景慧麗, 方曉峰

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引言

第二類(lèi)平面曲線積分[1]是多元函數(shù)積分學(xué)中一個(gè)很重要的概念，其物理意義是變力沿曲線做功，有很重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[2]。計(jì)算第二類(lèi)平面曲線積分常用的方法有：寫(xiě)出積分曲線的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積分、利用格林公式將其轉(zhuǎn)化成二重積分、利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算[3]等，當(dāng)然每種方法都有自己的使用條件和適用范圍。另外，有的題目可以用多種方法計(jì)算，所以第二類(lèi)平面曲線積分的計(jì)算是比較開(kāi)放的，當(dāng)然這種開(kāi)放性對(duì)培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維是很有幫助的。本文就一道第二類(lèi)平面曲線積分題目的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行探討，提出4種計(jì)算方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維。

1 例題

解法1先將積分路徑補(bǔ)充成封閉曲線，再利用格林公式。

補(bǔ)充l1:y=0，x從-a變到a，令P=x2-y+y2，Q=y2-x，記L和l1所圍區(qū)域?yàn)镈，則

若轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分，則

若轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分，則

解法2先將積分曲線方程代入被積函數(shù)中，再利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。

注3解法2利用了“可以把積分路徑的方程代入被積函數(shù)中簡(jiǎn)化曲線積分的計(jì)算”這一特質(zhì)，這一特質(zhì)的應(yīng)用把原本與積分路徑有關(guān)的曲線積分轉(zhuǎn)化成了與積分路徑無(wú)關(guān)的曲線積分，大大簡(jiǎn)化了曲線積分的計(jì)算。計(jì)算曲線積分時(shí)可以首先考慮該特質(zhì)，計(jì)算曲面積分時(shí)，也可以將積分曲面的方程代入被積函數(shù)中簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)算。

解法3先利用曲線積分關(guān)于被積函數(shù)的可加性,再分別利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的性質(zhì)以及將曲線積分直接轉(zhuǎn)化成定積分。因?yàn)?/p>

解法4寫(xiě)出積分路徑L的參數(shù)方程，直接將曲線積分轉(zhuǎn)化成定積分。

注5解法4的關(guān)鍵是對(duì)積分路徑L的參數(shù)方程的選取，如果能巧妙地選擇積分路徑的參數(shù)方程，那么曲線積分的計(jì)算就會(huì)事半功倍。選取積分路徑的參數(shù)方程的一般原則是：要結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)和積分路徑的特征選取。

2 小結(jié)

此類(lèi)第二類(lèi)平面曲線積分題目的不同解法，其實(shí)很多極限、定積分、不定積分、重積分以及第二類(lèi)曲面積分的題目都可以用多種思路和方法求解，在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教員要適當(dāng)?shù)貞?yīng)用一題多解的題目組織教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)員積極參與教學(xué)活動(dòng)，敢于標(biāo)新立異，勇于提出問(wèn)題、開(kāi)展交流和討論，這樣才有利于學(xué)員突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和綜合能力[5-6]。