RC和RL一階電路響應(yīng)的仿真分析及實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

藍(lán)海江

（廣西科技師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣西來賓 546199）

0 引言

電路分析（或電路）課程是電氣類、電子信息類專業(yè)的專業(yè)核心課程。該課程理論性強(qiáng)、概念抽象。對(duì)于許多普通院校學(xué)生而言，該課程是一門難度系數(shù)較高、比較枯燥的課程，因此，教學(xué)效果不容樂觀［1］。為了提高該課程的教學(xué)效果，與時(shí)俱進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)改革［2-4］，勢在必行。

存在電容、電感的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。由于描述動(dòng)態(tài)電路的方程為微分方程，而且動(dòng)態(tài)電路的過渡過程非常短暫，教學(xué)實(shí)踐表明，許多普通院校學(xué)生難以理解其中的物理內(nèi)涵，而基于計(jì)算機(jī)仿真輔助教學(xué)，是幫助學(xué)生突破這些瞬態(tài)困惑的有效手段［5-7］。

電路方程為一階常微分方程的動(dòng)態(tài)電路，稱為一階電路。RC和RL一階電路的零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)，是動(dòng)態(tài)電路的基本內(nèi)容，因而成為仿真分析、研究的熱點(diǎn)［8-10］。但是，由于RC和RL一階電路互為對(duì)偶電路［11］，并且RL一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)較難實(shí)現(xiàn)，因此，縱觀RC和RL一階電路響應(yīng)的仿真分析及其實(shí)驗(yàn)研究的報(bào)導(dǎo)，RC一階電路響應(yīng)較為常見，而RL一階電路響應(yīng)則較為鮮見。

盡管一階電路是最為簡單的電路，但許多普通院校學(xué)生在理解上一直有困難［12］。為了幫助學(xué)生能夠直觀觀測動(dòng)態(tài)元件的動(dòng)態(tài)特性，深入理解動(dòng)態(tài)方程的物理內(nèi)涵，本文以RC和RL一階電路響應(yīng)為例，首先，基于NI Multisim14.0軟件仿真這些電路的響應(yīng)，并依據(jù)仿真結(jié)果測量電路的時(shí)間常數(shù)；然后，基于模擬電路實(shí)驗(yàn)箱搭建實(shí)驗(yàn)電路，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)比較與驗(yàn)證。

1 一階電路響應(yīng)及其時(shí)間常數(shù)

1.1 RC和RL一階電路的零輸入響應(yīng)

激勵(lì)為零，由電路動(dòng)態(tài)元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。RC和RL一階電路零輸入響應(yīng)的一般表達(dá)式為［13］

式（1）中，f（0+）為初始值。對(duì)于RC電路，時(shí)間常數(shù)τ=ReqC；對(duì)于RL電路，時(shí)間常數(shù)τ=L/Req；Req為t≥0時(shí)，移去動(dòng)態(tài)元件后，單端口網(wǎng)絡(luò)的除源等效電阻。

1.2 RC和RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

動(dòng)態(tài)元件初始狀態(tài)為零，由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。RC和RL一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的一般表達(dá)式為［13］

式（2）中，y（∞） 為穩(wěn)態(tài)值。

1.3 一階電路時(shí)間常數(shù)的測量方法

由于動(dòng)態(tài)元件參數(shù)的限制，一階電路的時(shí)間常數(shù)通常很小，較難測量［14］。一階電路時(shí)間常數(shù)的測量方法有電壓對(duì)稱法［15］、時(shí)標(biāo)法［16］及連續(xù)積分法［17］等。

把t=τ，代入式（1）、式（2）得

式（3）表明，經(jīng)過時(shí)間τ后，動(dòng)態(tài)元件的零輸入響應(yīng)為其初始值的0.368倍；式（4）表明，經(jīng)過時(shí)間τ后，動(dòng)態(tài)元件的零狀態(tài)響應(yīng)為其穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。據(jù)此，可利用時(shí)標(biāo)觀測法，測量電路的時(shí)間常數(shù)。

2 RC和RL一階電路響應(yīng)的仿真分析

2.1 RC和RL一階電路響應(yīng)的仿真

本文使用NI Multisim14.0作為仿真軟件。該軟件具有豐富的仿真分析能力。為了便于實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，仿真元件的參數(shù)設(shè)置，基于常用、低值的電子元器件。

RC和RL一階電路響應(yīng)的仿真電路如圖1（a）、圖1（b）所示。其中，信號(hào)發(fā)生器XFG1的參數(shù)設(shè)置為：方波，20Hz，10Vp，占空比50%；為了便于觀測，偏置設(shè)置為10V。Uc、IL為網(wǎng)絡(luò)名稱。為隔離電阻，隔離后，通過示波器XSC1能同時(shí)觀測到輸入的激勵(lì)波形和電路的響應(yīng)波形。

當(dāng)然，使用示波器電流探頭，能更加便捷探測電流，但會(huì)增加實(shí)驗(yàn)成本。為了便于實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，本文利用取樣電阻來間接地觀測電感電流。

當(dāng)激勵(lì)方波的周期T，滿足T/2?5τ時(shí)，方波的上升沿相當(dāng)于零狀態(tài)響應(yīng)的正階躍激勵(lì)信號(hào)，方波的下降

圖1 RC和RL一階電路響應(yīng)仿真電路

沿相當(dāng)于零輸入響應(yīng)的負(fù)階躍激勵(lì)信號(hào)［18，19］。據(jù)此，本文利用信號(hào)發(fā)生器輸出的方波，模擬激勵(lì)信號(hào)。

由圖1（a）可知，RC一階電路的時(shí)間常數(shù)為，τC=ReqC=2.870m s；忽略Rq的影響，則τC≈3.300m s。由圖1（b）可知，RL一階電路的時(shí)間常數(shù)為，τL=L/Req=3.163m s；忽略Rq的影響，則τL≈ 3.119m s。

激勵(lì)方波的頻率為20Hz，周期T=50m s，顯然，滿足T/2?5τ的要求。

點(diǎn)擊仿真運(yùn)行按鈕，即獲得對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果，如圖2所示。

由圖2（a）和圖2（b）可知，在方波（A通道）的激勵(lì)下，在仿真示波器上，可直觀地觀測到RC和RL一階電路的響應(yīng)波形（B通道）。

圖2中，零狀態(tài)響應(yīng)的正階躍激勵(lì)信號(hào)與方波上升沿對(duì)應(yīng)，零輸入響應(yīng)的負(fù)階躍激勵(lì)信號(hào)與方波下降沿對(duì)應(yīng)，因此，B通道的AB段為RC或RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線，B通道的BC段為對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)曲線。

由圖2可知，RC和RL一階電路響應(yīng)的波形相似，但是，圖2（a）的響應(yīng)曲線為電容C兩端的電壓波形，圖2（b）的響應(yīng)曲線為電感L的電流波形。

圖2 RC和RL一階電路響應(yīng)仿真結(jié)果

2.2 RC和RL一階電路時(shí)間常數(shù)的瞬態(tài)分析測量

由于一階電路的時(shí)間常數(shù)通常很小，因此，利用實(shí)物實(shí)驗(yàn)較難精確測量。而利用計(jì)算機(jī)仿真，則可便捷、精確地測量電路的時(shí)間常數(shù)。

本文利用NI Multisim14.0軟件的瞬態(tài)分析功能，測量RC和RL一階電路的時(shí)間常數(shù)。

如圖1，搭建仿真電路后，選擇“仿真”菜單中的“Analyses and simulation”項(xiàng)。在其對(duì)話框中，單擊“瞬態(tài)分析”項(xiàng)；在相應(yīng)欄目中設(shè)置參數(shù)后，單擊“Run”按鈕，即出現(xiàn)瞬態(tài)分析結(jié)果。

RC和RL一階電路響應(yīng)的瞬態(tài)分析結(jié)果，如圖3所示。其分析參數(shù)相同：起始時(shí)間0.045s，結(jié)束時(shí)間0.095s，其它取默認(rèn)值。輸出變量：RC電路為V（uc），RL電路為V（IL）。

由圖3可知，依據(jù)瞬態(tài)分析結(jié)果，也可觀測RC和RL一階電路響應(yīng)的動(dòng)態(tài)過程。

圖3 RC和RL一階電路響應(yīng)瞬態(tài)分析仿真結(jié)果

基于圖3，利用光標(biāo)定位法（時(shí)標(biāo)法），可便捷地測量電路的時(shí)間常數(shù)。

依據(jù)圖3（a）測量RC一階電路充電（零狀態(tài)響應(yīng)）時(shí)間常數(shù)的步驟如下。

（1）移動(dòng)光標(biāo)2，讀出電容C端電壓UC的最大值和最小值，結(jié)果分別為2.6083V和0V。

（2）把光標(biāo)1定位于電容C充電的起始處，即使x1=50.0000ms、y1≈0V；把光標(biāo)2定位于電容C充電至穩(wěn)態(tài)值（UC的最大值）的0.632倍處，即使x2=52.8743ms、y2=1.6484V。

（3）讀取此時(shí)光標(biāo)1與光標(biāo)2之間的時(shí)間差dx，即為RC一階電路充電（零狀態(tài)響應(yīng)）時(shí)間常數(shù)，τc=dx=2.8743m s。

參見圖3（a），利用光標(biāo)定位法，RC一階電路放電（零輸入響應(yīng)）時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果為，τc=2.8756m s。

同樣地，利用光標(biāo)定位法，測量RL一階電路充磁（零狀態(tài)響應(yīng)）時(shí)間常數(shù)的數(shù)據(jù)，如圖3（b）所示，即x1=50.0000m s、y1≈0V，x2=53.1808m s、y2=270.5201m V，τL=dx=3.1808m s。

參見圖3（b），RL一階電路放磁（零輸入響應(yīng)）時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果為，τL=3.1838m s。

基于光標(biāo)定位法，本文還依據(jù)圖2的響應(yīng)仿真結(jié)果，測量了電路的時(shí)間常數(shù)。RC一階電路充、放電時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果分別為，τc=2.938m s和τc=2.931m s；RL一階電路充、放磁時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果分別為，τL=3.178m s和τL=3.172m s。

由此可知，仿真測量的結(jié)果與理論值一致。

2.3 RC和RL一階電路響應(yīng)波形上升時(shí)間的仿真測量

在控制領(lǐng)域中，上升時(shí)間定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。

利用光標(biāo)定位法，依據(jù)圖2，RC和RL一階電路響應(yīng)波形上升時(shí)間的測量結(jié)果分別為，trc=5.934m s和trl=6.742m s；而依據(jù)圖3進(jìn)行測量，則結(jié)果分別為，trc=6.2615m s和trl=6.9256m s。

3 RC和RL一階電路響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

3.1 RC和RL一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

基于模擬電路實(shí)驗(yàn)箱（DICE-A9）上的電子元器件，以及熒光燈鎮(zhèn)流器，依據(jù)圖1（a）和圖1（b），可便捷地搭建RC和RL一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，示波器（GDS-1102A-U）A通道探頭使用×10檔；信號(hào)發(fā)生器（AFG-2225）的參數(shù)設(shè)置為：方波，20Hz，10Vpp，占空比50%，偏置0Vdc（響應(yīng)波形、時(shí)間常數(shù)與偏置設(shè)置無關(guān)）。利用固緯LCR-915測試儀，測量R、C、L元件參數(shù)。

參見圖1（a），在RC一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，元件的測量值為：q=2.194kΩ，C=9.142μ F，3265Ω。據(jù)此計(jì)算，時(shí)間常數(shù)τC=ReqC=2.598m s；忽略Rq，則τC≈2.985m s。

李永林：新時(shí)代呼喚新?lián)?dāng)，新時(shí)代需要新作為。肩負(fù)黨和人民群眾的重托，立足環(huán)渤海地區(qū)的宏大基業(yè)，面對(duì)打造世界一流能源化工企業(yè)的時(shí)代責(zé)任，天津石化正以時(shí)不我待、只爭朝夕的緊迫感，全力融入京津冀協(xié)同發(fā)展，堅(jiān)定不移做強(qiáng)做優(yōu)做大國有資本，大力推進(jìn)全產(chǎn)業(yè)鏈協(xié)同發(fā)展，加快建立創(chuàng)新引領(lǐng)、集約高效、智能融合、綠色低碳的先進(jìn)工業(yè)體系。全力建成技術(shù)質(zhì)量領(lǐng)先、配套設(shè)施完備、安全綠色環(huán)保、服務(wù)優(yōu)質(zhì)高效、集群效應(yīng)凸顯的世界級(jí)石化基地，成為向產(chǎn)業(yè)鏈高端攀升、向世界一流進(jìn)軍的杰出代表，成為拉動(dòng)天津經(jīng)濟(jì)增長、助力人民美好生活的強(qiáng)勁引擎，推動(dòng)美麗天津天更藍(lán)、地更綠、水更清，環(huán)境更宜居、生態(tài)更美好、人民生活更加殷實(shí)安康。

利用華強(qiáng)牌熒光燈鎮(zhèn)流器（參數(shù)：40W、220V、50Hz、0.43A、tw105、Δt55、λ0.5）作為電感元件（RL、L）。參見圖1（b），在RL一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，元件的測量值為：q=2.194kΩ，L=59.32Ω，L=970.6m H，i=149.56Ω，。據(jù)此計(jì)算，時(shí)間常數(shù)τL=L/Req=3.204m s；忽略Rq，則τL≈ 3.160m s。

通過示波器觀測到的RC和RL一階電路響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖4（a）、圖4（b）所示。

圖4 RC和RL一階電路響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4（a）中，通道1為激勵(lì)方波，通道2為RC一階電路響應(yīng)波形。圖4（b）中，通道1為激勵(lì)方波，通道2為RL一階電路響應(yīng)波形。

比較圖2與圖4可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致。

3.2 RC和RL一階電路時(shí)間常數(shù)的實(shí)驗(yàn)測量

3.2.1 依據(jù)上升時(shí)間測算電路的時(shí)間常數(shù)

對(duì)于圖1（a）所示的RC一階電路，依據(jù)仿真測量結(jié)果（平均值）可知，其上升時(shí)間與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系為，trc=2.0982 τC。對(duì)于圖1（b）所示的RL一階電路，依據(jù)仿真測量結(jié)果（平均值）可知，其上升時(shí)間與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系為，trl=2.1494 τL。

由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致，并且實(shí)驗(yàn)元件的參數(shù)與仿真元件的參數(shù)相差細(xì)微，因此，可以依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果響應(yīng)波形的上升時(shí)間來測算電路的時(shí)間常數(shù)。

由圖4（a）可知，RC一階電路響應(yīng)波形的上升時(shí)間為，trc=6.015m s，由此可測算出，τC≈2.867m s。由圖4（b）可知，RL一階電路響應(yīng)波形的上升時(shí)間為，trl=6.647m s，由此可測算出，τL≈3.092m s。測算結(jié)果與理論值一致。

3.2.2 利用光標(biāo)定位法測量電路的時(shí)間常數(shù)

實(shí)驗(yàn)示波器具有自動(dòng)測量和光標(biāo)測量功能。因此，基于實(shí)驗(yàn)示波器，利用光標(biāo)定位法（時(shí)標(biāo)法），同樣可以測量RC和RL一階電路的時(shí)間常數(shù)。

測量時(shí)，把通道1屏蔽，只顯示并放大通道2的RC或RL一階電路響應(yīng)曲線。

依據(jù)圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，RC一階電路充、放電時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果分別為，τc≈2.740m s和τc≈2.760m s；RL一階電路充、放磁時(shí)間常數(shù)的測量結(jié)果分別為，τL≈3.175m s和τL≈3.160m s。

實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果，與仿真測量結(jié)果及理論值一致。

4 結(jié)論

本文利用NI Multisim14.0軟件，仿真了RC和RL一階電路的零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)，并利用光標(biāo)定位法，測量了電路的時(shí)間常數(shù)。為了讓學(xué)生深入理解動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)及過渡過程，直觀地比較仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文搭建了對(duì)應(yīng)的實(shí)物實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行演示和測量。

依據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)的分析及測量結(jié)果可知：當(dāng)方波的周期滿足T/2?5τ時(shí)，可用于模擬RC和RL一階電路響應(yīng)的正、負(fù)階躍激勵(lì)信號(hào)；通過仿真，可直觀地觀測RC和RL一階電路響應(yīng)的曲線及其動(dòng)態(tài)過程，基于軟件的瞬態(tài)分析等功能，利用光標(biāo)法，可測量電路的時(shí)間常數(shù)；實(shí)物實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，與仿真結(jié)果及理論值一致。

在RL一階電路設(shè)計(jì)中，本文利用取樣電阻來間接地觀測電感電流，降低了實(shí)驗(yàn)成本。本文基于仿真結(jié)果，把時(shí)間常數(shù)與上升時(shí)間進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過類比，便捷地測算了實(shí)物實(shí)驗(yàn)電路的時(shí)間常數(shù)。

利用計(jì)算機(jī)仿真輔助RC和RL一階電路響應(yīng)教學(xué)，能讓學(xué)生直觀地觀測到動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)及過渡過程，從而深入理解其物理內(nèi)涵及本質(zhì)。利用本文的方法，可對(duì)二階電路等動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)研究。