張龍文 盧朝輝

摘要：基于隨機(jī)函數(shù)一譜表示模型，提出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩的計(jì)算方法，發(fā)展了非高斯隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析的高階矩方法：（1）修正了隨機(jī)函數(shù)單個(gè)基本隨機(jī)變量的離散點(diǎn)集表達(dá)式;（2）根據(jù)修正的離散點(diǎn)集生成少量的非高斯加速度時(shí)程樣本并進(jìn)行結(jié)構(gòu)時(shí)程分析，從而估計(jì)得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的前四階矩（均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度）;（3）提出了四階矩可靠指標(biāo)的完整表達(dá)，并應(yīng)用于計(jì)算在非高斯隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度。最后，以雙自由度系統(tǒng)及八層框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析為算例，驗(yàn)證了本文方法的精確性與高效性：在樣本數(shù)量明顯減少的情形下，本文方法計(jì)算的前四階矩與Monte Carlo模擬結(jié)果相比最大相對(duì)誤差為5.54%，且動(dòng)力可靠度分析結(jié)果幾乎一致。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)函數(shù)一譜表示;動(dòng)力可靠度;非高斯隨機(jī)激勵(lì);前四階矩;四階矩法

中圖分類號(hào)：0324;TU311.3;0213.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）02-0265-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.006

引言

在工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析中，為了簡化計(jì)算，往往將隨機(jī)激勵(lì)視為高斯過程。然而，在實(shí)際工程中，隨機(jī)激勵(lì)如地震、風(fēng)荷載以及波浪力等均表現(xiàn)為非高斯特性，在非高斯隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)即使是線性系統(tǒng)也表現(xiàn)為非高斯特性。此時(shí)，利用經(jīng)典的Poisson模型或Markov模型計(jì)算首次穿越概率或動(dòng)力可靠度將可能產(chǎn)生很大的誤差。研究者們開始探究工程中非高斯隨機(jī)過程的動(dòng)力可靠度問題，但目前只能針對(duì)一些特定的非高斯過程，如wiener過程，且計(jì)算較為復(fù)雜。一般地，計(jì)算基于首次穿越破壞機(jī)制的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度可以轉(zhuǎn)換為計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值分布的問題。在概率統(tǒng)計(jì)分析中，隨機(jī)變量前四階矩（均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度與峰度）具有明確物理意義，能夠反映分布特性且相對(duì)容易求解。因此，本文試圖通過求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的前四階矩，進(jìn)而利用高階矩方法實(shí)現(xiàn)非高斯隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析。

非高斯隨機(jī)激勵(lì)模型的選擇直接影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析與響應(yīng)極值前四階矩的計(jì)算。非高斯隨機(jī)激勵(lì)研究已取得了一些進(jìn)展，例如，sakamoto等基于兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)以及Karhunen-Lofve（K-L）展開，發(fā)展了非高斯隨機(jī)過程合成方法，但由于模型較為復(fù)雜，利用其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)有一定的計(jì)算困難。還有一些為某一具體非高斯分布的隨機(jī)激勵(lì)類型提出的方法，使得結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算方法只能適用于某一特定情況而不具有一般性。例如，Grigoriu等基于Shanon的采樣定理和MonteCarlo模擬（MCS）發(fā)展的計(jì)算矩的方法，在結(jié)構(gòu)分析中，僅考慮了平穩(wěn)帶限非高斯過程激勵(lì);waisman等利用攝動(dòng)法對(duì)Duffing振子進(jìn)行了分析，考慮的非高斯激勵(lì)類型為濾過Poisson過程多項(xiàng)式。盡管在非高斯隨機(jī)激勵(lì)下，MCS方法可用于計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的前四階矩，然而，MCS方法計(jì)算耗時(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)較復(fù)雜且失效概率較小時(shí)，計(jì)算效率更低。為了提高計(jì)算效率，陳建兵等提出了隨機(jī)過程的隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)式，減少了隨機(jī)變量的數(shù)量。同時(shí)，陳建兵等進(jìn)一步對(duì)譜表示方法的隨機(jī)過程中的頻率選點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化。近年來，Liu等提出了隨機(jī)函數(shù)一譜表示方法，僅用1到2個(gè)基本隨機(jī)變量較為簡單地表示非高斯隨機(jī)過程，該方法進(jìn)一步減少了隨機(jī)過程的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)，且計(jì)算效率明顯提高。同時(shí)，該方法為進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)下的高效結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析以及統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算提供了一條新的途徑。然而，該方法所產(chǎn)生的加速度時(shí)程的均值可能不為0，原因在于離散點(diǎn)集在0點(diǎn)及其附近對(duì)應(yīng)的正交隨機(jī)變量均值取值會(huì)發(fā)生突變。

鑒于此，本文基于隨機(jī)函數(shù)一譜表示模型，采用單個(gè)基本隨機(jī)變量，修正了離散點(diǎn)集的表達(dá)式，進(jìn)而提出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩的計(jì)算方法并結(jié)合四階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)應(yīng)用于非高斯隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力可靠度分析。本文以胡聿賢一周錫元功率譜為例，基于修正的離散點(diǎn)集表達(dá)式得到了一系列有限少量輸入樣本時(shí)程，并說明了獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩的過程;最后，結(jié)合雙自由度系統(tǒng)及八層框架結(jié)構(gòu)算例說明了本文方法在結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩的計(jì)算及動(dòng)力可靠度分析中的高效性與精確性。

1基于隨機(jī)函數(shù)-譜表示模型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩計(jì)算

1.1隨機(jī)函數(shù)-譜表示模型

Shinozuka等提出了用譜表示方法模擬隨機(jī)過程的一般原理。該方法算法簡單，但計(jì)算工作量較大。為了有效地減少隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，Liu等結(jié)合隨機(jī)函數(shù)，利用1到2個(gè)基本隨機(jī)變量表示隨機(jī)過程，并給出了非高斯隨機(jī)激勵(lì)的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)形式。利用譜表示模型表示的均值為0的隨機(jī)過程F（t）表達(dá)為

1.3結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩

當(dāng)給定目標(biāo)功率譜密度函數(shù)后，根據(jù)式（1），（2），（6）可以獲得一系列的均值為0的加速度時(shí)程樣本。將樣本時(shí)程輸入結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，可以獲得所需的結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩，具體步驟如下：

（1）根據(jù)式（6）初步確定基本正交隨機(jī)變量的代表點(diǎn)集，初步可設(shè)為1000。

（2）模擬非高斯加速度時(shí)程樣本。根據(jù)步驟（1）得到的代表點(diǎn)集代人式（2），可以得到一系列的{Xn，Yn），再根據(jù)Matlab自帶程序得到{Xk，Yk），進(jìn)一步根據(jù)式（1）可得對(duì)應(yīng)的非高斯加速度時(shí)程樣本。當(dāng)計(jì)算所得的非高斯加速度時(shí)程樣本的功率譜均值、加速度時(shí)程均值及標(biāo)準(zhǔn)差與其目標(biāo)值擬合良好，則說明確定的點(diǎn)數(shù)滿足要求。若不能擬合良好，則回到步驟1重新確定點(diǎn)數(shù)。在本文中設(shè)置計(jì)算的均值與其目標(biāo)值的允許誤差為0.5;標(biāo)準(zhǔn)差、功率譜與其目標(biāo)值的允許相對(duì)誤差為5%。

（3）根據(jù)生成的非高斯加速度時(shí)程樣本對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，進(jìn)而得到各非高斯加速度時(shí)程下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值樣本。最后，對(duì)響應(yīng)極值樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的前四階矩。

利用本文建議的離散點(diǎn)集公式（6）以及式（1）計(jì)算得到1000條非高斯加速度時(shí)程樣本，如圖7所示。圖8給出了1000條加速度時(shí)程計(jì)算得到的平均功率譜與其目標(biāo)功率譜的擬合曲線，兩者功率譜的相對(duì)誤差控制在5%以內(nèi)。從圖8可以看出，功率譜密度函數(shù)擬合情況良好，曲線基本重合。圖9為根據(jù)式（1）計(jì)算得到的一條典型的加速度時(shí)程樣本，樣本的持續(xù)時(shí)問為20s。圖10（a），（b）分別給出了1000條加速度時(shí)程樣本計(jì)算的總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的目標(biāo)值的擬合曲線，其中均值與其目標(biāo)值的最大允許誤差為0.5，標(biāo)準(zhǔn)差與其目標(biāo)值的允許相對(duì)誤差為5%，從圖10（a），（b）分別可以看出，均值、標(biāo)準(zhǔn)差與其目標(biāo)值均擬合良好。

為了說明生成的非高斯加速度過程的非高斯特性，圖11給出了非高斯加速度過程樣本分布與正態(tài)分布的概率密度函數(shù)PDF，從圖中可以看出，非高斯隨機(jī)過程樣本分布與正態(tài)分布有一定的差異，差異的原因在于非高斯隨機(jī)過程樣本的高階矩如偏度與峰度（三階矩與四階矩）對(duì)分布的概率密度函數(shù)有一定的影響。

3.2雙自由度體系

考慮一個(gè)雙自由度體系（如圖12所示），在上述非高斯隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力可靠度問題。設(shè)體系的質(zhì)量m1=1000kg，m2=2000kg，K1=K2=K3=10。N/m分別為三段連接彈簧的剛度。

為了與本文方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，圖13給出了m1在不同模擬次數(shù)下的位移響應(yīng)極值前四階矩（均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度）的變化曲線圖。從圖中可以看出當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到10000次時(shí)基本穩(wěn)定，因此本文選取10000個(gè)樣本下的MCS計(jì)算值為標(biāo)準(zhǔn)值如表1所示。根據(jù)第1節(jié)所述的隨機(jī)激勵(lì)，計(jì)算得到m1的位移響應(yīng)極值，如圖14給出了m1位移響應(yīng)極值的概率密度函數(shù)（PDF），同時(shí)給出了正態(tài)分布下的PDF。從圖14可以看出，由于響應(yīng)極值的非高斯特性，m1響應(yīng)極值的概率分布與正態(tài)分布有很大的差異。接著，根據(jù)本文方法計(jì)算m1的響應(yīng)極值前四階矩，結(jié)果如表1所示。同理，表1也給出了利用本文方法與MCS計(jì)算的m2的位移響應(yīng)極值前四階矩。從表1可以看出，利用1000個(gè)點(diǎn)計(jì)算得到的前四階矩與10000個(gè)樣本下的MCS結(jié)果基本吻合，最大相對(duì)誤差為2.45%，最小相對(duì)誤差為0.08%。

接著，根據(jù)計(jì)算的前四階矩以及第2節(jié)所述方法計(jì)算該體系m1，m2在不同界限下的失效概率及可靠指標(biāo)，分別如圖15及16所示。同時(shí)，圖15及16均給出了10000個(gè)樣本下MCS方法的計(jì)算結(jié)果。圖15給出了質(zhì)點(diǎn)m1從極值位移均值附近開始增大的界限值即R=15至30mm下的失效概率與可靠指標(biāo)。圖16給出了質(zhì)點(diǎn)m2從位移極值均值附近開始增大的界限值即R=20至40mm下的失效概率與可靠指標(biāo)。從圖15和16均可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果與MCS結(jié)果擬合良好，曲線基本重合。由于本文方法只需1000個(gè)點(diǎn)就能得到MCS方法10000個(gè)樣本下的結(jié)果，說明了本文方法的高效性與精確性。

3.38層框架結(jié)構(gòu)

從表2可以看出，本文方法計(jì)算得到結(jié)果基本與MCS結(jié)果吻合：其中，本文方法計(jì)算的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的大部分?jǐn)?shù)據(jù)與MCS計(jì)算結(jié)果相同（保留4位有效數(shù)字），三階矩a3s的最大相對(duì)誤差為4.47%，四階矩a4s的最大相對(duì)誤差為5.54%。

根據(jù)表2各層的前四階矩，圖18給出了各層層問位移角極值的均值曲線，從圖中可以看出第二層的層問位移角極值的均值最大。為了計(jì)算該框架結(jié)構(gòu)體系的失效概率，本例以層問位移角極值均值最大的第二層可靠度作為該框架結(jié)構(gòu)的整體可靠度。因此，利用第二層層問位移角極值的前四階矩進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析。根據(jù)表2第2層的前四階矩，利用本文方法分別計(jì)算界限R=0.020%，0.021%，0.022%，0.023%，0.024%，0.025%的結(jié)構(gòu)失效概率與可靠指標(biāo)。

如圖19所示，給出了本文方法計(jì)算的在不同界限下的失效概率與可靠指標(biāo)。同時(shí)，圖19也給出了10000個(gè)樣本下MCS的計(jì)算結(jié)果。從圖19（a）的失效概率曲線與圖19（b）的可靠指標(biāo)曲線均可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果與MCS計(jì)算得到的曲線基本重合，進(jìn)一步說明了本文方法的高效性與精確性。

4結(jié)論

（1）改進(jìn)了隨機(jī)函數(shù)中一個(gè)基本隨機(jī)變量的離散點(diǎn)集表達(dá)式，保證了生成的加速度時(shí)程樣本均值為0。通過1000個(gè)離散點(diǎn)集產(chǎn)生的加速度時(shí)程樣本集合能夠很好地?cái)M合目標(biāo)功率譜、目標(biāo)均值與目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）提出了非高斯隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值前四階矩的計(jì)算方法與四階矩可靠指標(biāo)的完整顯式表達(dá)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展了基于高階矩法的動(dòng)力可靠度分析方法。

（3）通過對(duì)雙自由度體系以及八層框架結(jié)構(gòu)分析，說明了本文方法在非高斯隨機(jī)激勵(lì)下計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的運(yùn)用。計(jì)算結(jié)果表明本文1000個(gè)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果與MCS結(jié)果吻合，說明了本文方法的高效性與精確性。

（4）在實(shí)際工程中，由于地震、脈動(dòng)風(fēng)等都具有一定的非平穩(wěn)性，因此，在后續(xù)的研究中，考慮非平穩(wěn)非高斯隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度是需要進(jìn)一步深入的問題。