□邵 虹

一、問題的提出

“圖形與幾何”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的開發(fā)起到積極作用，而且對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展有直接的影響。然而，“圖形與幾何”領(lǐng)域一貫以來(lái)又都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，影響學(xué)生學(xué)業(yè)成就的主要因素與幾何概念理解模糊、幾何思維水平發(fā)展不足息息相關(guān)。

2018 年10 月，浙江省中小學(xué)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心對(duì)全省各縣（市、區(qū)）的小學(xué)實(shí)施了大規(guī)模的監(jiān)測(cè)；2019年6月公布了小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)監(jiān)測(cè)的分析報(bào)告。其中，“圖形與幾何”領(lǐng)域測(cè)試得分率最低的是選擇題第5題——“找出較復(fù)雜圖形中的梯形”。這是一道情境變式題，需要學(xué)生在對(duì)梯形概念有深度理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行應(yīng)用判斷，有較高空間觀念和空間推理能力的要求。

圖1 2018年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷（第5題）[1]

測(cè)試數(shù)據(jù)顯示，在36009 人的抽測(cè)樣本數(shù)中，正確答案（C 選項(xiàng)）的選中率只有17.4%，而其他三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)卻高達(dá)25.3%、53.2%和3.9%。面對(duì)這樣的結(jié)果，我們不得不反思幾何概念教學(xué)中的缺失，但同時(shí)我們也存在一些疑惑：①學(xué)生解決問題時(shí)，對(duì)哪一種梯形的識(shí)別率比較高？②學(xué)生識(shí)別與判斷梯形的依據(jù)是什么？③影響學(xué)生正確判斷的因素有哪些？④學(xué)生解題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的幾何思維層次是怎樣的……由于此題是選擇題，我們只能得到學(xué)生做出選擇的結(jié)果，而對(duì)于學(xué)生解題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的策略和思維過(guò)程卻不得而知。為了更好地顯現(xiàn)學(xué)生的解題過(guò)程、了解幾何概念教學(xué)質(zhì)量、分析幾何思維水平的基本情況和存在問題，筆者決定改變此題的呈現(xiàn)方式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試和分析，以期為改進(jìn)幾何概念教學(xué)提供一些參考。

二、研究的設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

根據(jù)現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，四年級(jí)及以上年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)梯形的概念，能對(duì)一般四邊形和特殊四邊形進(jìn)行整理和分類。因此，筆者選擇了本區(qū)域（使用同一版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材）四年級(jí)學(xué)生96人作為研究對(duì)象。

（二）測(cè)試內(nèi)容

為充分展示解題過(guò)程，分析學(xué)生的思維層次，本次測(cè)試改變了原題的問答方式，通過(guò)開放性的問題解答題展開實(shí)證研究。

圖2 學(xué)生“找出較復(fù)雜圖形中的梯形”測(cè)試問卷

（三）評(píng)價(jià)工具

本研究主要參考SOLO 分類理論五種水平層次的劃分確定能力框架。SOLO 是“觀察到的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)”（Structure of the Observed Learning Outcome）的縮寫，由澳大利亞學(xué)者Biggs 和Collis（1992）所創(chuàng)。SOLO分類理論是在皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。為確定復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程層次提供了一個(gè)通用的框架，是一種以等級(jí)描述為特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法。[2]SOLO把題目的抽象程度和解決問題的復(fù)雜程度分為五種水平（或結(jié)構(gòu)），分別是前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平。SOLO分類理論五種思維水平反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)從量變到質(zhì)變的過(guò)程，清晰、合理地解釋了層次之間的遞進(jìn)！[3]從前結(jié)構(gòu)水平到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平主要反映學(xué)習(xí)水平的量變，從多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平主要反映學(xué)生水平質(zhì)的飛躍,從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平到抽象擴(kuò)展水平預(yù)示著學(xué)習(xí)水平已經(jīng)進(jìn)入一個(gè)更高層次的思維水平。[4]

三、研究的結(jié)果

本研究對(duì)來(lái)自不同學(xué)校的四年級(jí)學(xué)生作答表現(xiàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中S小學(xué)32人、F小學(xué)31人、M小學(xué)33 人，合計(jì)96 人。后繼將分析同一學(xué)校不同年級(jí)學(xué)生的作答表現(xiàn)，分別是S小學(xué)五年級(jí)39人和六年級(jí)40人。根據(jù)SOLO分類理論，筆者針對(duì)學(xué)生的思維水平層次性和差異性進(jìn)行分析。

（一）四年級(jí)學(xué)生的總體表現(xiàn)

四年級(jí)測(cè)試的樣本數(shù)為96 人，能正確找到三個(gè)梯形的有26 人，約占總?cè)藬?shù)的27.1%，不能完整解答或解答錯(cuò)誤的有70 人，約占總?cè)藬?shù)的72.9%。由于本次測(cè)試要求學(xué)生寫出解題過(guò)程，因此學(xué)生對(duì)“哪種梯形的識(shí)別率高？哪種梯形的識(shí)別率低？”就顯而易見了。

表1 四年級(jí)學(xué)生“找出較復(fù)雜圖形中梯形”的情況統(tǒng)計(jì)

從表1可知，學(xué)生從復(fù)雜情境中識(shí)別梯形的能力較弱。此外，題目隱藏的三個(gè)梯形中，梯形ABED 的識(shí)別率最高，共86 人，約占四年級(jí)測(cè)試總?cè)藬?shù)的89.6%；梯形DEFC 的識(shí)別率最低，只有33人，約占總?cè)藬?shù)的34.4%。找到兩個(gè)梯形的48名學(xué)生中，正確識(shí)別梯形ABED的達(dá)到100%；而剩余的圖形以梯形DEFG 居多，找到的學(xué)生有41 人；找到梯形DEFC的只有7人。

（二）SOLO分類評(píng)價(jià)的層次劃分

基于以上數(shù)據(jù)，我們對(duì)學(xué)生“找出較復(fù)雜圖形中的梯形”的結(jié)果有了進(jìn)一步了解。但是，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)性評(píng)價(jià)不僅僅要關(guān)注結(jié)果，還需要關(guān)注認(rèn)知過(guò)程，需要建立思維能力培養(yǎng)的層次。而SOLO 分類理論，就是針對(duì)學(xué)生解決某一個(gè)具體問題時(shí)的表現(xiàn)，通過(guò)描述分析學(xué)習(xí)結(jié)果在思維結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜程度，反映學(xué)生從“量變”到“質(zhì)變”的過(guò)程。因此，SOLO 分類為學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)提供了重要的理論依據(jù)。

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生找出梯形的個(gè)數(shù)不能簡(jiǎn)單地等同于思維層次的劃分，注意點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生對(duì)問題的解決過(guò)程和思維結(jié)構(gòu)上。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐調(diào)整，筆者對(duì)SOLO 分類的五種思維水平進(jìn)行了次層次的分類，并從能力、思維操作、一致性與收斂、應(yīng)答結(jié)構(gòu)四個(gè)方面制定了評(píng)價(jià)框架。[5]層次劃分與描述如表2所示。

表2 描述了SOLO 五種水平層次的重要特征。其中，能力是指不同水平所需要的工作記憶量或注意的廣度。思維操作，是指把數(shù)學(xué)信息、線索與結(jié)果聯(lián)系起來(lái)的一種方式。一致性與收斂，分別是指數(shù)學(xué)信息與得到結(jié)果之間是否存在矛盾以及獲得答案的數(shù)量。應(yīng)答結(jié)構(gòu)，以圖示的形式表示上述的特點(diǎn)，其中×表示不相關(guān)的信息和素材，●表示已經(jīng)向?qū)W生展示過(guò)的相關(guān)素材，○表示沒有向?qū)W生提供過(guò)的素材或者原理。[6]

（三）四年級(jí)學(xué)生思維層次分析

依據(jù)SOLO 分類五種思維水平的次層次水平劃分和描述，筆者對(duì)四年級(jí)學(xué)生解決此題的思維層次做了進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)，如表3所示。

表2 SOLO分類五種思維水平的次層次水平劃分和描述

表3 四年級(jí)學(xué)生“找出較復(fù)雜圖形中的梯形”SOLO分類的層次分析

圖3 四年級(jí)學(xué)生“找出較復(fù)雜圖形中梯形”SOLO分類的層次分析

從圖3的折線統(tǒng)計(jì)圖可見，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平人數(shù)最多，約占四年級(jí)測(cè)試總?cè)藬?shù)的54.2%，其余水平以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)為中軸，向兩側(cè)逐漸降低，呈正態(tài)分布。大部分學(xué)生處于水平2 向水平3 過(guò)渡的階段，即從單一信息的獲取向多個(gè)信息過(guò)渡。學(xué)生在水平4和水平5 表現(xiàn)不佳，主要原因是：①學(xué)生對(duì)梯形特征的本質(zhì)理解和掌握水平較低，多數(shù)學(xué)生只能注意到零散線索，以直觀判斷為主。②學(xué)生對(duì)梯形的整體感知能力薄弱，缺乏從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形的能力和相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)。③無(wú)法有效地將圖中梯形按結(jié)構(gòu)分類，對(duì)共同特征進(jìn)行歸納，并一類一類地進(jìn)行有序表達(dá)。其次，面對(duì)思維水平稍高的情境題，部分學(xué)生不理解題意，不能迅速聯(lián)想到解決問題所需的幾何概念和性質(zhì)，缺乏解題策略。

（四）學(xué)生典型作答的分析

在對(duì)學(xué)生的測(cè)試卷進(jìn)行批改和統(tǒng)計(jì)后，筆者選取了不同水平的典型作答情況，分析學(xué)生的思維水平層次。

1.前結(jié)構(gòu)水平：這部分學(xué)生主要表現(xiàn)為不理解題意和要點(diǎn)，拒絕作答或給出錯(cuò)誤答案。四年級(jí)被測(cè)試學(xué)生中，有3 人卷面上直接寫著“不知道”，拒絕回答是不想動(dòng)腦的表現(xiàn)，從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明他們沒有積極地投入到學(xué)習(xí)和解題中。其余學(xué)生試圖得出一個(gè)結(jié)果，但因未能找到相關(guān)聯(lián)的知識(shí)邏輯，只能胡亂作答。

2.單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平：這部分學(xué)生只能通過(guò)單一的信息，找出一個(gè)梯形。如圖4 所示，根據(jù)梯形的外形特征，四個(gè)角和四條邊直觀判斷。而四個(gè)角和四條邊是所有四邊形的基本要素而非梯形的獨(dú)有特征；或通過(guò)“正方形—三角形”的剩余部分，從形的直觀判斷梯形。

圖4 單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平典例

3.多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平：處于這一水平層次的學(xué)生人數(shù)最多，約占四年級(jí)測(cè)試總?cè)藬?shù)的54.2%。主要有三種表現(xiàn)：①?zèng)]有分析過(guò)程，直接得出兩個(gè)梯形的結(jié)果；②沒有文字分析，用圖像表征出兩個(gè)梯形；③有一些零散、獨(dú)立的文字分析，得出兩個(gè)梯形的結(jié)果。這類回答中包含兩個(gè)或多個(gè)與梯形有關(guān)的信息和線索，用到一定的記憶容量和注意廣度，屬于中等能力。但遺憾的是，這一水平層次的學(xué)生并沒能將各相關(guān)信息聯(lián)系起來(lái)，作為判斷梯形的有力依據(jù)。如圖5 所示，從多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平典例一（1）右側(cè)的草圖可知，學(xué)生已經(jīng)在頭腦中建立了梯形的空間表象，知道梯形有且只有一組對(duì)邊平行的屬性，但是不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。同時(shí)，從單個(gè)基本圖形到多個(gè)組合圖形的尋找過(guò)程，反映出學(xué)生嘗試使用圖形計(jì)數(shù)策略的痕跡。在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平典例一（2）中，學(xué)生同樣羅列了一些信息和線索。與單點(diǎn)結(jié)構(gòu)不同的是，該學(xué)生注意到了梯形的多個(gè)相關(guān)線索——上底、下底、兩條斜線，但是沒有聯(lián)結(jié)這些信息，將上底和下底轉(zhuǎn)化為“一組對(duì)邊平行”的本質(zhì)屬性。

圖5 多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平典例一

此外，根據(jù)表1 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，找到兩個(gè)梯形的48名學(xué)生中，正確識(shí)別梯形ABED的達(dá)到100%；而剩余的圖形以梯形DEFG 居多，找到的學(xué)生有41 人；找到梯形DEFC 的只有7 人。從另一側(cè)面反映，學(xué)生對(duì)直角梯形辨識(shí)度高，他們頭腦中的一般梯形大都是“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊是方向相反的兩條斜邊”，而梯形DEFC 更像是平行四邊形，如圖6所示。

圖6 多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平典例二

4.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：處于這一水平層次的學(xué)生有15人，僅占四年級(jí)測(cè)試總?cè)藬?shù)的15.6%。主要表現(xiàn)為：①利用圖形計(jì)數(shù)策略解題，沒有文字分析，用圖像表示；②利用圖形計(jì)數(shù)策略進(jìn)行概括，有具體的分析過(guò)程；③利用梯形的特征進(jìn)行概括，有具體的分析過(guò)程。這類關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的回答進(jìn)一步將多個(gè)線索聯(lián)系起來(lái)，能用歸納的方式解釋多點(diǎn)結(jié)構(gòu)中零散、獨(dú)立的信息，利用已有的知識(shí)、具體的經(jīng)驗(yàn)，將相關(guān)知識(shí)聯(lián)結(jié)成一個(gè)結(jié)構(gòu)，用以解決問題。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生中，有8人采用了圖形計(jì)數(shù)的策略解決問題。如圖7所示，學(xué)生按照“基本梯形、二合一梯形、三合一梯形”有序地尋找和判斷。同時(shí)，還指出四邊形ABED 和DEFG 是兩個(gè)直角梯形，進(jìn)一步說(shuō)明學(xué)生對(duì)梯形中直角的強(qiáng)刺激和高辨識(shí)度。從對(duì)梯形DEFC的判斷依據(jù)看，學(xué)生直觀感知到其與平行四邊形的差異，用另一組對(duì)邊不相等的條件來(lái)進(jìn)行證明，但未能觸及最本質(zhì)的區(qū)別。

圖7 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平典例一

處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生中，另有7人根據(jù)梯形的概念進(jìn)行判斷和證明。如圖8所示，學(xué)生首先回顧了梯形的概念，而后根據(jù)題目給出的“四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形”的線索，分析找出幾組相互平行的線段——AD∥BC，BE∥AD，EF∥DG，AD∥FG。最后得出，平行線為橫向的有梯形EFCD 和梯形EFGD，平行線為縱向的有梯形ABED。同理，另一位學(xué)生也是通過(guò)“有且只有一組對(duì)邊平行”的屬性進(jìn)行概括與判斷。以上幾種表現(xiàn)，能將知識(shí)聯(lián)結(jié)成一個(gè)體系，屬于高認(rèn)知思維水平，但還是只局限于已經(jīng)教過(guò)的知識(shí)。

圖8 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平典例二

5.抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平：達(dá)到這一思維水平的學(xué)生，不僅能正確找到三個(gè)梯形，還能利用平行線之間的關(guān)系和圖形特征進(jìn)行推斷，超越了現(xiàn)有的素材進(jìn)行歸納，并能類比到平行四邊形特征的判斷，理由充分正確。顯然，抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)所需的工作記憶量或注意的廣度比其他SOLO 分類層次的都要大。如圖9 所示，學(xué)生從邊與邊的位置關(guān)系抽象出概念、原理，并對(duì)素材進(jìn)行一一檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論。“因?yàn)锽E∥AD，AB 不平行ED，為四邊形，故四邊形ABDE 為梯形”，推理過(guò)程已經(jīng)拓展到了梯形的判定定理：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。這類學(xué)生的思維過(guò)程完整、清晰、簡(jiǎn)捷、合乎邏輯，將所有相關(guān)線索和它們之間的關(guān)系建立起一個(gè)抽象的普遍存在的原理，并能逐一證實(shí)這種假設(shè)的正確性和適用性。這樣的表現(xiàn)，屬于最高層次的認(rèn)知思維水平。

圖9 抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平典例一

研究發(fā)現(xiàn)，有個(gè)別學(xué)生已經(jīng)能超越現(xiàn)有的線索和素材，將關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu)概括到一個(gè)更高的抽象水平。如圖10所示，學(xué)生不僅能識(shí)別梯形，還能與鄰近幾何概念進(jìn)行比較，從而得出正確的結(jié)果。學(xué)生通過(guò)證明AD∥BE，而AD≠BE，判定四邊形ABDE是梯形，也就是同一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。這類學(xué)生不僅深度理解了梯形的概念，還將概念拓展到梯形與平行四邊形的判定定理上。筆者對(duì)這類學(xué)生進(jìn)行了訪談，他們認(rèn)為“這道題既考查觀察能力，又把梯形的概念設(shè)計(jì)進(jìn)去”“這道題考查了梯形和平行四邊形的概念和區(qū)別”。由此可見，這類學(xué)生的思維反應(yīng)呈現(xiàn)一致性、整體性和抽象性，屬于最高層次的認(rèn)知思維水平。

圖10 抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平典例二

很顯然，抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平的回答，不是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的死記硬背概念和細(xì)節(jié)，也不是關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是學(xué)生在對(duì)知識(shí)深度理解的基礎(chǔ)上，自我建構(gòu)邏輯體系，是量變到質(zhì)變的飛躍。

此外，研究還發(fā)現(xiàn)，測(cè)試題目的趣味性、難易度和答題的正確率之間有著密切的關(guān)系。

表4 四年級(jí)學(xué)生題目的趣味性、難易度和答題的正確率統(tǒng)計(jì)

從表4 可知，約84.4%的四年級(jí)學(xué)生認(rèn)為此題有趣或比較有趣。訪談時(shí)有的學(xué)生說(shuō)第一次碰到這樣的題目，有挑戰(zhàn)性；有的學(xué)生認(rèn)為這樣的題目可以考考眼力和智商；還有的學(xué)生說(shuō)“它用很巧妙的方法畫出了幾個(gè)梯形，找起來(lái)很有趣”。

另一方面，從表4 可知M 小學(xué)有54.6%的學(xué)生認(rèn)為此題不難，但實(shí)際答題正確率只有24.2%。說(shuō)明學(xué)生在解決開放性問題時(shí)容易入手，容易得到部分結(jié)果，但是忽略了題目要求是找到所有的梯形。F 小學(xué)有19.4%的學(xué)生認(rèn)為很難，22.5%的學(xué)生認(rèn)為比較難，這與他們答題正確率低有很大的相關(guān)性。S 小學(xué)有68.8%的學(xué)生認(rèn)為很難或比較難，訪談時(shí)他們認(rèn)為“這種復(fù)雜的圖形，讓我找出全部很難”“很容易看錯(cuò)、多找或少找了圖形”“有部分線條比較亂，很難讓眼睛無(wú)視無(wú)用的線條”……事實(shí)上，如果沒有深刻理解梯形的概念，不能有序地思考問題，要找出所有梯形并詳細(xì)寫出思考過(guò)程是有一定難度的。

（未完，待續(xù)）