閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃與仿真分析*

汪永明，馬騰飛，韋 強(qiáng)

（安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

0 引 言

相對(duì)于輪式機(jī)器人，步行機(jī)器人[1-3]的地面適應(yīng)性強(qiáng)，越來越引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。為了實(shí)現(xiàn)步行腿機(jī)器人在復(fù)雜地形下的穩(wěn)定快速行走，首先需要解決其步態(tài)的合理規(guī)劃問題。

山東大學(xué)的孟健等[4]為實(shí)現(xiàn)四足機(jī)器人在平面和斜坡上的全方位移動(dòng)，提出了基于對(duì)角小跑步態(tài)的運(yùn)動(dòng)控制方法；國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)的謝惠祥等[5]為了解決四足機(jī)器人對(duì)角小跑運(yùn)動(dòng)中機(jī)體繞對(duì)角線翻轉(zhuǎn)的問題，提出了一種利用支撐腿的髖部側(cè)擺關(guān)節(jié)力矩來平衡機(jī)體翻轉(zhuǎn)的姿態(tài)控制方法，并分析討論了姿態(tài)控制可能引起的機(jī)體側(cè)向運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象；北京理工大學(xué)的郝仁劍等[6]為保證大負(fù)重四足機(jī)器人的全方位穩(wěn)定行走，提出了基于速度矢量的間歇步態(tài)規(guī)劃方法，采用間歇步態(tài)作為主步態(tài)，將平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量映射為繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)；上海交通大學(xué)的何冬青等[7]對(duì)四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)下繞支撐對(duì)角線的翻轉(zhuǎn)力矩建立了力學(xué)模型，提出了三分法來分析該力矩對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)及穩(wěn)定步行的不利影響；上海理工大學(xué)的勾文浩等[8]針對(duì)一種電驅(qū)動(dòng)四足仿真機(jī)器人，提出了一種對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的連續(xù)平穩(wěn)行走；太原理工大學(xué)的原剛等[9]針對(duì)實(shí)際行走軌跡與規(guī)劃軌跡存在較大偏差的問題，提出了一種混合算法使其直線軌跡偏差減??；FRANCO G等[10]為了防止仿人機(jī)器人NAO在滑面上行走時(shí)摔倒，提出了一種基于步長、步行速度等參數(shù)變化的仿人步態(tài)控制策略，利用機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)來調(diào)整步態(tài)參數(shù)和關(guān)節(jié)修正，以達(dá)到期望的零力矩點(diǎn)ZMP（Zero Moment Point）軌跡，使機(jī)器人更能抵抗打滑和外部干擾；TEDRAKE R等[11]提出了一種關(guān)于零力矩點(diǎn)（ZMP）跟蹤的連續(xù)時(shí)變線性二次型調(diào)節(jié)器問題的閉式解決方案，通過允許對(duì)期望的ZMP進(jìn)行“軟”跟蹤（以二次型代價(jià)），通過在線重新計(jì)算最佳控制器實(shí)現(xiàn)了Atlas仿人機(jī)器人的動(dòng)態(tài)步行；BALAKRISHNAN S等[12]為規(guī)劃和控制兩足機(jī)器人在不平坦地形上的穩(wěn)定行走，把機(jī)器人建模為非線性3D倒立擺，并推導(dǎo)出了ZMP與機(jī)器人質(zhì)心之間的關(guān)系，并通過模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)器人在連續(xù)不平坦的地形上平穩(wěn)行走。

本研究針對(duì)步行機(jī)器人的快速穩(wěn)定行走需求，以一種雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃。

1 閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人機(jī)構(gòu)原理

閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人的機(jī)構(gòu)原理如圖1所示。

圖1 閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人機(jī)構(gòu)原理

由圖1可知，該四足機(jī)器人主要包括機(jī)體懸架、腿轉(zhuǎn)向架和4條閉鏈?zhǔn)讲叫型取Ｆ渲?，閉鏈?zhǔn)讲叫型染哂袃蓚€(gè)閉鏈，其主閉鏈采用曲柄搖塊機(jī)構(gòu)，用于實(shí)現(xiàn)步行腿的跨步擺腿動(dòng)作，其副閉鏈采用曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，用于調(diào)節(jié)足端運(yùn)動(dòng)軌跡。當(dāng)主閉鏈的曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)帶動(dòng)連桿上下移動(dòng)和產(chǎn)生一定程度的擺動(dòng)。如果將連桿反向延長，其末端的軌跡接近于機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)的足端軌跡。另外，其副閉鏈的曲柄一端固定在曲柄搖塊機(jī)構(gòu)的連桿之上，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)滑塊結(jié)構(gòu)的腿部沿著連桿移動(dòng)，從而調(diào)節(jié)腿部的長度，在機(jī)器人移動(dòng)過程中可通過對(duì)腿部長度的調(diào)節(jié)達(dá)到不同的步行運(yùn)動(dòng)效果。

2 四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)主要是靠腿部機(jī)構(gòu)按照設(shè)定好的運(yùn)動(dòng)方式完成周期運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。四足動(dòng)物的典型步行步態(tài)有：行走步態(tài)、對(duì)角小跑步態(tài)、溜蹄步態(tài)、跳躍步態(tài)和奔跑步態(tài)。其中，對(duì)角小跑步態(tài)是四足動(dòng)物最常見的中高速行走步態(tài)。本文針對(duì)閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人，開展對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃研究，以期為機(jī)器人的穩(wěn)定性控制提供理論基礎(chǔ)。

在對(duì)角小跑步態(tài)下，四足機(jī)器人只有兩條腿支撐，另兩條腿處于騰空擺動(dòng)狀態(tài)。若不考慮機(jī)器人足端結(jié)構(gòu)，其著地端僅僅為兩著地足構(gòu)成的支撐線，不能構(gòu)成穩(wěn)定多邊形區(qū)域。

四足機(jī)器人的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定支撐面示意圖如圖2所示。

圖2 四足機(jī)器人的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定支撐面示意圖

圖2中顯示四足機(jī)器人的腿2和腿3落地支撐（支撐線為P2P3），腿1和腿4騰空擺動(dòng)時(shí)的狀態(tài)。隨著機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，其機(jī)體重心（center of gravity，COG）無法始終保持在支撐線上。當(dāng)機(jī)器人以動(dòng)平衡狀態(tài)進(jìn)行步行運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)體重心COG的位置和加速度發(fā)生實(shí)時(shí)變化，由此產(chǎn)生的前向和側(cè)向的慣性如果不能被控制，會(huì)使機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)發(fā)生失穩(wěn)，機(jī)體可能會(huì)發(fā)生傾覆。

理論上，四足機(jī)器人在步行過程中需要保持零力矩點(diǎn)ZMP始終在著地足形成的支撐線上，這樣機(jī)體才能在運(yùn)動(dòng)過程中保持穩(wěn)定。在實(shí)際過程中，由于四足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)會(huì)造成機(jī)體繞支撐對(duì)角線產(chǎn)生傾翻力矩，這個(gè)力矩會(huì)造成四足機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)體姿態(tài)的變化。如果機(jī)體的傾翻角θ過大，對(duì)角線上的前后兩擺動(dòng)腿無法同時(shí)著地，會(huì)造成四足機(jī)器人無法完全按照規(guī)劃的步態(tài)運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，傾翻角θ的增大會(huì)影響四足機(jī)器人的穩(wěn)定性，累積到一定程度會(huì)使四足機(jī)器人發(fā)生傾倒。

為了分析傾翻角θ對(duì)四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)影響，要對(duì)傾翻力矩建立力學(xué)模型。在理想狀態(tài)下，四足機(jī)器人以對(duì)角小跑步態(tài)勻速前進(jìn)，四足機(jī)器人的質(zhì)量對(duì)稱均勻分布，假設(shè)質(zhì)量集中在四足機(jī)器人機(jī)體的幾何中心COG（如圖2所示），根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，可得：

（1）

圖2中，x是四足機(jī)器人機(jī)體重心COG點(diǎn)沿著前進(jìn)方向到支撐線的距離，是隨四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)實(shí)時(shí)變化的。在四足機(jī)器人完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期過程中，x可表示為：

x=kλ-vt

（2）

式中：λ—步距,m;k—起步參數(shù),0

由圖2中的x和d的三角函數(shù)關(guān)系可得：

d=xsinγ

（3）

式中：γ—四足機(jī)器人前進(jìn)方向與支撐線的夾角。

將式（2，3）代入式（1）中，并對(duì)式（1）自變量時(shí)間t積分，可得到傾翻角速度，再次積分可得到傾翻角，即：

（4）

（5）

式中：A=Mgsinγ/J。

當(dāng)四足機(jī)器人的機(jī)體產(chǎn)生傾翻運(yùn)動(dòng)時(shí)，其時(shí)間t可以通過占空比β和運(yùn)動(dòng)周期T來計(jì)算，即：t=（1-β）T，代入式（5）可計(jì)算出傾翻角θ：

（6）

由式（6）可以看出，四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的傾翻角θ與k、T、β和λ有關(guān)；只有當(dāng)傾翻角θ為0時(shí)，四足機(jī)器人的兩條對(duì)角擺動(dòng)腿才能同時(shí)落地。同時(shí)，為了保證機(jī)器人動(dòng)態(tài)行走過程的穩(wěn)定性，其傾翻角速度越小越好。

取對(duì)角小跑步態(tài)的占空比β=0.5。在這種情況下，四足機(jī)器人以對(duì)角的兩條腿為一組，分別處于支撐相和擺動(dòng)相，如當(dāng)腿1和腿4開始抬起進(jìn)行擺動(dòng)時(shí)，腿2和腿3著地起支撐作用。

將β=0.5代入式（6），可以得到四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的傾翻角θ，即：

（7）

當(dāng)6k-1=0（即k=1/6）時(shí)，四足機(jī)器人在支撐相中的傾翻角θ為0，理論上，此時(shí)四足機(jī)器人兩條擺動(dòng)腿能夠同時(shí)著地。

根據(jù)占空比β=0.5將對(duì)角小跑步態(tài)的運(yùn)動(dòng)周期T分為2個(gè)子周期，分別對(duì)應(yīng)一組對(duì)角腿的支撐相和擺動(dòng)相。

對(duì)角小跑步態(tài)是對(duì)稱步態(tài)，所以各腿的擺動(dòng)順序并沒有受到實(shí)際影響，四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)的邁腿時(shí)序圖如圖3所示。

圖3 四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)的邁腿時(shí)序圖

3 四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真與分析

為了減小ADAMS建模和仿真的工作量，并且盡量體現(xiàn)閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能，根據(jù)其機(jī)構(gòu)原理，筆者對(duì)關(guān)節(jié)零件作簡化處理，建立閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人虛擬樣機(jī)模型。

其中，閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人虛擬樣機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人虛擬樣機(jī)參數(shù)

3.1 對(duì)角小跑步態(tài)仿真

根據(jù)足端軌跡設(shè)計(jì)，該四足機(jī)器人的腿部為擺動(dòng)相時(shí)，其主閉鏈曲柄旋轉(zhuǎn)角度為：-36°≤α≤216°；該四足機(jī)器人的腿部為支撐相時(shí)，其主閉鏈曲柄旋轉(zhuǎn)角度為：216°≤α≤324°，所以其擺動(dòng)相的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為252°，支撐相的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為108°。

筆者取主副閉鏈曲柄的轉(zhuǎn)角速比為1∶2，根據(jù)上述對(duì)角小跑步態(tài)規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在ADAMS中進(jìn)行驅(qū)動(dòng)函數(shù)設(shè)計(jì)，四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)下的腿部主副閉鏈驅(qū)動(dòng)函數(shù)如表2所示。

表2 四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)下的腿部主副閉鏈驅(qū)動(dòng)函數(shù)

表2中，t1,t2,t3為3個(gè)不同的階段：t1為姿態(tài)調(diào)整階段（0～0.1 s）；t2是前半周期（0.1 s～0.3 s），即2、3腿為擺動(dòng)相，1、4腿為支撐相；t3是后半周期（0.3 s～0.5 s），即2、3腿為支撐相，1、4腿為擺動(dòng)相。t2和t3組成一個(gè)完整的邁步周期。

在驅(qū)動(dòng)函數(shù)中，“a”表示主閉鏈轉(zhuǎn)動(dòng)角度，“b”表示副閉鏈轉(zhuǎn)動(dòng)角度，下標(biāo)中的第一位數(shù)字表示階段，第二位數(shù)字表示機(jī)器腿的組別（“1”表示腿2和腿3，“2”表示腿1和腿4），驅(qū)動(dòng)函數(shù)中的“kv”為速度調(diào)節(jié)系數(shù)，用來調(diào)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度。

首先筆者根據(jù)表2中的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，在Matlab軟件中規(guī)劃出各個(gè)驅(qū)動(dòng)的角度變化值，然后導(dǎo)入ADAMS中形成spline曲線，再利用其來驅(qū)動(dòng)四足機(jī)器人按照對(duì)角小跑步態(tài)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

設(shè)仿真時(shí)間為0.5 s，包括0.1 s的姿態(tài)調(diào)整和周期為0.4 s的對(duì)角小跑步態(tài)運(yùn)動(dòng)，閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人對(duì)角步態(tài)仿真過程截圖如圖4所示。

圖4 閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人對(duì)角步態(tài)仿真過程截圖

圖4中的截圖分別為四足機(jī)器人在0 s、0.1 s、0.2 s、0.3 s、0.4 s和0.5 s這6個(gè)時(shí)間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在仿真過程中，0～0.1 s為機(jī)器人的姿態(tài)調(diào)整階段，主要是保持機(jī)體質(zhì)心有越過支撐點(diǎn)連線的趨勢，為后面的對(duì)角小跑步態(tài)提供基礎(chǔ)速度。

在0.1 s～0.3 s前半周期，腿2和腿3為擺動(dòng)相，腿1和腿4為支撐相，機(jī)器人完成前0.5T的對(duì)角步態(tài)；在0.3 s～0.5 s后半周期，各腿狀態(tài)正好與上一階段相反，腿2和腿3為支撐相，腿1和腿4為擺動(dòng)相。以此為周期，各對(duì)角腿組依次完成支撐和擺動(dòng)，保持機(jī)器人前進(jìn)運(yùn)動(dòng)。

3.2 仿真結(jié)果分析

四足機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心在xyz方向上的位移曲線如圖5所示。

圖5 四足機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心在xyz方向上的位移曲線

在圖5中，x方向?yàn)闄C(jī)體的前進(jìn)方向，y方向?yàn)樨Q直方向，z方向?yàn)樽笥曳较?。由圖5曲線可知，閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人機(jī)體質(zhì)心的位移在y方向和z方向變化量相對(duì)于x方向來說較小。由于0～0.1 s是機(jī)器人的姿態(tài)調(diào)整階段，主要討論0.1 s～0.5 s周期的對(duì)角小跑運(yùn)動(dòng)過程。根據(jù)ADAMS仿真數(shù)據(jù)可得，在0.1 s～0.5 s時(shí)間段，機(jī)器人機(jī)體在x方向移動(dòng)的距離約為340 mm，由此可計(jì)算出對(duì)角小跑步態(tài)下，閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人在前進(jìn)方向的移動(dòng)速度約為0.85 m/s，能夠達(dá)到中等速度的運(yùn)動(dòng)。

單獨(dú)把豎直方向上的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)提取出來，四足機(jī)器人機(jī)體在y方向上的位移曲線如圖6所示。

圖6 四足機(jī)器人機(jī)體在y方向上的位移曲線

由圖6可知，除了0～0.1 s的姿態(tài)調(diào)整階段外，機(jī)器人在對(duì)角步態(tài)下行走過程中，其機(jī)體y方向位移波動(dòng)很小，其最大值為397.1 mm，最小值為393.5 mm。所以四足機(jī)器人在對(duì)角步態(tài)下，其上下起伏度約為3.6 mm，能夠保持穩(wěn)定行走。

四足機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心在xyz方向上的速度曲線如圖7所示。

圖7 四足機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心在xyz方向上的速度曲線

除去0～0.1 s機(jī)器人起步時(shí)的姿態(tài)調(diào)整階段，圖7中xyz這3個(gè)方向的速度曲線均在0.3 s和0.5 s這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)附近發(fā)生不規(guī)則的變化，這是由于閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人的擺動(dòng)腿和支撐腿在這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)相互切換，由足端落地時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)所導(dǎo)致的，該現(xiàn)象可以通過改進(jìn)控制方法和添加足端構(gòu)件來進(jìn)行改善。

以左后腿為例，筆者進(jìn)行足端運(yùn)動(dòng)研究，四足機(jī)器人對(duì)角步態(tài)下的足端軌跡如圖8所示。

圖8 四足機(jī)器人對(duì)角步態(tài)下的足端軌跡

圖8中，足端軌跡由兩段組成，從右往左依次對(duì)應(yīng)的是0～0.1 s的姿態(tài)調(diào)整階段的足端軌跡和0.1 s～0.5 s的對(duì)角步態(tài)下的足端軌跡。可以看出，足端在兩個(gè)階段的連接處存在一定的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，這是由于閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中，其擺動(dòng)腿和支撐腿的相互切換不穩(wěn)定造成的。其對(duì)角步態(tài)下的足端軌跡步長約為350 mm，步高約為80 mm。

四足機(jī)器人對(duì)角步態(tài)下足端xyz方向速度曲線如圖9所示。

圖9 四足機(jī)器人對(duì)角步態(tài)下足端xyz方向速度曲線

由圖9可知，在0.1 s～0.3 s時(shí)足端速度基本為0，此時(shí)足端處于支撐相；而在0～0.1s和0.3 s～0.5 s時(shí)，足端速度呈周期性變化，足端在0 ～0.1 s時(shí)為起步時(shí)的姿態(tài)調(diào)整階段，而在0.3 s～0.5 s時(shí)是處于擺動(dòng)相。

同時(shí)，在0.1 s、0.3 s和0.5 s這幾個(gè)時(shí)刻，足端的運(yùn)動(dòng)速度都發(fā)生了不規(guī)則的變化，這與前面機(jī)體的運(yùn)動(dòng)分析是一致的，都是由足端落地時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)導(dǎo)致的。

4 結(jié)束語

（1）針對(duì)雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人快速行走需求，筆者運(yùn)用零力矩點(diǎn)ZMP理論來討論四足機(jī)器人的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，推導(dǎo)出了機(jī)器人繞支撐對(duì)角線發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的傾翻角θ表達(dá)式，理論得出當(dāng)6k-1=0時(shí)，雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人在支撐相中的傾翻角θ為0，此時(shí)雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人兩條擺動(dòng)腿能夠同時(shí)著地；

（2）建立了雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人的模型樣機(jī)，基于對(duì)角小跑步態(tài)來規(guī)劃步行腿主副閉鏈的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，運(yùn)用ADAMS對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)，獲得其機(jī)體質(zhì)心和足端運(yùn)動(dòng)軌跡。仿真結(jié)果表明：該雙閉鏈?zhǔn)剿淖銠C(jī)器人，其對(duì)角小跑步態(tài)下的移動(dòng)速度約為0.85 m/s，上下起伏度約為3.6 mm，能夠達(dá)到中等速度下的穩(wěn)定行走運(yùn)動(dòng)。其足端軌跡的步長約為350 mm，步高約為80 mm，基本滿足跨步需求；

（3）本研究提出的驅(qū)動(dòng)控制方法，可以實(shí)現(xiàn)四足機(jī)器人對(duì)角小跑步態(tài)下的中速平穩(wěn)行走。此外，該控制方法的姿態(tài)調(diào)整時(shí)間短，其腿部驅(qū)動(dòng)函數(shù)簡單、變量少，便于驅(qū)動(dòng)控制，有利于后續(xù)實(shí)體樣機(jī)的驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)。