伯努利方程對流體力學理論建立的歷史貢獻

劉沛清 趙蕓可

(北京航空航天大學陸士嘉實驗室，北京100191)

1 伯努利方程的建立

學過流體力學的人們知道，在1738 年瑞士數(shù)學世家丹尼爾·伯努利[1](Daniel Bernoulli，1700—1782，如圖1 所示)將質(zhì)點運動的動能定理運用于同一微元流管的兩截面上，導出了表征一元流機械能守恒方程，即著名的理想流體定常流動的能量方程(后稱為伯努利方程)。同時在建立這個方程時，伯努利所用的局部跟隨流體質(zhì)點的分析思想，后來(1755年)被瑞士數(shù)學家與流體力學家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)概括為描述流體運動的流場法，在流體力學中得到廣泛應用。

對于理想不可壓縮流體的定常流動，在質(zhì)量力為重力作用下，伯努利方程表明：沿同一條流線單位重量流體質(zhì)點所具有的總機械能守恒(單位重量流體質(zhì)點的位置勢能、壓強勢能和動能之和不變，或總水頭為常數(shù))，即其中，z為流體質(zhì)點的位置；p為流體質(zhì)點的壓強；V為流體質(zhì)點的速度；γ為流體容重；g為重力加速度；H= C 為常數(shù)(單位重量流體質(zhì)點所具有的總機械能即總水頭)，如圖2所示。在不計質(zhì)量力的條件下(空氣的質(zhì)量密度小，可以忽略重力的影響)，此時沿同一條流線[2]單位體積流體質(zhì)點所具有的壓強勢能和動能之和不變，總壓不變，即

其中，po為流體質(zhì)點的總壓，p為流體質(zhì)點的靜壓，為流體質(zhì)點的動壓[3]。

圖1 瑞士流體力學家伯努利

圖2 理想流體的伯努利方程幾何表示

任何理論都是在大量實驗研究的基礎上發(fā)展起來的，流體力學理論的建立也不例外，從歷史發(fā)展角度看，如果沒有大量的流動實驗成果，如果沒有微積分的出現(xiàn)和連續(xù)介質(zhì)力學，就不會有伯努利方程的建立?？梢院敛豢鋸埖卣f，伯努利方程為人們研究流體運動大開腦洞，起到了里程碑的作用，如果沒有伯努利方程不可能將一些貌似不相干的現(xiàn)象用統(tǒng)一理論公式精確表達；如果沒有伯努利方程的建模思想，也不可能有后來的表征理想流體微團運動的歐拉方程組；如果沒有Euler方程組，更不會推廣到表征黏性流體微團運動的Navier–Stokes 方程組(N–S 方程組)。當然，如果沒有這些，就不會有流體力學的基本理論，也不會有后來的邊界層理論、湍流、流動控制、氣動噪聲等理論的建立，概括起來可以用圖3 表達流體力學和空氣動力學的發(fā)展歷程[1]。伯努利方程作為流體力學的核心方程，起到靈魂的作用。以下通過具體應用和理論推廣說明。

圖3 流體力學和空氣動力學的發(fā)展歷程

2 伯努利方程的應用

2.1 流體靜力學原理

公元前250 年，受西西里島敘拉古國王檢驗皇冠之委托，阿基米德(Archimedes，古希臘人，公元前287—公元前212)研究了力平衡原理，提出著名的流體力學浮力定理，也是流體靜力學的一部分。這個著名的流體浮力原理，在伯努利方程出現(xiàn)之后，人們驚奇地發(fā)現(xiàn)它是在靜止狀態(tài)下伯努利方程的精準表達，即

其中，z為流體質(zhì)點的位置；p為流體質(zhì)點的壓強；γ為流體容重；C 為常數(shù)。1653 年，法國科學家帕斯卡(Pascal B，1623—1662)提出了流體靜壓力傳遞原理(即帕斯卡定理)，并制成了首臺水壓機(如圖4所示)，也是利用了靜止狀態(tài)下的伯努利方程。

圖4 水壓機原理

2.2 定?？卓诔隽鞴?/h3>

1643 年，意大利科學家托里拆利(Torricelli E，1608—1647)通過大量的孔口出流實驗，提出了定?？卓诔隽鞯幕竟?，表明孔口出流速度與孔口上的水深h平方根成正比，即

其中，h為液面高度；Vc為出口水流速度。這個方程實際也是伯努利方程在大氣壓明流下的精確表達形式。其物理意義是，單位重量流體質(zhì)點從1 液面位置運動到2 出口位置，其所具有的重力勢能轉變成為相應的動能[4]，如圖5所示。

圖5 在大氣壓出流條件下的伯努利方程表示

2.3 皮托管測速儀[2]

1732 年，法國水力工程師畢托(Henri Pitot，1695—1771)發(fā)明了一種測量流體中總壓的裝置，即皮托管(如圖6 所示，也有叫畢托管)。皮托發(fā)現(xiàn)河流中的水柱高度正比于皮托管入口水深處流速的平方，水流中任意一點的速度大小，可以對同一點分別用總壓管和靜壓管的測量值之差獲得。1905 年世界流體力學大師普朗特(Ludwig Prandtl，1875—1953)將這一方法發(fā)展成為同時測量流體總壓和靜壓的裝置，提出了普朗特風速管，也叫皮托管測速儀(如圖7 所示)。皮托管測速原理，也是伯努利方程的精確表達，表明流體質(zhì)點的動壓等于同一點流體質(zhì)點的總壓與靜壓之差，即

其中，p0為總壓；ps為測速位置的靜壓；V0為所測速度。

圖6 畢托總壓管(伯努利方程應用)

圖7 普朗特風速管(皮托管測速儀)

2.4 文丘里流量計與一元管流理論建立[2]

1797 年意大利物理學家文丘里(Venturi GB，1746—1822)通過對變截面管道實驗，發(fā)現(xiàn)最小截面處速度增大、壓強減小(文丘里效應)，提出利用這一效應和連續(xù)條件測量管道流體流量的收縮擴張型管道，即文丘里管(如圖8所示)。其基本原理(如圖9所示)是：對于通過理想不可壓縮流體的水平管道，如果在管道中插入一段先收縮后擴張的管段，根據(jù)文丘里效應，建立管道收縮前1 斷面和收縮后2 斷面之間的伯努利方程，并利用連續(xù)性條件，可得管道通過的體積流量，即

其中，Q為流量；V1,p1,A1分別為為截面1處速度，所測壓強，截面積；V2,p2,A2分別為為截面2處速度，所測壓強，截面積。

以后所發(fā)展的一元管流和一元總流理論都是基于一元流伯努利方程和連續(xù)方程得到的。

圖8 文丘里流量管

圖9 文丘里流量計原理(伯努利方程在管流中的應用)

2.5 翼型繞流原理

1687年，英國科學家牛頓(Isaac Newton，1642—1727)在其著的《自然哲學之數(shù)學原理》中首次提出作用于翼型上的升力或阻力與速度平方、空氣密度和翼型弦長成正比[1]，后人在此基礎上寫成如下的表達式[3]，即

其中，L和D為升力和阻力；V∞為飛行速度；b為翼型弦長；CL和CD為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；ρ為空氣的密度。牛頓根據(jù)作用力與反作用力原理，提出所謂的“漂石理論”(skipping stone theory)，認為翼型所受的升力是翼型下翼面對氣流的頂托作用的結果，與上翼面無關(如圖10所示)，風洞實驗表明，下翼面頂托作用所產(chǎn)生的升力只占總升力的30%。

圖10 牛頓的漂石理論(下翼面的頂托作用)

1738年伯努利提出理想流體能量方程式后，為正確認識翼型升力提供了理論基礎，特別是由能量定理得出，翼型所受的升力大小不僅與下翼面作用的空氣頂托力有關，也與上翼面的吸力有關(如圖11所示)，后來的風洞實驗證實，這個上翼面吸力約占翼型總升力的70%。在翼型繞流中，由連續(xù)性條件，繞過上翼面的空氣速度大于來流速度，根據(jù)伯努利方程得出上翼面的壓強小于大氣壓強，因此上翼面將受到周圍空氣的吸力，由此會產(chǎn)生向上的升力，致使翼型繞流產(chǎn)生升力得到較為好的解釋。翼面上的壓強系數(shù)定義為

圖11 翼型壓力分布及其對升力的貢獻

3 伯努利方程的理論推廣

由伯努利提出的局部跟隨流體質(zhì)點的建模思想，被歐拉概括為描述流體微團運動的流場法，并引入微積分原理，建立了表征理想流體運動的微分方程組(歐拉方程組)，然后通過積分，歐拉方程組又再現(xiàn)了伯努利方程，但使用條件得到進一步推廣，從而使伯努利方程與歐拉方程組構成了一個完整的理論體系，即理想流體力學理論的建立。在此基礎上，進一步引入黏性的影響，建立了表征黏性流體運動的微分方程組(即N–S 方程組)，從而將理想流體力學理論推廣到黏性流體運動中，并由N–S方程組沿流線積分，建立了考慮黏性損失的伯努利方程。這些理論的建立為湍流、邊界層理論、氣動噪聲等理論的提出與發(fā)展奠定了堅實的基礎，如圖12所示的框圖說明。

3.1 理想流體運動微分方程組(Euler方程組)

瑞士數(shù)學家與流體力學家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)師從瑞士數(shù)學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667—1748)，后與其子丹尼爾·伯努利合作從事數(shù)學和流體力學的研究。

1753年，歐拉基于伯努利局部跟隨流體質(zhì)點的建模思想，提出了連續(xù)介質(zhì)假設；1755 年，歐拉基于伯努利建立能量方程局部跟蹤流體質(zhì)團運動的思想，提出描述流體運動的流場法即歐拉法(空間點法)，并基于連續(xù)介質(zhì)假設和理想流體模型，利用動量守恒定理建立了理想流體運動的微分方程組，即著名的歐拉方程組(Euler方程組)。

其中，u,v,w分別為質(zhì)點的速度分量；fx,fy,fz分別為作用于質(zhì)點上的單位質(zhì)量力；p為質(zhì)點壓強。該微分方程組清楚地表明，改變流體微團運動行為的是作用于微團上的質(zhì)量力和微團表面上的壓強力。也就是說，如果不考慮質(zhì)量力，沿著某個方向無壓力梯度，則沿該方向流體質(zhì)點的速度保持不變。寫成矢量形式為[5]

圖12 流體力學基礎理論建立與發(fā)展

對于質(zhì)量力有勢、理想不可壓縮流體的定常流動，沿著流線積分歐拉方程組，可得到伯努利方程。進一步分析發(fā)現(xiàn)，伯努利方程不僅沿著同一條流線成立，沿著同一條渦線、勢流場、螺旋流場均成立?？梢?，由歐拉方程微分組積分得到的伯努利方程，在使用上更具有普適性。

3.2 黏性流體運動微分方程組(Navier–Stokes

方程組)

鑒于理想流體運動的歐拉方程組，無法求解物體繞流的阻力問題，為此需要研究黏性對流體運動的影響。經(jīng)1822年法國工程師納維(Claude-Louis Navier，1785—1836)、1829年法國科學家泊松(Simeon–Denis Poisson，1781—1840)、1843年法國流體力學家圣維南(Adhémar Jean Claude Barré de Saint–Venant，1797—1886)，最后由1845年英國科學家斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819—1903)在劍橋大學三一學院提出應力變形率的三大關系，推廣了牛頓內(nèi)摩擦定律，完成了牛頓黏性流體運動微分方程組的推導，即著名的納維斯托克斯(Navier–Stokes)方程組，簡稱N–S方程組，即[4]

其中，u,v,w分別為質(zhì)點的速度分量；fx,fy,fz分別為作用于質(zhì)點上的單位質(zhì)量力；p為作用于質(zhì)點上的壓強；ν為流體運動黏性系數(shù)；?為拉普拉斯算子。寫成矢量形式為

這個方程組表明，導致流體微團加速度的變化，是作用于流體微團上的質(zhì)量力、壓強差力(表面法向力)和黏性力(表面切向力)的合力作用的結果。如果沿某方向這個合力為零，則流體微團沿著該方向的加速度也為零。

至此，從1755年歐拉導出理想流體運動方程組到1845年建立的黏性流體運動N–S方程組，歷時90年，數(shù)學家們?yōu)榱黧w力學基礎理論的建立做出了卓越貢獻。對于質(zhì)量力只有重力、不可壓縮黏性流體的定常流動，沿著流線積分N–S 方程組，可得到類似于理想流體的伯努利方程，但在能量方程中多了一項因克服黏性摩擦力做功而損失的機械能項。即

與理想流體伯努利方程相比，上式右邊多出的項表示單位重量流體質(zhì)點克服黏性應力做功所消耗的機械能，這一項不可能再被流體質(zhì)點機械運動所利用，故稱其為單位重量流體質(zhì)點的機械能損失，這個損失與積分路徑(流線的形狀)有關。由表征黏性流體流動的伯努利方程(式(13))表明：在黏性流體流動中，沿同一條流線上單位重量流體質(zhì)點所具有的機械能沿著流動方向總是減小的(如圖13所示)，不可能保持守恒(理想流體流動時，總機械能保持守恒，無機械能損失)，流體總是從機械能大的地方流向機械能小的地方。以后在N–S 方程組的基礎上，進一步發(fā)展了邊界層理論、流動控制、氣動噪聲等基本理論。

圖13 黏性流體運動的伯努利方程

4 總結

綜上所述，伯努利方程的提出為流體力學理論的形成奠定了堅實的基礎，對流體運動具有普適性，準確地建立了流體運動的速度和壓強的定量關系，并迅速地被應用在流體機械工程中，該方程的應用與推廣構成了流體力學和空氣動力學的主體理論的建立與發(fā)展。同時，由伯努利提出的局部跟隨流體質(zhì)點的建模思想，被歐拉概括為描述流體運動的流場法，在流體力學中得到普遍應用，是建立歐拉方程組、N–S方程組以及后來的湍流、邊界層理論、氣動噪聲等理論的基本依據(jù)和基礎。