王治

從向量到實(shí)函數(shù)的傅里葉變換探析

王治

（武警警官學(xué)院 基礎(chǔ)部，四川 成都 610213）

從介紹向量空間中內(nèi)積引申出向量的傅里葉展開(kāi)，然后從向量空間過(guò)渡到實(shí)函數(shù)空間，從可積函數(shù)內(nèi)積得到實(shí)函數(shù)的傅里葉展開(kāi)．探討向量空間中向量和實(shí)函數(shù)空間中函數(shù)的傅里葉展開(kāi)，并討論二者之間的聯(lián)系，對(duì)理解基向量、基函數(shù)和傅里葉變換有一定的價(jià)值．

基向量；向量空間；函數(shù)空間；傅里葉展開(kāi)

傅里葉是舉世聞名的法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家．傅里葉的科學(xué)成就，主要在于他對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究，以及他為推進(jìn)這一方面研究所引入的數(shù)學(xué)方法．相關(guān)研究理論對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響[1]．傅立葉的工作意義遠(yuǎn)不止此，他迫使人們對(duì)函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對(duì)不連續(xù)函數(shù)的探討．傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)際上是函數(shù)按照基函數(shù)展開(kāi)的，而向量空間也可以定義基，甚至正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基．從而向量空間中的向量可以和實(shí)函數(shù)空間中的函數(shù)一樣，按照基展開(kāi)，這就是向量的傅里葉展開(kāi)．也就是向量空間中的任何一個(gè)向量都能由基向量組來(lái)線性表示[2]．同樣在數(shù)學(xué)中，基函數(shù)是函數(shù)空間一組特殊基的元素，函數(shù)空間中的連續(xù)函數(shù)都可以表示成一系列基函數(shù)的線性組合．函數(shù)空間中基函數(shù)的確定并不是唯一的．

傅里葉的三角級(jí)數(shù)理論是從研究偏微分方程起步的．傅里葉級(jí)數(shù)理論一經(jīng)形成就對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻的推動(dòng)作用[3]．?dāng)?shù)學(xué)上除了我們熟知的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)之外，研究學(xué)者還發(fā)現(xiàn)了更多的基函數(shù)，像貝塞爾基函數(shù)、多項(xiàng)式基函數(shù)、高斯基函數(shù)和勒讓德基函數(shù)等．目前基于傅里葉變換的研究存在于生活和科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，如光纖傳感信號(hào)的識(shí)別、寬帶信號(hào)的傳播、家紡圖案生成技術(shù)和保密通信安全性分析等，這些研究都可以幫助我們更好地理解傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)涵[4]．

本文探討向量空間中向量和實(shí)函數(shù)空間中函數(shù)的傅里葉展開(kāi)，并討論二者之間的聯(lián)系，對(duì)理解基向量、基函數(shù)和傅里葉變換有一定的價(jià)值．

1　向量的傅里葉展開(kāi)

向量空間的任何一個(gè)基都可以通過(guò)Gram-Schmidt正交化過(guò)程轉(zhuǎn)化為正交基，再單位化就可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．

2 實(shí)函數(shù)的傅里葉展開(kāi)

數(shù)學(xué)上，只有滿足一定條件的函數(shù)（即函數(shù)要無(wú)窮次可導(dǎo)）才可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，這個(gè)條件要求較高，而傅里葉展開(kāi)的條件相對(duì)容易達(dá)到，很大一類(lèi)函數(shù)都能滿足．函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的主要目的，不只為了用一個(gè)三角多項(xiàng)式來(lái)近似表示其和函數(shù)，更多的目的在于它的實(shí)際應(yīng)用．連續(xù)函數(shù)常用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的線性組合來(lái)逼近[6]，如一個(gè)連續(xù)函數(shù)可以表示一個(gè)聲波、某類(lèi)電信號(hào)或力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)等．

當(dāng)然實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)是有區(qū)別的，這里只針對(duì)實(shí)函數(shù)進(jìn)行討論．可以幫助學(xué)生從更高的角度去理解傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)涵，并且對(duì)于理解其它形式的函數(shù)展開(kāi)也是有幫助的[10]．

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文的理論探討，比較向量空間的基向量和實(shí)函數(shù)空間的基函數(shù)，基向量和基函數(shù)的正交化、標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程，從而得到向量空間中向量的傅里葉展開(kāi)和實(shí)函數(shù)空間中函數(shù)的傅里葉展開(kāi)，對(duì)今后研究相關(guān)問(wèn)題有理論上的借鑒價(jià)值．在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，系統(tǒng)地梳理這些問(wèn)題，有利于更好地掌握傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容和與其相關(guān)的一些專(zhuān)業(yè)課程．

[1] 武娜．傅里葉級(jí)數(shù)的起源和發(fā)展[D]．石家莊：河北師范大學(xué)，2008：47

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014：104-107

[3] 賈隨軍，胡俊美．傅里葉級(jí)數(shù)理論成因分析[J]．咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（6）：21-28

[4] 李文新．函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的幾何解釋[J]．南昌師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，26（3）：5-6

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2014：307-310

[6] 魏全順．關(guān)于函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)系統(tǒng)展開(kāi)方法[J]．湖南第一師范學(xué)報(bào)，2007，7（1）：158-160

[7] 陳紀(jì)修，於崇華．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社，2004：409

[8] 夏道行，吳卓人，等．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，2010：216

[9] 劉深泉，張萬(wàn)芹，陳玉珍，等．線性代數(shù)及其應(yīng)用[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2019：384-386

[10] 湯一．探究基向量、基函數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)之間的聯(lián)系[J]．課程教育研究，2018（37）：136

Analysis of Fourier transform from vector to real function

WANG Zhi

（Department of Foundation，Officers College of CAPF，Chengdu 610213，China）

From the introduction of inner product in vector space，the Fourier expansion of vector is extended，then from vector space to real function space，the Fourier expansion of real function is obtained from the inner product of integrable function．The Fourier expansion of vector in vector space and the Fourier expansion of function in real function space is discussed，and the relationship between them is discussed，which is of certain value to understand the basis vector，basis function and Fourier transform．

basis vector；vector space；functional space；Fourier expansion

O174.2︰G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.03.018

1007-9831（2020）03-0092-03

2019-11-13

王治（1987-），男，山西太原人，講師，碩士，從事工程數(shù)學(xué)教學(xué)研究．E-mail：wang111zhi@126.com