史妮妮，范 妍，魏 玲

西北大學 數(shù)學學院，西安 710127

1 引言

沖突作為一種普遍現(xiàn)象，廣泛存在于社會問題中。因此，沖突分析的研究在實踐和理論上顯得尤為重要。目前，針對沖突分析的研究已有很多成果[1-16]。其中，Pawlak[10]在1998年針對沖突分析提出了Pawlak模型，指出沖突分析主要研究的是根據(jù)不同態(tài)度將代理人集劃分為不同集合，并解決沖突分析的策略制定問題。在Pawlak 模型中，代理人與議題的關系通過沖突表描述，其中第一列表示代理人，第一行表示議題，用{+,-,0}分別表示代理人對議題持有的三種態(tài)度：贊同、反對、中立。在此模型基礎上，Gao等[11]于2008 年提出了一個新的基于粗糙集的沖突模型。該模型通過引入每個代理人的信息系統(tǒng)和可行方案、全局可行方案和沖突系統(tǒng)的約束條件，從而得出沖突系統(tǒng)的可行方案。同時根據(jù)規(guī)則提取算法給出了一個求解可行方案的算法。繼而，Sun 等于2016 年將Pawlak 模型進行擴展，提出了一個基于雙論域粗糙集理論的沖突分析模型[12]。該模型將代理人和議題視為兩個獨立的論域，并通過兩類集值映射將兩者相聯(lián)系，從而建立了一個通用模型，使得沖突的內(nèi)在原因得以分析，為沖突提供有效的最優(yōu)可行共識策略。進而，以Pawlak 模型為基礎，Lang 等[13]于2017年就Pawlak 提出的代理人集劃分問題進行研究。通過決策粗糙集理論計算出沖突分析的閾值，將沖突中的代理人集劃分為概率沖突集、概率聯(lián)盟集和概率中立集。進而，描述了動態(tài)增量下的代理人集劃分，以及動態(tài)信息系統(tǒng)中的極大聯(lián)盟。

形式概念分析[17-18]于1982 年由Wille 提出，是一種進行知識表示與知識發(fā)現(xiàn)的有力工具。形式概念分析的數(shù)據(jù)基礎是形式背景(U,A,I)，其中U表示對象集，A表示屬性集，I表示對象與屬性之間的二元關系。形式概念分析考慮了形式背景上對象子集與屬性子集之間“具有”關系的共性信息，即“共同具有”，并在此基礎上研究概念格及相關理論。結合形式概念分析與Yao 在2009 年提出的三支決策理論[19]，Qi 等于2014 年提出了三支概念分析[20-21]。該理論在考慮“共同具有”的同時，也考慮了“共同不具有”。因此，三支概念分析能將形式背景中所有共性信息表示出來。繼而Li等于2016 年將三支概念分析推廣到不完備形式背景上，提出了三支近似概念格[22]，將不完備形式背景中對象子集與屬性子集之間關系的共性信息近似表示出來。

在沖突分析中，沖突表反映了各代理人對各議題所持有的態(tài)度：贊同、反對、中立。若將贊同與反對看作確定因素，則三支近似概念格能部分刻畫沖突問題，反映代理人組對議題組所持共同贊同、共同反對的態(tài)度。但其中共同中立態(tài)度并沒有被表示出來，對共性信息的刻畫并不完整。

為了更好地描述沖突分析中的共性信息，本文將贊同、反對、中立分別看作三個不同的屬性值，從而將沖突表轉(zhuǎn)化為三值形式背景[23-24]。在三值形式背景中構造了對象導出廣義三支概念（GOE-概念）。GOE-概念在考慮代理人組對議題組所持共同贊同、共同反對態(tài)度的同時，也考慮了共同中立態(tài)度。因此，GOE-概念格能夠反映沖突表中所有共性信息。

本文在回顧OE-近似概念及相關理論的基礎上，提出了GOE-概念，將GOE-概念格應用到?jīng)_突分析中，對沖突分析進行可視化描述并討論了OE-近似概念格與GOE-概念格在沖突分析中的關系。

2 預備知識

在Pawlak 模型中，代理人與議題之間的關系通過沖突表直觀展示。沖突表是一個二元組(U,A)，U={x1,x2,…,xm}表示代理人全體，A={a1,a2,…,an}表示議題全體，函數(shù)a:U→Va，其中Va={+,-,0}，其中的字符分別表示代理人對議題持有的三種態(tài)度：贊同、反對、中立。接下來給出沖突的案例，如例1 所示。

例1沖突所對應的沖突表如表1 所示。U={1,2,3,4,5,6} 是代理人全體，A={a,b,c,d,e} 是議題全體。+表示代理人對此議題持贊同態(tài)度，-表示代理人對此議題持反對態(tài)度，0 表示代理人對此議題持中立態(tài)度。

以代理人2 為例，代理人2 對議題a持贊同態(tài)度，對議題c、d、e持反對態(tài)度，對議題b持中立態(tài)度。

Table 1 Conflict table表1 沖突表

不完備形式背景與沖突表的形式存在類似，下面介紹不完備形式背景的相關定義。

定義1[25]稱四元組(U,A,{+,?,-},T) 為一個不完備形式背景，其中U={x1,x2,…,xn}為對象集，A={a1,a2,…,am}為屬性集。{+,?,-}為屬性值集。T為映射：U×A→{+,?,-}，其中(x,a,+)∈T表示對象x具有屬性a，(x,a,?)∈T表示不確定對象x是否具有屬性a，(x,a,-)∈T表示對象x不具有屬性a。

基于不完備形式背景，Li等[22]定義了正負算子。

對于任意的X∈P(U)，B∈P(A)，其中P(U)表示U的冪集，P(A)表示A的冪集。正算子定義如下：

基于正負算子，Li 等給出了不完備形式背景上的三支近似算子及其逆算子的定義。

定義2[22]設IC=(U,A,{+,?,-},T)為不完備形式背景，對于任意的X,Y∈P(U),B,C∈P(A)，其中P(S)表示S的冪集，DP(S)表示P(S)×P(S)，三支近似算子定義如下：

其逆算子定義如下：

以上兩對算子的性質(zhì)如性質(zhì)1 所示。

性質(zhì)1[22]設IC=(U,A,{+,?,-},T)為不完備形式背景，對于任意的X,X1,X2∈P(U)，?,?1,?2∈P(A)，有：

基于三支近似算子及其逆算子，可得OE-近似概念如下。

定義3[22]設IC=(U,A,{+,?,-},T)為不完備形式背景，X∈P(U),B,C∈P(A)，若滿足X?=(B,C),(B,C)?=X，則稱(X,(B,C))是對象導出三支近似概念（簡稱為OE-近似概念），其中稱X為(X,(B,C))的外延，稱(B,C)為(X,(B,C))的內(nèi)涵。

不完備形式背景上所有OE-近似概念集合記為OEL(IC)。

OE-近似概念間的偏序關系定義為：

OE-近似概念內(nèi)涵間的包含關系，交并運算定義為：

因此，OEL(IC)為完備格，稱不完備形式背景上的OE-近似概念格。

不完備形式背景上OE-近似概念格的外延集記為OELE(IC)。

例2將表1 中表示中立態(tài)度的“0”用“?”來替換，從而形成不完備形式背景(U,A,{+,?,-},T)表2。

該不完備形式背景形成的OE-近似概念格如圖1所示。

不完備形式背景(U,A,{+,?,-},T) 上的所有OE-近似概念，不僅反映了代理人組共同贊同和共同反對的議題，還反映了該代理人組是共同持有這樣態(tài)度的最大代理人組。例如，概念(25,(a,cde))表示代理人2 和5 共同對議題a持贊同態(tài)度，共同對議題c、d、e持反對態(tài)度。并且表示共同對議題a持贊同態(tài)度，共同對議題c、d、e持反對態(tài)度的最大代理人組是代理人2 和5。

Table 2 Incomplete context (U,A,{+,?,-},T)converted from table 1表2 由沖突表表1 轉(zhuǎn)換的不完備形式背景(U,A,{+,?,-},T)

Fig.1 OEL(IC)圖1 IC 的OE-近似概念格

這種將沖突表轉(zhuǎn)化成不完備形式背景的方式使中立態(tài)度未顯現(xiàn)，但OE-近似概念對沖突表中共同贊同與共同反對的信息反映是全面的。因此，OE-近似概念能夠表示沖突表中的部分共性信息。接下來，本文將沖突表看作三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)，其中，“+”表示代理人對議題持贊同態(tài)度；“-”表示代理人對議題持反對態(tài)度；“0”表示代理人對議題持中立態(tài)度。此時，不完備形式背景中的“?”可看作三值形式背景中的“0”。因此，三值形式背景上也可形成OE-近似概念，并且其上的OE-近似概念與不完備形式背景上的OE-近似概念考慮的共性相同。故三值形式背景上的OE-近似概念格與不完備形式背景上的OE-近似概念格等價。除此之外，也可以通過三值形式背景反映持中立態(tài)度的共性。

3 GOE-概念格

本章給出GOE-概念的定義及基本理論。

GOE-概念的產(chǎn)生源于在OE-近似概念上引入了一種新的算子——中立算子，其定義如下。

定義4設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，對于任意的X∈P(U),B∈P(A)，其中P(U)表示U的冪集，P(A)表示A的冪集。中立算子定義如下：

中立算子與正算子具有相似性質(zhì)，其性質(zhì)如下。

性質(zhì)2設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，對于任意的X,X1,X2∈P(U),B,B1,B2∈P(A),有：

基于中立算子，可得三值形式背景上的中立概念如下。

定義5設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，X∈P(U),B∈P(A)，若滿足X°=B,B°=X，則稱(X,B) 是(U,A,{+,0,-},T)的一個中立概念。其中稱X為(X,B)的外延，稱B為(X,B)的內(nèi)涵。

三值形式背景上所有中立概念集合記為CEL。

中立概念間的偏序關系定義為：

中立概念間的上下確界為：

則CEL為完備格，稱其為三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)上的中立概念格。

例3例1 三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)所對應的中立概念格如圖2 所示。

Fig.2 CEL(U,A,{+,0,-},T)圖2 (U,A,{+,0,-},T)的中立概念格

三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)上的所有中立概念，都能夠描述沖突分析中共同中立的信息，反映代理人組對議題組持有的共同中立態(tài)度，以及對議題組持有共同中立態(tài)度的代理人組。例如，中立概念(46,ad)表示代理人4、6對議題a、d持共同中立態(tài)度，以及對議題a、d持共同中立態(tài)度的代理人是4、6。

下面在三支近似算子及其逆算子和中立算子的基礎上，給出廣義三支算子及其逆算子的定義。

定義6設(U,A,{+,0,- },T)為三值形式背景，對于任意X,Y,Z∈P(U),B,C,D∈P(A)，其中P(S)表示S的冪集，TP(S)表示P(S)×P(S)×P(S)，廣義三支算子定義如下：

其逆算子定義如下：

廣義三支算子及其逆算子的性質(zhì)如性質(zhì)3 所示。

性質(zhì)3設(U,A,{+,0,- },T)為三值形式背景，對于任意的X,X1,X2∈P(U),?,?1,?2∈TP(A),有：

證明由廣義三支算子及其逆算子的定義可知：（1）和（2）成立。

（3）由（1）和（2）可證X????X?；同時用X?代替?，由（2）可證明X??X???，則X?=X???，??=????對偶可證。

（4）?：由（1）可知，當X???時，有????X?。又由（2）?????,因此??X?。

?：由（1）可知，當??X?時，有X?????。又由（2）X?X??,因此X???。

（5）由于(X1?X2)?=((X1?X2)?,(X1?X2)°)，由性質(zhì)1 的（5）與性質(zhì)2 的（5）可知，上式等于=對偶可證。 □

基于廣義三支算子及其逆算子，可得GOE-概念如下。

定義7設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，X∈P(U),B,C,D∈P(A)，若滿足X?=(B,C,D) 且(B,C,D)?=X，則稱(X,(B,C,D))是對象導出廣義三支概念（簡稱為GOE-概念，在GOE-概念中，內(nèi)涵部分的三個屬性子集之間兩兩互斥），其中稱X為(X,(B,C,D)) 的外延，稱(B,C,D)為(X,(B,C,D))的內(nèi)涵。

三值形式背景上所有GOE-概念集合記為GOEL。

定義GOE-概念間的偏序關系為：

GOE-概念內(nèi)涵間的包含關系、交并運算定義為：

在GOE-概念及其偏序關系基礎上，下面給出GOEL是完備格的定理。

定理1設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，GOELE是GOE-概念格的外延集，若(X1,(B1,C1,D1)),(X2,(B2,C2,D2))是GOE-概念，則：

也是概念，從而GOEL為完備格。

證明因為(X1,(B1,C1,D1)),(X2,(B2,C2,D2))是GOE-概念，所以X1=(B1,C1,D1)?,=(B1,C1,D1),X2=(B2,C2,D2)?,=(B2,C2,D2)，令(B1,C1,D1)=?1,(B2,C2,D2)=?2，則由性質(zhì)3 的（3）與（5）可得(X1?X2)?==(?1??2)??,(?1??2)???=(?1??2)?==X1?X2。則(X1?X2,(?1??2)??)是GOE-概念。因此(X1?X2)??=X1?X2，則X1?X2∈GOELE，又 因 為U??=U，則U∈GOELE，即GOELE是完備格。類似的，由性質(zhì)3 的（3）與（5）得(X1?X2)???=(X1?X2)?==?1??2,(?1??2)?=()?=(X1?X2)??，則((X1?X2)??,?1??2)是GOE-概念，因此令(X1?X2)??=X，則X??=X，又因為X1?X2?(X1?X2)??=X，所以X是{X1,X2}的上界。若Y為GOELE的任意上界，則Y??=Y，則X1?X2?Y?(X1?X2)???Y???X?Y，則X是 最 小上界，即上確界。又因為X1∧X2=X1?X2，所以X1?X2是下確界，由GOE-概念間偏序關系及GOELE?GOEL，可得GOEL是完備格。即稱其為三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)上的GOE-概念格。 □

推論1設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，GOEL為三值形式背景上GOE-概念格，GOELE={X∈P(U)|X??=X}為GOEL的外延集，GOELI={?∈TP(A)|???=?}為GOEL的內(nèi)涵集，則GOELE??GOEL（其中表示GOELI的對偶）。

例4例1 三值形式背景(U,A,{+,0,-},T)所對應的GOE-概念格如圖3 所示。

在三值形式背景(U,A,{+,0,-},T) 中，GOE-概念格相較于OE-近似概念格，其中的每一個概念都能夠描述沖突分析背景下更多的共性。GOE-概念不僅反映了代理人組共同贊同和共同反對的議題，還反映了代理人組共同中立的議題。并且反映了該代理人組是共同持有這樣態(tài)度的最大代理人組。例如，GOE-概念(46,(?,c,ad))不僅表示代理人4、6 沒有共同對任何議題持贊同態(tài)度，共同對議題c持反對態(tài)度，還表示代理人4、6 共同對議題a、d持中立態(tài)度。并且表示沒有共同對任何議題持贊同態(tài)度，共同對議題c持反對態(tài)度，且共同對議題a、d持中立態(tài)度的最大代理人組是代理人4、6。

4 GOE-概念格與OE-近似概念格的關系

GOE-概念格相較于OE-近似概念格能夠更精細、更完整地描述沖突分析背景中的共性。其所反映的沖突分析共性信息更豐富。以下結論給出詳細說明。

定理2設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，OELE是三值形式背景上OE-近似概念格的外延集，GOELE是三值形式背景上GOE-概念格的外延集，則OELE?GOELE。

證明若X∈OELE，則(X,(B,C))∈OEL，因此(B,C)?=X=B*?，又由X?=(X*,)=(B,C)，故X*=B,=C。又 由GOEL定 義 可 知X?=(B,C,X°),(B,C,X°)?=B*??X°°。又 由X?X°°，故X?X°°=X，則(B,C,X°)?=X?X°°=X。因此(X,(B,C,X°))∈GOEL，則X∈GOELE，即OELE?GOELE。 □

定理2 從概念外延角度，表明GOE-概念相較于OE-近似概念，有更多的外延。體現(xiàn)在沖突分析中，則表示有更多的代理人組。

Fig.3 GOEL(U,A,{+,0,-},T)圖3 (U,A,{+,0,-},T)的GOE-概念格

定理3設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，OEL是三值形式背景上的OE-近似概念格，GOEL是三值形式背景上的GOE-概念格，對于任意的(X1,(B1,C1))∈OEL,(X2,(B2,C2,D2))∈GOEL，若B1=B2,C1=C2，則X2?X1。

證明因為(X1,(B1,C1))∈OEL,(X2,(B2,C2,D))∈GOEL，所以(B1,C1)?==X1，(B2,C2,D)?=?D°=X2。由于B1=B2,C1=C2，則X1=???D°=?D°=X2。即X2?X1。 □

推論2設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，CEL是三值形式背景上的中立概念格，對于任意的(X1,D1)∈CEL,(X2,(B2,C2,D2))∈GOEL，若D1=D2，則X2?X1。

定理3 與推論2 進一步從概念角度，表明GOE-概念相較于OE-近似概念，有更多的代理人組。

定理4設(U,A,{+,0,-},T) 為三值形式背景，若(X,(B,C,D))∈GOEL，則((B,C)?,(B,C))∈OEL且(D°,D)∈CEL。

證明因為(X,(B,C,D))∈GOEL，則有X?=(B,C,D),X*=B,=C,X°=D，所以X?=(B,C),X??=(B,C)?，因此((B,C)?,(B,C))=(X??,X?) 。又由X??=X??，且由性質(zhì)1 的（3）有X???=X?，則((B,C)?,(B,C))=(X??,X?)是一個OE-近似概念，即((B,C)?,(B,C))∈OEL。又因為(X,(B,C,D))∈GOEL，則有X°=D,D°=X°°，因此(D°,D)=(X°°,X°)。又由性質(zhì)2 的（7）有(X°°,X°)是一個中立概念，則(D°,D)∈CEL。 □

定理4 從概念角度，說明了GOE-概念和OE-近似概念的一種對應關系。表明GOE-概念相較于OE-近似概念，能將三種不同態(tài)度完整地描述出來。

定理5設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，存在OEL到GOEL的保交序嵌入。

證明定義映射f:OEL→GOEL為f((X,(B,C)))=(X,(B,C,X°))。首先，對于任意的(X1,(B1,C1)),(X2,(B2,C2))∈OEL，有：

則

因此，f是保交映射。

其次，由于(X1,(B1,C1))≤(X2,(B2,C2))?X1?X2,?(X1,(B1,C1,))≤(X2,(B2,C2,))?f((X1,(B1,C1)))≤f((X2,(B2,C2)))，因此f是序嵌入，即f是保交序嵌入。 □

但值得注意的是，f不是OEL到GOEL的保并序嵌入。如例5 所示。

例5三值形式背景(U1,A1,{+,0,-},T1) 如表3 所示，其中U1={1,2,3},A1={a,b,c,d,e}。

Table 3 Three-valued context (U1,A1,{+,0,-},T1)表3 三值形式背景(U1,A1,{+,0,-},T1)

例5三值形式背景(U1,A1,{+,0,-},T1)所對應的OE-近似概念格與GOE-概念格分別如圖4、圖5 所示。

Fig.4 OEL(U1,A1,{+,0,-},T1)圖4 (U1,A1,{+,0,-},T1)的OE-近似概念格

從而可知：

因 此f((1,(ab,cd))∨(3,(cd,?)))≠f((1,(ab,cd)))∨f((3,(cd,?)))，即f不是OEL到GOEL的保并序嵌入。

Fig.5 GOEL(U1,A1,{+,0,-},T1)圖5 (U1,A1,{+,0,-},T1)的GOE-概念格

推論3設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，定義映 射f:OEL→GOEL為f((X,(B,C)))=(X,(B,C,X°))，若|GOEL|=|OEL|，則f是雙射（其中|·|表示集合的個數(shù)）。

證明要證f是雙射，需證f是單射且是滿射。首先證f是單射，若(X1,(B1,C1))≠(X2,(B2,C2))，則X1≠X2,(B1,C1)≠(B2,C2)，則(X1,(B1,C1,))≠(X2,(B2,C2,))，因此f是單射。其次證f是滿射，由于|GOEL|=|OEL|，故對任意的(X,(B,C,X°))∈GOEL，有(X,(B,C))∈OEL。則f是滿射，即f是雙射。 □

定理5 與推論3 從格結構的角度，進一步表明GOE-概念格相較于OE-近似概念格，能夠反映更多代理人組的共性信息。

定理6設(U,A,{+,0,-},T)為三值形式背景，則存在GOEL到OEL×CEL的保并序嵌入。

證明定義映射f:GOEL→OEL×CEL為f((X,(B,C,D)))=(((B,C)?,(B,C)),(D°,D))。

首先，對任意的(X1,(B1,C1,D1)),(X2,(B2,C2,D2))∈GOEL，有：

則f((X1,(B1,C1,D1))∨(X2,(B2,C2,D2)))=f((X1,(B1,C1,D1)))∨f((X2,(B2,C2,D2)))。因此，f是保并映射。

其次，由于(X1,(B1,C1,D1))≤(X2,(B2,C2,D2))?(B2,C2,D2)?(B1,C1,D1)?(B2,C2)?(B1,C1) 且D2?D1?(B1,C1)??(B2,C2)?且?(((B1,C1)?,(B1,C1)),(,D1))≤(((B2,C2)?,(B2,C2)),(,D2))?f((X1,(B1,C1,D1)))≤f((X2,(B2,C2,D2)))，因此，f是序嵌入，即f是保并序嵌入?！?/p>

但值得注意的是，f不是GOEL到OEL×CEL的保交序嵌入。如例6 所示。

例6例5 三值形式背景(U1,A1,{+,0,-},T1)對應的中立概念格如圖6 所示。

Fig.6 CEL(U1,A1,{+,0,-},T1)圖6 (U1,A1,{+,0,-},T1)的中立概念格

從而可知：

因此，f((12,(b,?,?))∧(13,(?,?,e)))≠f((12,(b,?,?)))∧f((13,(?,?,e)))。即f不是GOEL到OEL×CEL的保交序嵌入。

定理6 從格結構的角度，建立了GOEL與OEL×CEL的對應關系。

5 結束語

本文在沖突分析背景下，先將沖突表轉(zhuǎn)換為三值形式背景，給出三值形式背景上GOE-概念的定義與相關性質(zhì)。然后，利用GOE-概念格對沖突分析進行共性描述。它所形成的GOE-概念格將沖突表中的信息可視化，反映的共性信息更全面更豐富。不僅反映了代理人組對議題組持有的共同贊同和共同反對態(tài)度，還反映了代理人組對議題組持有的共同中立態(tài)度。最后將OE-近似概念格與GOE-概念格進行比較，討論了兩者之間的關系，進而說明了GOE-概念格對沖突分析的共性描述更豐富、完整。

GOE-概念格反映的共性比OE-近似概念格更多，更有利于反映沖突分析中關于意見的一致性。后期將進一步就其屬性約簡與規(guī)則獲取進行研究，并與沖突分析結合，以期得到更多的知識。