賈 貝，凌天龍，侯仕軍，劉殿書，王 瀟

（1. 中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；2. 中大爆破公司，北京 102299）

振動數(shù)據(jù)采集過程中，周邊環(huán)境的變化以及傳感器性能的不穩(wěn)定，可能會導(dǎo)致振動波形偏離基線中心。這種在爆破信號中變化慢、周期小且頻率低的成分被稱為信號趨勢項(xiàng)。趨勢項(xiàng)的存在，會使信號的時域分析以及頻域的頻譜圖分析發(fā)生變化，甚至使低頻譜完全失真[1-4]。因此，準(zhǔn)確去除信號趨勢項(xiàng)對提高爆破振動信號分析的精度具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前常用的趨勢項(xiàng)消除方法有最小二乘法、小波法和EMD 法，其中小波法和EMD 法多應(yīng)用于爆破領(lǐng)域。但兩種方法都存在缺陷：小波法需要預(yù)先確定小波基函數(shù)以及分解階數(shù)，不恰當(dāng)?shù)幕瘮?shù)會導(dǎo)致信號重構(gòu)精確性下降[5-8]；EMD 法通過包絡(luò)線分解的結(jié)束判斷標(biāo)準(zhǔn)沒有科學(xué)依據(jù)，可能使IMF 分量出現(xiàn)模態(tài)混疊問題，從而導(dǎo)致IMF 分量失去意義[9-10]。

隨著研究的深入，學(xué)者們提出了許多新的趨勢項(xiàng)去除方法。張勝等[7]利用自適應(yīng)小波去除爆破信號的趨勢項(xiàng)，取得了良好的效果；凌同華等[8]構(gòu)造了雙正交小波基，經(jīng)過試驗(yàn)證明了其在爆破信號處理中具有良好的應(yīng)用性。韓亮等[1]基于EEMD，提出了深孔臺階爆破近區(qū)爆破信號的趨勢項(xiàng)處理方法。類似的研究方法，都是在小波法與EMD 法的基礎(chǔ)上提出的，雖然彌補(bǔ)了兩種方法的部分缺陷，但還是存在一些問題。

Dragomiretskiy 等[11]根據(jù)維納濾波和變分問題的構(gòu)造提出了變分模態(tài)分解（variational mode decomposition，VMD），該方法通過迭代搜尋變分模型最優(yōu)解來確定每個分量的頻率中心及帶寬，從而能夠自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號的頻域剖分及各分量的有效分離。由于VMD 算法處理隨機(jī)信號時具有獨(dú)特的優(yōu)勢，近幾年來被廣泛應(yīng)用于機(jī)械信號的噪聲處理領(lǐng)域。劉宏波[12]構(gòu)建了含有低頻與高頻的分解信號，通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了VMD 算法對構(gòu)建信號的分解效果，證明了VMD 算法對低頻分量信號具有較強(qiáng)的識別能力。

本文中將VMD 算法引入到爆破信號趨勢項(xiàng)的去除領(lǐng)域中，并結(jié)合VMD 算法在處理低頻分量時的優(yōu)勢，提出一種新的爆破信號趨勢項(xiàng)的方法——VMD 法，并證明VMD 法在爆破信號處理領(lǐng)域方面具有更高的準(zhǔn)確性、分辨率與穩(wěn)定性。

1 變分模態(tài)分解原理

VMD 算法把信號分解為多個本征模態(tài)IMF（intrinsic mode functions）分量，且將IMF 分量重新定義為如下式所示的信號：

式中：t 為時間；uk(t)為各IMF 分量；Ak(t)為瞬時幅值，且Ak(t)≥0；φk(t)為瞬時相位，且φk(t)≥0。

EMD 算法獲取IMF 分量時采用循環(huán)篩分剝離的方式，分解非平穩(wěn)隨機(jī)信號過程中時常會出現(xiàn)模態(tài)混疊等缺陷。與EMD 算法不同，VMD 算法將信號分解過程轉(zhuǎn)化為變分求解過程，即把分解問題轉(zhuǎn)移到變分框架內(nèi)處理，通過尋找變分模型的最優(yōu)解獲取IMF 分量，算法核心包括變分問題的構(gòu)造和變分問題的求解。

1.1 變分問題的構(gòu)造

假設(shè)每個模態(tài)分量都緊湊地圍繞一個中心頻率分布，且具有有限帶寬，中心頻率會隨著分解變化而變化。VMD 算法中變分問題的核心為：以輸入信號f(t)等于IMF 分量之和為前提，尋找最小的IMF 分量的預(yù)估帶寬之和，構(gòu)造過程如下。

(1) 對于每個IMF 分量uk(t)，利用希爾伯特變換構(gòu)造解析信號后，通過混合指數(shù)調(diào)諧各自估計(jì)中心頻率的方法，將每個IMF 分量的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶上：

式中：uk={ u1,···, uk}代表分解得到的k 個IMF 分量；ωk={ω1,···, ωk}為各IMF 分量的中心頻率；j 表示虛數(shù)單位； δ (t) 為狄拉克函數(shù)。

(2) 通過解調(diào)信號的高斯平滑度，即計(jì)算式（2）表示的信號梯度的平方L2范數(shù)，估計(jì)出各IMF 分量的帶寬，構(gòu)造的變分問題如下：

1.2 變分問題的求解

為求取式（3）中的約束變分問題，引入懲罰因子α 和Lagrange 乘法算子λ(t)，其中懲罰因子α 為較大的正數(shù)且在高斯噪聲存在的情況下可保證信號的重構(gòu)精度，Lagrange 算子λ(t)使得約束條件保持嚴(yán)格性，構(gòu)造的擴(kuò)展Lagrange 表達(dá)式如下：

（2）執(zhí)行循環(huán)：n=n+1；

（3）對所有ω＞0 的分量,更新uk、ωk。

ukn+1的更新求解過程為：

（4）而后更新λ：

（5）對于給定判別精度e＞0，若滿足下式條件，則停止迭代，否則返回步驟（2）：

2 基于變分模態(tài)分解的趨勢項(xiàng)消除方法

2.1 VMD 法的優(yōu)化原理和參數(shù)確定

圖 1 k=2 的VMD 分解結(jié)果Fig. 1 VMD decomposition results of k=2

變分模態(tài)分解處理信號前需要設(shè)置參數(shù)：懲罰因子α 和分解層數(shù)k。其中懲罰因子α 的取值會影響分解精度，其取值越低各IMF 分量的帶寬越大，取值越高IMF 分量的帶寬越小，甚至?xí)沟贸绦蜻M(jìn)入死循環(huán)，無法得到結(jié)果[11,13]。多數(shù)情況下，研究者[14-18]默認(rèn)將懲罰因子α 設(shè)置為2 倍的輸入信號長度。

與懲罰因子α 相比，分解層數(shù)k 的取值更為重要，因?yàn)槠淙≈抵苯佑绊懛纸饨Y(jié)果?，F(xiàn)階段針對VMD 分解中變量k 的研究還處于起步階段，且沒有形成統(tǒng)一的求解方法。試驗(yàn)表明，含有較大趨勢項(xiàng)，即頻率譜重心處于5 Hz 以下的爆破信號經(jīng)過VMD 算法分解后，得到的一階IMF 分量為信號趨勢項(xiàng)，分解結(jié)果與k 的取值無關(guān)，并隨機(jī)選取某工程數(shù)組實(shí)測信號進(jìn)行驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果如圖1 所示。圖1 中6 種爆破信號趨勢項(xiàng)都被較好地去除，表明采用上述參數(shù)的VMD 分解法具有一定的去除爆破信號趨勢項(xiàng)的能力。因此，含有較大趨勢項(xiàng)的爆破信號經(jīng)過VMD 算法分解后，得到的一階IMF 即為趨勢項(xiàng)，與k 的取值無關(guān)。為了節(jié)省計(jì)算時間，VMD 算法分解信號時應(yīng)取k=2。

2.2 基于VMD 的爆破信號趨勢項(xiàng)去除方法

本文中根據(jù)爆破振動信號的特點(diǎn)，提出一種基于變分模態(tài)分解的微差延遲時間識別方法—VMD 識別法，該方法能夠準(zhǔn)確地提取出信號的趨勢項(xiàng)，并避免過度消除造成的信號失真現(xiàn)象，詳細(xì)步驟如下：

（1）根據(jù)爆破振動信號的長度與采樣頻率等因素，按照前節(jié)方法確定VMD 分解中輸入?yún)?shù)α 的值；分解層數(shù)k 固定取值為2。

（2）提取出1 階IMF 分量，此分量即為信號的趨勢項(xiàng)。（3）原始信號除去趨勢項(xiàng)即可得到對應(yīng)的無趨勢信號。

3 VMD 法適用條件的研究

為了驗(yàn)證本文中提出的VMD 法的適用條件以及有效性，利用無趨勢振動信號v(t)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

式中：s(t)為組合的含有趨勢項(xiàng)的爆破振動信號；v(t)為無趨勢爆破振動信號；n(t)為添加的信號趨勢項(xiàng)，其中a、b 為趨勢項(xiàng)的最大幅值，f1、f2為趨勢項(xiàng)的振動頻率。

爆破信號v(t)的采樣頻率為2 000，因此設(shè)置趨勢項(xiàng)的采樣頻率也為2 000，采樣點(diǎn)數(shù)N=2 000。以圖2（a）中的原始無趨勢爆破信號為例，將圖2（b）所示的趨勢項(xiàng)添加到原始信號中，對混合信號進(jìn)行VMD 分解，結(jié)果如圖2（d）～（f）所示。為了研究VMD 法的適用條件，將分解效果定義為[14]：

式中：ed為分解效果指標(biāo)；T 為信號長度。

通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)分解指標(biāo)ed越大，分解結(jié)果與原始信號相差越大；ed越接近于0，分解結(jié)果與原始信號相差越小，且當(dāng)ed＜0.1 時分解效果較為理想。圖2（f）為VMD 法提取出混合信號的趨勢項(xiàng)與實(shí)際趨勢項(xiàng)的誤差示意圖，其分解效果ed=0.042＜0.1，說明VMD 法成功提取出了此混合信號的趨勢項(xiàng)。

為了初步得到VMD 分解法的適用條件，以不同參數(shù)的趨勢項(xiàng)為例，通過改變趨勢項(xiàng)的頻率和振幅，從而得到不同參數(shù)下VMD 法的分解指標(biāo)分布圖。分別以圖2（a）和圖1 中的信號1 作為原始信號1、2，處理結(jié)果如圖3～4 所示。

觀察圖3 可發(fā)現(xiàn)，VMD 法對不同趨勢項(xiàng)產(chǎn)生的分解效果不同，且趨勢項(xiàng)的頻率與振幅都會對VMD 法分解指標(biāo)產(chǎn)生影響。其中頻率對分解指標(biāo)的影響相對較小，當(dāng)趨勢項(xiàng)頻率處于1～5 Hz 之間時，頻率對分解指標(biāo)的影響基本保持不變。而振幅對分解指標(biāo)影響顯著且振幅越小，VMD 法的分解效果越差。當(dāng)趨勢項(xiàng)振幅超過原始爆破信號最大振幅的1/3 后，VMD 法分解效果較好。

圖 3 信號1 的VMD 法的分解指標(biāo)分布圖Fig. 3 The decomposition effect of VMD method of signal 1

信號2 的處理結(jié)果如圖4（a）～（b）所示，其趨勢項(xiàng)參數(shù)與圖3（c）～（d）相同，對比分解指標(biāo)分布圖可以發(fā)現(xiàn)，趨勢項(xiàng)的頻率和振幅對分解指標(biāo)的影響與信號1 的結(jié)果相同，頻率影響較小，振幅影響顯著，且趨勢項(xiàng)振幅超過原始爆破信號最大振幅的1/3 后，VMD 法分解效果較好。由此可見，VMD 分解法消除信號趨勢項(xiàng)具有一定的普適性。

圖 4 信號2 的VMD 法的分解指標(biāo)分布圖Fig. 4 VMD decomposition effect of signal 2

4 VMD 法與EMD 法識別對比

某隧道工程的爆破施工共設(shè)有6 個段別的雷管，起爆后監(jiān)測的爆破振動信號如圖5 所示，圖中4 個測點(diǎn)的爆破信號均含有明顯的趨勢項(xiàng)，以該4 次爆破信號為例，對信號依次進(jìn)行EMD 法和VMD 法的趨勢項(xiàng)去除處理，識別兩種方法處理結(jié)果的6 個段別雷管對應(yīng)的最大波峰值并繪制表格，如表1 所示。

圖 5 VMD 法與EMD 法的消勢結(jié)果Fig. 5 VMD and EMD methods

對比圖5 中經(jīng)過EMD 法與VMD 法去除趨勢項(xiàng)后的信號，發(fā)現(xiàn)兩種方法消除趨勢的結(jié)果接近；表2 中經(jīng)過兩種方法處理的信號的峰值相差不大，最大差值為0.003 m/s，表明與EMD 法相同，VMD 法也具有消除爆破信號趨勢項(xiàng)的能力。觀察圖5 發(fā)現(xiàn)，EMD 法處理后的前3 條曲線的起始點(diǎn)都不在0 點(diǎn)，即存在端點(diǎn)效應(yīng)，而此現(xiàn)象是由EMD 分解的本身算法造成的；且4 條信號曲線都存在趨勢項(xiàng)殘留問題，例如測點(diǎn)1 曲線在0～0.08 s 時段應(yīng)該為直線，但是仍然具有波動，說明振動信號的趨勢項(xiàng)并沒有被完全去除。端點(diǎn)效應(yīng)以及趨勢項(xiàng)殘留都會對后續(xù)的信號處理工作產(chǎn)生一定的影響。而圖5 中經(jīng)過VMD 處理后的信號既不存在端點(diǎn)效應(yīng)，也沒有較多的趨勢項(xiàng)殘留，因此相比于EMD 法，VMD 法在去除爆破信號趨勢項(xiàng)領(lǐng)域中具有更加廣泛的適用性。

表 1 EMD 法與VMD 法去除趨勢項(xiàng)后的信號的波峰數(shù)值Table 1 Peak value of the signal after removing the trend term by EMD method and VMD method

5 結(jié) 論

針對變分模態(tài)分解的低頻識別優(yōu)勢，詳細(xì)分析了VMD 算法在爆破信號趨勢項(xiàng)去除中的應(yīng)用，主要得出如下結(jié)論：（1） VMD 算法的原理決定了它在低頻信號識別中的優(yōu)勢，如果趨勢項(xiàng)r(t)的功率譜中心頻率ωr(t)在原始信號f(t)的功率譜中起主導(dǎo)作用，則提取出的一階IMF 分量是信號的趨勢項(xiàng)，與k 的取值無關(guān)。結(jié)合現(xiàn)場數(shù)據(jù)進(jìn)行不同k 值的VMD 分解，驗(yàn)證了結(jié)論的準(zhǔn)確性。（2） VMD 法對不同趨勢項(xiàng)產(chǎn)生的分解效果不同，且趨勢項(xiàng)的頻率與振幅都會對VMD 法分解效果產(chǎn)生影響。其中頻率對分解效果的影響相對較小，當(dāng)趨勢項(xiàng)頻率處于1～5 Hz 之間時，頻率對分解效果的影響基本保持不變。振幅對分解效果影響顯著，振幅越小，VMD 法的分解效果越差。（3） VMD 法在消除信號趨勢項(xiàng)時，與EMD 法具有相近的識別效果，可以準(zhǔn)確地提取出信號的趨勢項(xiàng)，具有消除信號趨勢項(xiàng)的能力。相比于EMD 法，VMD 法處理后的信號既不存在端點(diǎn)效應(yīng)，也沒有較多的趨勢項(xiàng)殘留，在去除爆破信號趨勢項(xiàng)領(lǐng)域中具有更加廣泛的適用性。