張艷偉 秦孝艷

摘要：在概率論的教學(xué)中能否恰當(dāng)合理地運用“分散難點”的教學(xué)方法，是反映教師教學(xué)水平的一項重要指標(biāo)，也是教好概率論的一種保障。文章通過在概率概念、概率計算、概率理論與概率教學(xué)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)四個方面的教學(xué)中，論述如何運用“分散難點”的教學(xué)方法，展現(xiàn)了“分散難點”的教學(xué)方法在概率論教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重要作用。

關(guān)鍵詞：概率論;教學(xué);分散難點

中圖分類號：G642.4? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）15-0286-03

教學(xué)中能否恰當(dāng)合理地運用“分散難點”的教學(xué)方法，是教師教好學(xué)的一種重要的教學(xué)方法與手段。因為再難的問題只要把難點分散就會變得容易，反之，再容易的問題把難點集中到一塊也將變成難的問題。因此在教學(xué)中要求教師小到一堂課、一個定理、一個概念，大到整個學(xué)科，都應(yīng)恰當(dāng)、合理的運用好“分散難點”的教學(xué)方法，從而獲得更好的教學(xué)效果。

概率統(tǒng)計作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在自然科學(xué)、社會科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域都具有極為廣泛的應(yīng)用。正是概率統(tǒng)計的這種廣泛應(yīng)用性，使得它成為各類專業(yè)大學(xué)生的重要的數(shù)學(xué)必修課之一。不同于確定數(shù)學(xué)，概率論是研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。故在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概率論是教師比較難教、學(xué)生比較難學(xué)的一門數(shù)學(xué)課程，所以在概率論的教學(xué)中能否恰當(dāng)、合理的運用“分散難點”的教學(xué)方法，就顯得更為重要。下面從四個方面簡述在概率論教學(xué)中如何運用“分散難點”的教學(xué)方法。

一、“概率概念”教學(xué)中如何分散難點

在概率概念教學(xué)中分散難點，就是通過概率概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要求[掌握概念的內(nèi)涵（定義），明確概念的外延（分類）]進行分散，構(gòu)造教學(xué)結(jié)構(gòu)，實施教學(xué)。

定義1（概率）：設(shè)F是一事件域，在F上定義實值集函數(shù)P，對每一事件A∈F，函數(shù)值為P（A），如果它滿足如下三個條件：

定義中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法：①P（A）是事件A的單值實函數(shù)。②P（A）滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。③P（A）的定義域是事件域F。

在概率概念教學(xué)中，按以下三個順序分散講授：

1.描述定義。在概率論中事件的發(fā)生都是隨機的，但卻存在著統(tǒng)計規(guī)律，即每個事件發(fā)生的可能性的大小是客觀存在的、確定的。這樣我們就可以依據(jù)每個事件發(fā)生可能性的大小來研究隨機現(xiàn)象。我們把表示事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，即事件A的單值實函數(shù)，稱為事件的概率（概率的描述定義）。

2.概率的性質(zhì)。概率的描述定義雖闡明了概率的本質(zhì)含義，但卻無法知道事件概率的確定值。為了求出概率的確定值，人們根據(jù)對隨機現(xiàn)象長期探究的實踐，總結(jié)出概率的統(tǒng)計定義與古典定義。在這兩個定義中，概率都具有非負(fù)性、規(guī)范性、有限可加性三條基本性質(zhì)。

3.事件域。樣本空間Ω的子集（事件），不一定都是可測的，有時存在不可測的子集，即概率不存在的子集（事件），而概率論只需研究概率存在的事件，這樣我們就把概率存在的事件組成的集合稱為事件域。

綜上所述“事件概率”概念的教學(xué)結(jié)構(gòu)為：描述定義→統(tǒng)計定義→古典定義→事件→概率定義（數(shù)學(xué)定義）。

二、“概率計算”教學(xué)中如何分散難點

在概率計算教學(xué)中分散難點，就是通過概率計算的方法中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，進行分散，構(gòu)造教學(xué)結(jié)構(gòu)，實施教學(xué)。

古典概率計算中，一種重要求概率的方法就是利用排列組合求概率，它也是概率教學(xué)中的一個難點。在教學(xué)中對它我們可以這樣分散難點：復(fù)習(xí)歸納排列組合有關(guān)知識→學(xué)習(xí)在概率論中應(yīng)用的主要類型→學(xué)習(xí)利用排列組合求概率的有關(guān)問題與方法，其教學(xué)結(jié)構(gòu)如下：

1.排列組合有關(guān)知識。理論：加法原理與乘法原理。

類型：

2.在概率論中應(yīng)用排列組合的主要類型。

（1）抽球（樣）問題：從n個不同的球中，一次抽一個球。

①無放回地抽m個球，排成一排，有多少不同結(jié)果（排列問題）。

②無放回地抽m個球，組成一組，有多少不同結(jié)果（組合問題）。

③有放回地抽m個球，排成一排，有多少不同結(jié)果（可重排列問題）。

④有放回地抽m個球，組成一組，有多少不同結(jié)果（可重組合問題）。

（2）分房（占位）問題：m個人分到n個房間去?。╩

①房間認(rèn)為是不同的，每個房間只住一個人，有多少不同結(jié)果（排列問題）。

②房間認(rèn)為是相同的，每個房間只住一個人，有多少不同結(jié)果（組合問題）。

③房間認(rèn)為是不同的，每個房間住的人數(shù)不限，有多少不同結(jié)果（可重排列問題）。

④房間認(rèn)為是相同的，每個房間住的人數(shù)不限，有多少不同結(jié)果（可重組合問題）。

（3）利用排列組合求概率的基本思想方法。

①合理構(gòu)建樣本空間，決定是用排列思想還是用組合思想求概率。若是既能用排列思想也能用組合思想求概率，通常用排列思想求概率，因為用組合思想求概率很容易出錯。

②復(fù)雜問題：分步計算，先選后排。

4.利用排列組合求概率的常見問題。

①概率論中的排列問題：相鄰問題、分隔問題、循環(huán)問題、對稱問題、可重排列問題、不盡相異元素排列問題…等。

②概率論中的組合問題：搭配問題、分班問題、分堆問題、可重組合問題等。

三、“概率理論”教學(xué)中如何分散難點

概率論中的重要理論是大數(shù)定律和中心極限定理。在概率理論教學(xué)中分散難點，就是通過概率理論的產(chǎn)生、建立、完善過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法與實例，進行分散，構(gòu)造教學(xué)結(jié)構(gòu)，實施教學(xué)。

在中心極限定理的教學(xué)中，我們可以通過中心極限定理的產(chǎn)生過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，分散難點，進行教學(xué)，以加深學(xué)生對中心極限定理的理解與掌握。

人們在實踐中發(fā)現(xiàn)，許多隨機現(xiàn)象都服從正態(tài)分布，于是提出兩個問題：（1）為什么正態(tài)分布廣泛存在。（2）滿足什么條件的隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布。這兩個問題從18世紀(jì)開始，在長達(dá)兩個世紀(jì)的時間內(nèi)成為概率論研究的中心，對這兩個問題研究得出的有關(guān)理論稱為中心極限定理。

通過對這兩個問題的研究得出：如果某個隨機變量，是由許多獨立隨機變量的總和組成，而每個隨機變量對于總和都不起主要作用，那么這個隨機變量就近似地服從正態(tài)分布。

因現(xiàn)實世界中，許多隨機現(xiàn)象都是由一些獨立隨機現(xiàn)象的總和組成，且每個隨機現(xiàn)象對于總和都不起主要作用，故服從正態(tài)分布的隨機現(xiàn)象較多。在獨立同分布的中心極限定理中，每個隨機變量都是獨立同分布，故不存在起主要作用的隨機變量，所以和式近似服從正態(tài)分布。

四、“概率教學(xué)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)”教學(xué)中如何分散難點

在概率教學(xué)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)教學(xué)中分散難點，一種方法就是在已知教學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)建過程中，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，通過類比推廣增加建構(gòu)新的教學(xué)結(jié)構(gòu)，進行分散，實施教學(xué)。

對于二維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，就是依據(jù)一維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)，通過類比推廣增加的方法，進行分散，從而建構(gòu)出二維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

1.一維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)：

（1）離散型。

①定義，②表示法，③性質(zhì)，④常見分布，⑤函數(shù)分布。

（2）連續(xù)型。

①定義，②分布密度性質(zhì)，③常見分布，④函數(shù)分布。

2.依據(jù)一維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)，通過類比推廣增加，建構(gòu)二維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)：

通過類比與一維隨機變量分布教學(xué)結(jié)構(gòu)類似的內(nèi)容：

（1）離散型。

①定義，②表示法，③性質(zhì)，④常見分布，⑤函數(shù)分布。

（2）連續(xù)型。

①定義，②分布密度性質(zhì)，③常見分布，④函數(shù)分布。

因二維隨機變量含有二個變量，故需要推廣增加有關(guān)它們間關(guān)系的內(nèi)容。在二維隨機變量分布的教學(xué)結(jié)構(gòu)中需要推廣增加的內(nèi)容：

（1）離散型。

⑥邊際分布，⑦獨立性，⑧條件分布。

（2）連續(xù)型。

⑤邊際分布，⑥獨立，⑦條件分布，⑧極值的分布。

總之，在概率論教學(xué)中恰當(dāng)合理地運用“分散難點”的教學(xué)方法，就能實現(xiàn)教師輕松講、學(xué)生輕松學(xué)，就能使教學(xué)成為藝術(shù)享受，就能使學(xué)生學(xué)得更好，同時它也是反映教師教學(xué)水平的一項重要指標(biāo)。

最后還應(yīng)該指出的是，“分散難點”沒有固定、明確的一般方法，要具體問題，具體分析，但只要教師在備課與教學(xué)過程中，始終想到如何提高教學(xué)質(zhì)量，如何使學(xué)生學(xué)得更好，那么在教學(xué)中就一定會體現(xiàn)“分散難點”的教學(xué)思想或創(chuàng)建出“分散難點”一些具體方法。

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