張 碩， 李金鑫， 楊繼勇， 薛澤利， 張海豐

(佳木斯大學 理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在非相對論量子力學中，諧振子模型是能夠嚴格求解的基本物理模型，其在原子核表面振動、分子振動、輻射場振動、晶格振動等方面都有廣泛的應用，因而得到了大量的研究，例如：王亞輝研究了非對易空間中阻尼諧振子的Wigner函數(shù)[1-2]；吳淑蕊分析了量子諧振子在非對易空間中的性質(zhì)[3]；居康康研究了量子耗散諧振子的躍遷幾率[4]；郁華玲使用階梯算符分析了諧振子能量及相干態(tài)[5]；李鳳敏對磁場中三維各向異性諧振子哈密頓量進行了對角化處理[6]；李興華研究了球坐標系下三維各向同性諧振子的類經(jīng)典態(tài)[7]；林蓉利用二次型理論對雙模耦合諧振子的能級進行了精確求解[8]。本文將給出求坐標系中角動量平方算符和三維諧振子哈密頓算符的本征值和本征波函數(shù)，為量子問題的代數(shù)解法提供理論支持。

1 球坐標系下角動量平方算符的本征值和本征波函數(shù)

(1)

(2)

令Y(θ,φ)=Φ(φ)Θ(θ)，則根據(jù)分離變量法，可以得到.

(3)

(4)

(5)

(6)

所以式(5)得到

Φ(φ)=eimφ

(7)

按照周期函數(shù)的性質(zhì)，Φ(φ)滿足周期性條件Φ(φ+2π)=Φ(φ)，即e2πim=1，所以m=0，±1，±2，…。

令式(6)中x=cosθ，則

(8)

所以式(6)變?yōu)?/p>

(9)

進一步變形可以得到勒讓德方程

(10)

當對上式做空間反演時，即注意，x→-x，式(10)不變，即表明上式具有對稱性。當m2=0時，式(10)變?yōu)?/p>

(11)

[(s+n)(s+n+1)-λ](anxs+n)}=0

(12)

對于式(12)系數(shù)必須為零，所以

(s+n+2)(s+n+1)an+2=

[(1+n)(s+n+1)-λ]an

(13)

即

(14)

(15)

所以，式(10)的通解為

(16)

2 球坐標系下三維各向同性諧振子的本征值和本征波函數(shù)

取直角坐標系下三維各向同性諧振子的哈密頓算符為

(17)

首先將動量算符改寫為如下形式

(18)

在球坐標系下上式表示為

(19)

利用式(1)可得

(20)

所以，在球坐標系中，哈密頓算符表示為

(21)

(22)

亦或

(23)

所以徑向方程可以表示為

(24)

令μ(r)=rR(r)，則上式變?yōu)?/p>

(25)

(26a)

當r取較大值時，式(26a)變?yōu)?/p>

(26b)

所以對于r取較大值的情況，令

u(r)～g(r)e-β2/2

(27)

所以

(g″-βg-βrg′+β2r2g)e-βr2/2

(28)

于是可得g(r)的微分方程

(29)

取級數(shù)展開式

(30a)

因為a0≠0，所以

(30b)

(30c)

由于

(31)

于是式(29)變?yōu)?/p>

(32)

當n=-2時

[s(s-1)-l(l+1)]a0=0

(33)

因為a0≠0，所以

s=l+1

(34)

當n=-1時

[s(s+1)-l(l+1)]a1=0

(35)

因為s=l+1，得到a1=0，所以式(32)中

(36)

根據(jù)本征波函數(shù)的自然條件可知，本征波函數(shù)應該是有界的，所以截取g(r)為n0項有限次冪多項式，令an0=0，所以

(37)

即

(38)

所以可得能量本征值為

(39)

可見，所得的本征值和直角坐標系下得到的結(jié)果是一致的。

3 結(jié) 論