陜西省漢中市四〇五學(xué)校 (723312) 侯有岐

在近年的各類考試中，經(jīng)常涉及三角形面積及相關(guān)問題的最值或取值范圍的問題.此類問題往往前景活潑多樣，難度較大，解決的思維方式多變，解決的方法也多種多樣.因此一直備受命題者的青睞.這里以一道高二考試題為例，探索如何解決此類問題的常見解法，希望有益于大家理解題目的本質(zhì)，同時(shí)注意體會(huì)在解題過程中，如何適時(shí)實(shí)施轉(zhuǎn)化化歸的方法.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2019年洛陽市高二數(shù)學(xué)考試第12題)

本題通過已知三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)及點(diǎn)的特殊位置，進(jìn)而求解三角形面積的最大值.解決問題時(shí)可以從“數(shù)”的角度和“形”的角度兩方面入手，使數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，這樣就可以利用多種思想方法完成，從而有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、多解思維

設(shè)ab=t(ab≥2)，則y=-3t2+24t-36

思維角度3：根據(jù)已知及“點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)”，由三角形中線定理得到a,b的關(guān)系式a2+b2=4ab-4，由余弦定理得8=a2+b2-2abcos∠ACB,兩式結(jié)合得出6=ab(2-cos∠ACB),再利用系數(shù)的轉(zhuǎn)化與配對(duì)并結(jié)合不等式(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時(shí)取等號(hào))*得出三角形面積的最大值.

三、解后反思

三角形問題是高考中?？嫉目键c(diǎn).解決此類問題時(shí)，不但要時(shí)刻想到正、余弦定理,而且要熟悉三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)、向量等有關(guān)知識(shí).這類題目一般要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法從幾何角度來尋找解題途徑，然后通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算加以解決，所以在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，要指導(dǎo)學(xué)生細(xì)心審題，認(rèn)真計(jì)算，合理轉(zhuǎn)化，逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.