基于空中機(jī)動目標(biāo)攔截的制導(dǎo)和引信及戰(zhàn)斗部一體化設(shè)計研究

汪金奎， 婁文忠， 劉偉桐， 蘇子龍

(北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

制導(dǎo)和引信一體化(GIF)技術(shù)已經(jīng)成為引信技術(shù)的重要發(fā)展方向之一[1-4]。空中機(jī)動目標(biāo)攔截問題中，圖像導(dǎo)引頭或雷達(dá)導(dǎo)引頭通常作為防空導(dǎo)彈的感知方式，可以抵近獲得目標(biāo)的高精度方位信息，但圖像導(dǎo)引頭或雷達(dá)導(dǎo)引頭通常存在近距盲區(qū)[5-6]，進(jìn)入近距盲區(qū)后導(dǎo)引頭處于失效狀態(tài),目標(biāo)的位置無法觀測。引信與戰(zhàn)斗部(簡稱引戰(zhàn))配合應(yīng)用于此類作戰(zhàn)環(huán)境，對其起爆控制算法的研究主要是最佳起爆延時和最佳起爆方位角的計算；隨著防空目標(biāo)機(jī)動能力的提升,進(jìn)入視野盲區(qū)后目標(biāo)的位置更加難以預(yù)測，基于目標(biāo)方位的精確延時設(shè)計更加困難。雖然也有通過2階、3階多項式來描述彈目相對運(yùn)動[7],但其采用的是目標(biāo)機(jī)動可預(yù)測的先驗信息，實際情況中目標(biāo)的機(jī)動特性可能完全無法預(yù)測，其在視野盲區(qū)內(nèi)的位置分布具備隨機(jī)特性。目標(biāo)最佳起爆方位角的傳統(tǒng)方法采用定向戰(zhàn)斗部，但定向戰(zhàn)斗部不僅設(shè)計復(fù)雜，而且依賴精確的彈目相對方位信息[8]。

在目標(biāo)無法精確預(yù)測的情況下，本文提出制導(dǎo)和引信及戰(zhàn)斗部一體化設(shè)計方法，針對近距盲區(qū)內(nèi)目標(biāo)機(jī)動不確定性問題，考慮目標(biāo)的有限機(jī)動能力，分析目標(biāo)的可行狀態(tài)集；使用常規(guī)周向破片戰(zhàn)斗部作為毀傷元，研究制導(dǎo)終點(diǎn)彈目相對位置與相對速度對目標(biāo)攔截能力的影響，解算進(jìn)入盲區(qū)前最優(yōu)彈目相對位置、相對速度與引信最佳起爆時間。

針對末端狀態(tài)約束的目標(biāo)攔截方法近些年來也是研究的熱門[9-12]，其大都基于線性化系統(tǒng)模型。采用最優(yōu)控制理論對最優(yōu)控制量進(jìn)行求解。本文基于Gauss偽普法[13]，設(shè)計末端多狀態(tài)約束的制導(dǎo)方法，使攔截導(dǎo)彈在彈道末端達(dá)到最優(yōu)攔截狀態(tài)。最后對提出的算法進(jìn)行仿真驗證。

1 彈目交會模型

防空導(dǎo)彈與目標(biāo)交會時，在攔截平面內(nèi)存在如圖1所示的交會模型。假設(shè)導(dǎo)引頭存在近距盲區(qū)r,以防空導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)入導(dǎo)引頭盲區(qū)時，目標(biāo)的相對位置為[xt0,yt0]，目標(biāo)視線角為θt0,目標(biāo)空速為vt,導(dǎo)彈空速為vm，則存在：

xt0=r，

(1)

yt0=rtanθt0.

(2)

圖1 彈目交會模型Fig.1 Missile-target encounter model

目標(biāo)存在法向機(jī)動能力at，由于目標(biāo)機(jī)動能力無法預(yù)測，可假設(shè)其最大機(jī)動能力atmax與速度的平方具有線性關(guān)系，即有

(3)

式中：kat為比例系數(shù)，在確定目標(biāo)類型的情況下，kat可根據(jù)實際情況選取。

2 常規(guī)戰(zhàn)斗部破片飛散模型

基于全向飛散破片戰(zhàn)斗部建立戰(zhàn)斗部破片飛散模型。相對于定向戰(zhàn)斗部或桿式殺傷戰(zhàn)斗部而言，全向飛散破片戰(zhàn)斗部要求破片的數(shù)量多，戰(zhàn)斗部裝藥量大，但同時定向戰(zhàn)斗部或桿式殺傷戰(zhàn)斗部在彈道終點(diǎn)目標(biāo)方位丟失時破片會完全脫靶，而全向飛散破片戰(zhàn)斗部仍具備毀傷能力。

靜態(tài)爆炸條件下，破片前、后飛散邊界飛行方向與彈軸前向夾角分別為φf、φb,則破片靜態(tài)主飛散角φ可表示為

φ=(φf+φb)/2.

(4)

動態(tài)條件下，破片分散方向角與導(dǎo)彈速度相關(guān)，靜爆條件下破片初速為vps，則動態(tài)前、后飛散邊界φfp、φbp與主飛散角φp可分別表示為

φfp=arctan (sinφf/(cosφf+vm/vps))，

(5)

φbp=arctan (sinφb/(cosφb+vm/vps))，

(6)

φp=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(7)

主飛散方向上破片動態(tài)初速度vpd0為

(8)

取破片的飛行阻力系數(shù)c，根據(jù)牛頓阻力定律，其運(yùn)動微分方程[14]為

(9)

式中：mp為破片質(zhì)量；vpd為破片飛行速度；ρ為當(dāng)?shù)乜諝饷芏龋籗為破片阻力面積。破片速度時間衰減關(guān)系為

(10)

3 引戰(zhàn)配合模型

迎擊攔截是一種典型的攔截模式，可以實現(xiàn)破片與目標(biāo)之間較大的相對速度，增大破片的毀傷能力。設(shè)防空導(dǎo)彈在位置xm1處引爆戰(zhàn)斗部，如圖2所示，由于導(dǎo)彈進(jìn)入視野盲區(qū)時間極短，防空導(dǎo)彈空速可設(shè)為常量，以目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)的時刻為計時零點(diǎn)，引信延期時間為t1，因此有

xm1=vmt1.

(11)

圖2 盲區(qū)內(nèi)破片與目標(biāo)交會狀態(tài)Fig.2 Intersection of fragment and target in blind zone

起爆點(diǎn)處彈目視線角為θt1,首先假設(shè)目標(biāo)進(jìn)入視野盲區(qū)后無機(jī)動，則

tanθt1=yt1/(xt0-xm1).

(12)

(1)式、(2)式、(11)式代入(12)式，可得

(13)

在目標(biāo)無機(jī)動假設(shè)下，定義破片飛散速度為vp、破片飛行時間為t2，則在攔截點(diǎn)處有

(14)

(15)

式中：vpd為主飛散方向上破片動態(tài)速度。

由(14)式、(15)式可得

(16)

實際情況下，目標(biāo)在導(dǎo)引頭視野盲區(qū)內(nèi)存在機(jī)動能力。當(dāng)目標(biāo)以最大機(jī)動能力躲避導(dǎo)彈攔截時，目標(biāo)偏離攔截視線的距離最遠(yuǎn)，此時目標(biāo)偏離攔截視線的距離為

m=0.5atmax(t1+t2)2，

(17)

即目標(biāo)的可行區(qū)域近似分布在以m為半長軸的橢圓區(qū)域內(nèi)。為實現(xiàn)目標(biāo)的可靠攔截，令防空導(dǎo)彈破片完全覆蓋目標(biāo)的可行區(qū)域，即破片前、后飛散邊界與橢圓相切。為方便計算，可以認(rèn)為破片前、后飛散邊界與目標(biāo)可行區(qū)域相切于橢圓長軸處，如圖2所示，因此

(18)

最佳攔截方案的彈目速度矢量夾角為破片動態(tài)主飛散角，由(7)式可得

θt1=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(19)

由(14)式、(15)式、(18)式可得

(20)

(21)

(22)

對(22)式求解并取小值，可得

(23)

(23)式代入(20)式可求得引信起爆時間t1,代入(16)式可求得進(jìn)入盲區(qū)時最佳的彈目視線角θt0.

4 終端視線角與彈目速度夾角約束制導(dǎo)律

根據(jù)目標(biāo)進(jìn)入視野盲區(qū)的視線角約束θt0和彈目速度矢量夾角θt1的約束，末端彈目距離為r/cosθt0.

由于無法獲取目標(biāo)準(zhǔn)確的機(jī)動信息，因此可將目標(biāo)的機(jī)動看作系統(tǒng)擾動，如圖3所示，定義狀態(tài)向量x=[R,θv,θmt]，其中R為彈目視線距離，θv彈目速度矢量夾角，θmt為視線角與速度夾角，建立彈目相對運(yùn)動方程如下：

(24)

(25)

(26)

式中：am為導(dǎo)彈的法向過載。

圖3 目標(biāo)攔截幾何Fig.3 Target intercept geometry

定義xf為末端狀態(tài)約束，即

xf=[r/cosθt0,θt1,θt0].

(27)

考慮到法向機(jī)動能力有限，因此還存在導(dǎo)彈最大機(jī)動能力約束：

a≤amax.

(28)

針對本文多約束末制導(dǎo)問題，其非線性特性使得難以求出精確的解析解，本文采用Guass偽譜法對非線性彈目運(yùn)動方程進(jìn)行在線軌跡優(yōu)化。Guass偽譜法是求解多約束控制問題最優(yōu)解的一種數(shù)值方法，應(yīng)用Largrange插值多項式對離散的系統(tǒng)狀態(tài)變量機(jī)控制變量進(jìn)行擬合逼近,以此將原系統(tǒng)微分方程、約束方程等轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程[15]，進(jìn)而數(shù)值逼近求解?？紤]到終端狀態(tài)誤差最小和最少的能量消耗，同時為了增加尋優(yōu)算法的收斂區(qū)域，增強(qiáng)制導(dǎo)算法的魯棒性，把末端狀態(tài)的約束加入性能指標(biāo)中，選擇二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

(29)

式中：tf為優(yōu)化過程中的導(dǎo)彈飛行時間。

5 仿真實驗與結(jié)果分析

5.1 視距盲區(qū)內(nèi)最優(yōu)攔截仿真驗證

為驗證近距盲區(qū)內(nèi)引戰(zhàn)配合設(shè)計，假設(shè)破片在動態(tài)飛散角內(nèi)均勻飛散，為符合實際情況，可假定在二維平面內(nèi)分布的破片數(shù)量N為50個，導(dǎo)引頭近距盲區(qū)為200 m，破片初始速度為1 600 m/s，破片采用球形預(yù)制破片，其余相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 引戰(zhàn)配合仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

定義當(dāng)破片和目標(biāo)的相對距離小于3 m時，表示破片成功擊中目標(biāo)。由于當(dāng)前空中目標(biāo)的機(jī)動能力通常小于100g[14]，目標(biāo)機(jī)動能力系數(shù)kat可假定為0.01，在目標(biāo)速度300 m/s下可產(chǎn)生91.8g的可用過載，重力加速度為9.8 m/s2. 由于本文提出的引戰(zhàn)配合設(shè)計方法在目標(biāo)無法達(dá)到最大機(jī)動能力時仍能可靠攔截，目標(biāo)在盲區(qū)機(jī)動時，可在機(jī)動能力范圍內(nèi)隨機(jī)選擇法向加速度大小。設(shè)定不同的目標(biāo)速度、目標(biāo)實際機(jī)動能力，通過(16)式、(19)式、(23)式計算可得最優(yōu)彈目交會視線角、速度矢量夾角以及引信最佳起爆時間，如表2所示。

根據(jù)算例參數(shù)，通過設(shè)定不同的目標(biāo)實際過載，對典型目標(biāo)攔截，如軍用運(yùn)輸機(jī)攔截條件下，破片與目標(biāo)交會情況進(jìn)行可視化仿真驗證。目標(biāo)速度300 m/s的彈目交會情況下仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，在目標(biāo)極限機(jī)動能力條件下，破片飛散后沿處實現(xiàn)對目標(biāo)的攔截。實際應(yīng)用中，計算最優(yōu)引戰(zhàn)配合參數(shù)時可將破片飛散角適當(dāng)縮小，或?qū)⒛繕?biāo)機(jī)動能力增大，以保證在極限條件下對目標(biāo)的攔截能力。圖4同時表明，在多種因素同時影響下，可以通過調(diào)整戰(zhàn)斗部的設(shè)計，如改變破片飛散角、破片速度來實現(xiàn)所需的攔截方案。

表2 最佳引戰(zhàn)配合參數(shù)算例Tab.2 Simulated results of example

圖4 典型工況下對機(jī)動目標(biāo)攔截情況Fig.4 Interception of maneuvering targets under typical conditions

本文提出算法對目標(biāo)的攔截能力受目標(biāo)飛行速度、目標(biāo)機(jī)動能力、導(dǎo)引頭視野盲區(qū)大小的影響，理論上可以計算任何目標(biāo)速度下的戰(zhàn)斗部最佳起爆時間。但受破片有效毀傷半徑和破片密集程度影響，本文只給出了300 m/s的算例，當(dāng)前可以適用于預(yù)警機(jī)、軍用運(yùn)輸機(jī)等亞音速飛行器的攔截。隨著導(dǎo)引技術(shù)和戰(zhàn)斗部技術(shù)的提高，該方法的適用性將更廣。

5.2 終端多約束制導(dǎo)律仿真

目標(biāo)類型、速度以及機(jī)動能力通常可由地面探測設(shè)備獲取，以攔截目標(biāo)最大速度300 m/s，最大可用過載91.8g工況為研究算例，為實現(xiàn)彈目終端位置、視線角與速度矢量夾角同時約束，設(shè)定：

(30)

假設(shè)導(dǎo)彈的機(jī)動能力范圍為70g，即

-70g

(31)

根據(jù)末端狀態(tài)約束條件，使用Gauss偽譜法求解目標(biāo)在不同方向上運(yùn)動時導(dǎo)彈對目標(biāo)的攔截情況，攔截初始狀態(tài)如表3所示。

表3 彈目初始狀態(tài)Tab.3 Initial states of missile and target

圖5(a)為彈目交會彈道，其中γt為目標(biāo)的速度方向角，在目標(biāo)不同的運(yùn)動方向上，導(dǎo)彈均能實現(xiàn)對目標(biāo)的攔截。圖5(b)、圖5(c)分別為彈目速度夾角與視線速度夾角，其在不同初始狀態(tài)下均能收斂到引戰(zhàn)配合所需的終端約束條件。

圖5 多約束下狀態(tài)量收斂情況Fig.5 Convergence of state under multiple constraints

圖6為導(dǎo)彈法向需用過載。由圖6可以看出：導(dǎo)彈的控制量在彈道前期，并且不同目標(biāo)狀態(tài)下，導(dǎo)彈控制量均在約束范圍內(nèi)；導(dǎo)彈彈道的調(diào)節(jié)主要在彈道前期，有利于彈道的穩(wěn)定控制。

圖6 導(dǎo)彈法向需用過載Fig.6 Required acceleration in normal of missile

6 結(jié)論

針對空中機(jī)動目標(biāo)攔截、導(dǎo)引頭存在近距盲區(qū)的問題，本文提出了一種考慮目標(biāo)最大機(jī)動能力的制導(dǎo)和引信及戰(zhàn)斗部一體化設(shè)計方法，在目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)后進(jìn)行任意能力范圍內(nèi)的機(jī)動情況下，實現(xiàn)目標(biāo)的可靠攔截，基于破片與目標(biāo)交會模型，推導(dǎo)了引信最佳起爆時間、進(jìn)入盲區(qū)時的視線角、速度矢量夾角的解析解；以末端彈目相對位置、視線角、速度矢量夾角為約束條件，建立彈目相對運(yùn)動方程，基于Gauss偽譜法對多約束下的制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值求解。仿真分析表明，提出的引戰(zhàn)配合方法實現(xiàn)了目標(biāo)任意可行范圍內(nèi)的可靠攔截，基于Gauss偽譜法的在線求解多末端約束條件的制導(dǎo)方程，成功實現(xiàn)了導(dǎo)彈進(jìn)入盲區(qū)時的狀態(tài)約束。本文提出的方法將可解決防空導(dǎo)彈導(dǎo)引頭盲區(qū)內(nèi)攔截問題，提高防空導(dǎo)彈對機(jī)動目標(biāo)的攔截能力，但該方法同時存在一定的適用性，當(dāng)飛行器速度更高、機(jī)動能力更大時，對戰(zhàn)斗部毀傷半徑和破片密度都產(chǎn)生了較大的考驗；并且，當(dāng)飛行器在多個方向上存在較大機(jī)動能力時，需要考慮三維情況的引戰(zhàn)配合，這些問題將在未來進(jìn)一步研究。