

2.4 電路模態(tài)分析

圖7是控制電容CV取不同值時(shí)電容電壓v1的仿真波形及其局部放大。取CV=100 nF時(shí)，由圖7（a）可見(jiàn)，v1的周期是 0.01 s，由 v1的局部放大波形可知，電容C1工作于DCVM，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)CV=25 nF 時(shí)，由圖 7（b）可以看出，v1的周期變成了0.02 s，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔現(xiàn)象，電容C1工作模式是DCVM。當(dāng)CV=10 nF時(shí)，v1還是工作于DCVM，但此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)喪失了周期性，處于混沌狀態(tài)。表2是主電路電容C1和控制電路電容CV取不同值時(shí)電路模式及狀態(tài)。由圖7和表2可以看到，隨著控制電容CV的減小和主電路電容C1的增大，系統(tǒng)都會(huì)逐漸從穩(wěn)定到混沌。主電路電容C1的增大引起系統(tǒng)由單一的DCVM模式到多種模式共存，而控制電容CV的減小不會(huì)引起系統(tǒng)模態(tài)的改變。

表2 電容C1和CV取不同值時(shí)電路模態(tài)及狀態(tài)Tab.2 Circuit modes and states when capacitance C1 and CVtake different values

2.5 其他參數(shù)對(duì)穩(wěn)定域的影響

當(dāng)輸入電壓發(fā)生變化時(shí)，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，需要重新調(diào)整控制電容，如圖8所示。圖8（a）中，負(fù)載 RL=20 Ω，當(dāng)輸入電壓 vin，rms在 70～160 V 之間變化時(shí)，電路穩(wěn)定運(yùn)行所需電容Cv的臨界值會(huì)越來(lái)越大。同理，vin，rms=75 V改變負(fù)載RL時(shí)，如圖8（b）所示，可見(jiàn)隨著RL的增加，電路穩(wěn)定運(yùn)行所需電容Cv越來(lái)越大；且在臨界穩(wěn)定附近電路雖然是穩(wěn)定的，但是功率因數(shù)不是很高，只有0.88～0.92，因此，要保證高功率因數(shù)，電路設(shè)計(jì)時(shí)要盡量遠(yuǎn)離邊界穩(wěn)定值。PSIM仿真值和理論計(jì)算值的變化規(guī)律一致，且結(jié)果基本相符，為實(shí)際參數(shù)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。由于電路在建模過(guò)程中進(jìn)行了平均簡(jiǎn)化，因此兩者之間存在合理范圍內(nèi)的誤差。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

當(dāng)電容Cv取100 nF時(shí)，DCVM Cuk PFC變換器的穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖 9 所示，圖（a）、（b）、（c）分別為輸入電感電流i1、輸出電壓v2和i1-v2相平面圖的實(shí)驗(yàn)波形。從圖9可見(jiàn)，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行于穩(wěn)定狀態(tài)。隨著電容Cv的減小，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中取Cv為33 nF時(shí)，實(shí)驗(yàn)波形如圖10所示，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔，輸入電流和輸出電壓開(kāi)始畸變。繼續(xù)減小Cv至10 nF時(shí)，得到如圖11所示實(shí)驗(yàn)波形，此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，輸入電流和輸出電壓紋波很大，系統(tǒng)失去功率因數(shù)校正能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與軟件仿真一致，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性。

4 結(jié)語(yǔ)

DCVM Cuk PFC變換器具有開(kāi)關(guān)電流應(yīng)力小、輸入電流紋波小及控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，但其存在著復(fù)雜的非線(xiàn)性行為。本文針對(duì)PI控制的DCVM Cuk PFC變換器，研究了其慢尺度分岔行為現(xiàn)象。研究結(jié)果表明，隨著控制電容參數(shù)的減小，系統(tǒng)發(fā)生慢尺度分岔，輸入電流增大，功率因數(shù)校正能力降低甚至不具備功率因數(shù)校正能力。系統(tǒng)由穩(wěn)定到混沌過(guò)程中，與主功率電容變化的電路存在多種模態(tài)不同，當(dāng)控制電路電容變化時(shí)，其電路模態(tài)始終處于DCVM，并給出了輸入電壓和負(fù)載分別發(fā)生變化時(shí)的電路穩(wěn)定邊界值。搭建實(shí)驗(yàn)電路，驗(yàn)證了理論分析的正確性，為系統(tǒng)電路參數(shù)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。