李傳珍，李國(guó)龍，陶小會(huì)，龐 源

（重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044）

隨著智能制造的高速發(fā)展，智能化、高精度、高速化的數(shù)控機(jī)床已成為研發(fā)重點(diǎn)［1］。研究表明，在精密加工過(guò)程中因熱變形引起的精度誤差占總誤差的40%～70%，因此熱誤差補(bǔ)償是提高機(jī)床加工精度的關(guān)鍵［2-3］。熱誤差補(bǔ)償?shù)挠行允軣嵴`差預(yù)測(cè)模型精度的影響，目前建立精確熱誤差預(yù)測(cè)模型的難點(diǎn)之一是準(zhǔn)確選取溫測(cè)點(diǎn)。

針對(duì)溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已通過(guò)有限元法［4］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5-6］、AVQ（adaptive vector quantization，自適應(yīng)矢量量化）聚類［7］、模糊聚類法［8］等實(shí)現(xiàn)了溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化，有效減少了溫測(cè)點(diǎn)的數(shù)目，提高了熱誤差預(yù)測(cè)模型的精度和魯棒性。但是，隨著機(jī)床加工精度的提高，對(duì)熱誤差預(yù)測(cè)模型的精度要求也更高，基于傳統(tǒng)單一理論的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法已不能滿足要求。為選取更加準(zhǔn)確的溫測(cè)點(diǎn)，張偉等［9］采用灰色關(guān)聯(lián)分析和模糊聚類法實(shí)現(xiàn)了臥式加工中心溫測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化；Miao等［10］利用模糊聚類法與灰色關(guān)聯(lián)度分析獲得了各類溫測(cè)點(diǎn)的關(guān)鍵點(diǎn)，并采用逐步回歸法剔除了非顯著溫測(cè)點(diǎn)，完成了高速加工中心主軸溫度測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化；叢明等［11］提出了將簡(jiǎn)單相關(guān)分析、模糊聚類法、灰色關(guān)聯(lián)度分析和熱誤差預(yù)測(cè)模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)分析相結(jié)合的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法，并基于這種優(yōu)化方法確定了臥式加工中心主軸的最佳溫測(cè)點(diǎn)；李艷等［12］采用互信息法建立了溫度變量與熱誤差的綜合關(guān)聯(lián)度矩陣，根據(jù)改進(jìn)模糊聚類法對(duì)溫測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分類，并結(jié)合綜合關(guān)聯(lián)度矩陣選取數(shù)控磨齒機(jī)主軸的關(guān)鍵溫測(cè)點(diǎn)；李逢春等［13］提出一種兼顧歐式距離和相關(guān)系數(shù)的改進(jìn)系統(tǒng)聚類法，有效解決了易干擾溫度信號(hào)區(qū)分問(wèn)題和溫測(cè)點(diǎn)間共線問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了重型落地銑鏜床的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化；魏弦等［14］采用模糊聚類法和相關(guān)性分析確定了龍門機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的關(guān)鍵溫測(cè)點(diǎn)，并采用特征提取法獲得熱誤差預(yù)測(cè)模型的自變量，有效消除了溫測(cè)點(diǎn)間的復(fù)共線性，確定了最佳溫測(cè)點(diǎn)。綜合來(lái)看，目前基于多種理論的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法主要涉及溫測(cè)點(diǎn)共線性消除和溫測(cè)點(diǎn)聚類等，其中：溫測(cè)點(diǎn)共線性消除普遍使用逐步回歸法和簡(jiǎn)單相關(guān)性分析等全局式篩選方法，但這些方法均未考慮溫測(cè)點(diǎn)布置的疏密情況，對(duì)所有溫度變量籠統(tǒng)地進(jìn)行篩選，當(dāng)溫測(cè)點(diǎn)布置密集時(shí)，上述方法的篩選效果較差；溫測(cè)點(diǎn)聚類大多采用模糊聚類法及其相關(guān)理論，但模糊聚類分析的閾值大多通過(guò)試驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)獲得，且在分類時(shí)只根據(jù)溫測(cè)點(diǎn)溫度樣本的親疏性質(zhì)或距離而未考慮溫度有序傳遞的特點(diǎn)，這會(huì)導(dǎo)致溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后所建立的熱誤差預(yù)測(cè)模型的精度和魯棒性較差?？紤]到立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)的有效進(jìn)給行程較短，發(fā)熱源較集中且溫度有序傳遞，相較于其他機(jī)床，該加工中心具有不同的溫度場(chǎng)分布，其溫測(cè)點(diǎn)更密集，且溫測(cè)點(diǎn)間的耦合效應(yīng)也更顯著，因此其溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法有待深入研究。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者以三軸立式加工中心為研究對(duì)象，基于該機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的發(fā)熱特點(diǎn)，提出一種基于改進(jìn)有序聚類法的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法。首先，該方法改變了傳統(tǒng)溫測(cè)點(diǎn)全局式初篩的方式，采用互信息值（即相關(guān)性）對(duì)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)各發(fā)熱部件的多個(gè)溫測(cè)點(diǎn)進(jìn)行局部式初篩，不僅提高了溫測(cè)點(diǎn)初篩精度，還有效消除了測(cè)點(diǎn)間的共線性。其次，基于機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)溫度有序傳遞的特點(diǎn)，對(duì)初篩后的溫測(cè)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)的改進(jìn)有序聚類分析，從而確定最佳溫測(cè)點(diǎn)。最后，根據(jù)最佳溫測(cè)點(diǎn)建立立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)的熱誤差預(yù)測(cè)模型，并與基于傳統(tǒng)有序聚類法和灰色關(guān)聯(lián)度模糊聚類法建立的熱誤差預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較，以驗(yàn)證利用本文方法建立的熱誤差模型具有更高的精度和魯棒性。

1 基于改進(jìn)有序聚類法的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法

1.1 改進(jìn)有序聚類法的提出

傳統(tǒng)有序聚類法是：先通過(guò)計(jì)算類直徑矩陣和誤差函數(shù)，獲得溫測(cè)點(diǎn)分類；再計(jì)算誤差函數(shù)曲線中變化較明顯處相鄰聚類數(shù)誤差函數(shù)的比值，比值較大且通過(guò)顯著性檢驗(yàn)的聚類數(shù)為最佳聚類數(shù)；最后通過(guò)溫度變量與熱誤差之間的簡(jiǎn)單相關(guān)性分析，選出關(guān)鍵溫測(cè)點(diǎn)［15］。然而，相鄰聚類數(shù)誤差函數(shù)的比值僅反映了2個(gè)聚類點(diǎn)誤差函數(shù)的大小關(guān)系，并不能準(zhǔn)確反映誤差函數(shù)曲線的變化值，且有序聚類法的聚類數(shù)一般在12個(gè)以下，較少的樣本點(diǎn)受擬合曲線類型的影響較大，因此無(wú)法根據(jù)誤差函數(shù)曲線斜率變化率確定最佳分類。此外，為消除溫測(cè)點(diǎn)間的耦合性和共線性，一般先根據(jù)溫度變量與熱變形的相關(guān)性初步篩選溫測(cè)點(diǎn)，再進(jìn)行分類，這種全局式溫測(cè)點(diǎn)初篩方法在溫測(cè)點(diǎn)布置稀疏時(shí)效果較好，但當(dāng)溫測(cè)點(diǎn)布置密集時(shí)，此方法篩選效果較差，無(wú)法精確篩選出關(guān)鍵溫測(cè)點(diǎn)。

立式加工中心屬中小型數(shù)控機(jī)床，結(jié)構(gòu)緊湊，進(jìn)給行程較短，進(jìn)給系統(tǒng)發(fā)熱源集中且溫度場(chǎng)分布有序；在熱誤差試驗(yàn)中溫測(cè)點(diǎn)布置得十分密集。因此，結(jié)合立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)的發(fā)熱特點(diǎn)，根據(jù)互信息值針對(duì)性地初步篩選進(jìn)給系統(tǒng)各發(fā)熱部件不同位置的同類溫測(cè)點(diǎn)，并針對(duì)原有序聚類法最佳聚類數(shù)難以確定的問(wèn)題，提出一種基于多元線性回歸，由F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、判定系數(shù)相關(guān)性檢驗(yàn)和殘差比較等統(tǒng)計(jì)學(xué)分析確定最佳聚類數(shù)的改進(jìn)有序聚類法，并利用該方法確定立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)最佳溫測(cè)點(diǎn)。

1.2 改進(jìn)有序聚類法的步驟

針對(duì)布置了多個(gè)溫測(cè)點(diǎn)的發(fā)熱部件，先由互信息值初步篩選各溫測(cè)點(diǎn)，計(jì)算初選溫度變量的類直徑矩陣和比較誤差函數(shù)，獲得初始分類；再結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)分析確定最佳聚類數(shù)和最佳溫測(cè)點(diǎn)。具體步驟如下所述。

1）計(jì)算互信息值。

根據(jù)信息論產(chǎn)生的互信息法用信息熵來(lái)衡量2個(gè)序列變量的相關(guān)性［12］。以溫測(cè)點(diǎn)溫度變化量為溫度樣本，設(shè)立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)溫測(cè)點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化量ΔTi(t)=Ti(t)-T（0i表示溫測(cè)點(diǎn)編號(hào)，i= 1,2,…,n），每個(gè)溫測(cè)點(diǎn)有m個(gè)溫度變量樣本，則各溫測(cè)點(diǎn)溫度變量樣本集合ΔTi={ΔTij(t)}(j= 1,2,…,m)，其中ΔTij(t)表示第i個(gè)溫測(cè)點(diǎn)的第j個(gè)溫度變化量。絲杠熱誤差隨時(shí)間的變化量Y(t)為該時(shí)刻絲杠測(cè)量終點(diǎn)熱誤差與絲杠測(cè)量起始點(diǎn)熱誤差之差，即Y(t)=Y終(t)-Y0(t)，熱誤差樣本集合Y=Yj(t)(j= 1,2,…,m)，則各溫測(cè)點(diǎn)溫度變量ΔTi與熱誤差Y相關(guān)性的互信息值為：

式中：p(?)為概率密度函數(shù)，p( ΔTij,Yj)是ΔTi與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

根據(jù)式（1）可計(jì)算得各溫測(cè)點(diǎn)溫度變量與熱誤差的互信息值I，I越大表示該溫測(cè)點(diǎn)與熱變形的相關(guān)性越大。根據(jù)相關(guān)性大小，對(duì)各部件不同位置的同類溫測(cè)點(diǎn)（如在螺母上下端面、外殼、內(nèi)圈布置4個(gè)溫測(cè)點(diǎn)是為了更準(zhǔn)確地獲得螺母的發(fā)熱位置，則這4個(gè)測(cè)點(diǎn)可歸為螺母的同類測(cè)點(diǎn)）進(jìn)行初步篩選，消除溫測(cè)點(diǎn)間的耦合性。

2）數(shù)據(jù)規(guī)格化處理。

為消除不同數(shù)據(jù)類型間的差異，降低計(jì)算誤差，將溫測(cè)點(diǎn)溫度變量樣本矩陣X中的元素xab變換為zab，獲得有序樣本矩陣Z，變換公式為：

式中：xab表示溫測(cè)點(diǎn)初篩后第b個(gè)原始樣本的第a個(gè)溫測(cè)點(diǎn)溫度變化值；a= 1,2,…,l；b= 1,2,…,m。

3）計(jì)算類直徑矩陣D。

有序聚類法采用直徑表示類中的差異程度，類中差異越小，直徑就越小，類中樣本就越集中［15］。設(shè)有序聚類樣本中的一個(gè)類為{za,za+1,…,zc} (a＜c≤l)，用D(za,zc)表示該類的類直徑，D(za,zc)可用離差平方和表示為：

式中：za為正規(guī)化處理后第a個(gè)溫測(cè)點(diǎn)的溫度變化值，為第a個(gè)到第c個(gè)溫測(cè)點(diǎn)溫度變化值的均值，即

4）計(jì)算誤差函數(shù)。

將l個(gè)溫測(cè)點(diǎn)分成k類，各類的誤差函數(shù)可表示為各類的直徑之和，將溫度樣本簡(jiǎn)記為f，q(k,l)為l個(gè)溫測(cè)點(diǎn)分成k類的一種分法，則誤差函數(shù)ψ[q(k,l)]為：

式中：D(fa,fa- 1 )表示某一子類的離差平方和。

當(dāng)n和l固定時(shí)，ψ[q(k,l)]越小，表示各類的類直徑越小，分類越合理［15］。因此，有序聚類法的最優(yōu)分類就是選擇一種分法使得ψ[q(k,l)]最小。

5）確定最優(yōu)分法。

當(dāng)k=2時(shí)，q( 2，l)是所有可能的分類中使誤差函數(shù)最小的分法［15］，故有：

對(duì)上式進(jìn)行歸納，即有：

首先尋找合適的a值，使得ψ[q(k,l)]=ψ[q(k-1，fk-1)]+D(fk，fl) 最 小，得 到 第k類Gk={fk，fk+1，…，fl}；接著尋找fk-1，使得ψ[q(k-1，fk-1)]最小，其中

ψ[q(k-1，fk-1)]=ψ[q(k-2，fk-1-1)]+D(fk-1，fk-1)，得到第k-1 類Gk-1={fk-1，fk-1+1，…，fk-1}；依此類推可得到所有的分類G1，G2，…，Gk。

6）確定最佳聚類數(shù)。

首先繪制誤差函數(shù)隨聚類數(shù)k變化的誤差函數(shù)曲線，選取該曲線明顯變化處的聚類數(shù)作為溫測(cè)點(diǎn)數(shù)目，然后結(jié)合各溫測(cè)點(diǎn)的互信息值選取建模所用的溫測(cè)點(diǎn)，建立包含多個(gè)不同溫測(cè)點(diǎn)的熱誤差多元線性回歸模型。對(duì)模型先進(jìn)行F檢驗(yàn)，判斷熱誤差模型的顯著性；再分析其線性相關(guān)性系數(shù)R2和最大殘差，R2越大，表明該模型的擬合效果越好，最大殘差值越小，表明該模型的精度越高；最后對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著度t檢驗(yàn)，剔除不顯著的溫測(cè)點(diǎn)，進(jìn)而確定最佳聚類數(shù)和最佳溫測(cè)點(diǎn)。

1.3 基于改進(jìn)有序聚類法的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化流程

根據(jù)采集的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)溫測(cè)點(diǎn)的溫度和熱變形數(shù)據(jù)，基于改進(jìn)有序聚類法確定最佳溫測(cè)點(diǎn)，總體流程如圖1所示。

圖1 基于改進(jìn)有序聚類法的溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化流程Fig.1 Optimizing process of temperature measurement points based on improved sequential clustering method

2 溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化試驗(yàn)

2.1 立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)熱源分析

不同數(shù)控機(jī)床因結(jié)構(gòu)、工作轉(zhuǎn)速（進(jìn)給速度）、有效進(jìn)給行程存在差異，其溫度場(chǎng)分布不同，則熱誤差建模選取的關(guān)鍵溫測(cè)點(diǎn)也不同［2］。文獻(xiàn)［14，16-17］分別對(duì)龍門加工中心、鏜床和立式加工中心的進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)：龍門加工中心各熱源溫度曲線上升趨勢(shì)不同且熱平衡時(shí)各熱源溫度差較大，鏜床各熱源溫度曲線上升趨勢(shì)相似但熱平衡時(shí)各熱源溫度差明顯，立式加工中心各熱源溫度曲線分布密集、上升趨勢(shì)相似且熱平衡時(shí)各熱源溫度差較小，由此可見(jiàn)不同數(shù)控機(jī)床發(fā)熱規(guī)律差別較大，溫測(cè)點(diǎn)的布置也不同。因此，考慮到立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊，進(jìn)給行程較短，發(fā)熱源集中且溫度場(chǎng)分布有序的特點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)［17-18］中的立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)熱源分析，確定其溫測(cè)點(diǎn)布置位置為電機(jī)、聯(lián)軸器、上下軸承蓋和螺母內(nèi)外圈。

2.2 溫度與熱變形樣本采集試驗(yàn)

本文的試驗(yàn)對(duì)象為華中八型立式加工中心VMC850，采集其進(jìn)給系統(tǒng)（以Z向?yàn)槔┑臏販y(cè)點(diǎn)溫度與熱變形數(shù)據(jù)。根據(jù)2.1節(jié)的熱源分析，在該立式加工中心Z向進(jìn)給系統(tǒng)的電機(jī)、聯(lián)軸器、上下軸承蓋和螺母內(nèi)外圈處共布置13 個(gè)溫測(cè)點(diǎn)。將貼片式PT100 溫度傳感器安裝在熱源位置處，HIO-1075 溫度采集板采集溫度信號(hào)并將它傳至數(shù)控系統(tǒng)，利用華中數(shù)控專用數(shù)據(jù)采集軟件SSTT實(shí)現(xiàn)在PC（personal computer，個(gè)人計(jì)算機(jī)）端記錄溫度數(shù)據(jù)并儲(chǔ)存，各傳感器安裝位置如表1所示，13個(gè)溫測(cè)點(diǎn)的分布如圖2所示。如圖2（b）所示，用RenishawXL-80 激光干涉儀S采集機(jī)床Z向進(jìn)給系統(tǒng)的熱變形數(shù)據(jù)，激光干涉儀入射鏡與折射鏡安裝在工作臺(tái)上，反射鏡安裝在主軸上，激光發(fā)射器安裝于機(jī)床正前方，PC與發(fā)射器相連接。激光干涉儀只能間歇測(cè)量，試驗(yàn)機(jī)床Z向進(jìn)給系統(tǒng)的效行程為600 mm，每隔50 m 設(shè)定一個(gè)測(cè)點(diǎn)，共13個(gè)測(cè)點(diǎn)；采用正反雙向測(cè)量，消除絲杠反向間隙的影響，激光干涉儀測(cè)點(diǎn)分布如圖3所示。

表1 傳感器安裝位置Table 1 Installation position of sensors

圖2 Z向進(jìn)給系統(tǒng)溫測(cè)點(diǎn)分布Fig.2 Layout of temperature measurement points for Z-direction feed system

圖3 激光干涉儀測(cè)點(diǎn)分布Fig.3 Layout of measurement points of laser interferometer

本文擬研究機(jī)床從冷機(jī)到熱平衡階段的熱誤差變化規(guī)律，采集進(jìn)給速度為8 000，12 000 和16 000 mm/min時(shí)機(jī)床熱機(jī)階段的溫度與熱誤差數(shù)據(jù)，共采集48 組熱誤差數(shù)據(jù)。以進(jìn)給速度v=8 000 mm/min為例，機(jī)床開(kāi)機(jī)后，主軸保持靜止，Z向進(jìn)給軸以8 000 mm/min的進(jìn)給速度往復(fù)運(yùn)動(dòng)，激光干涉儀采樣周期為15 min，整個(gè)試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)為240 min。濾波平穩(wěn)處理后，13 個(gè)溫測(cè)點(diǎn)處溫度隨時(shí)間的變化曲線如圖4 所示，由圖可知，t=0—150 min 階段溫度上升迅速，在t=150 min 左右基本達(dá)到熱平衡，t=150—180 min 階段溫度略微上升，t=180 min 后溫度基本不再變化。t=0，15，30，45，60，75，90，105，120，135，150 min時(shí)熱誤差曲線如圖5所示。

由于各傳感器初始溫度并不是環(huán)境溫度，在安裝激光干涉儀時(shí)，需要上下移動(dòng)主軸使激光干涉儀的反射光與折射光重合，不可避免地會(huì)造成機(jī)床部件升溫。為保證熱誤差預(yù)測(cè)模型的精度，采用溫度變化量作為溫度變量樣本，即ΔTi(t)=Ti(t)-T0。圖5中的

圖4 溫測(cè)點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化曲線（v=8 000 mm/min）Fig.4 Variation curve of temperature of temperature measurement points over time（v=8 000 mm/min）

圖5 溫升階段Z向進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差曲線（v=8 000 mm/min）Fig.5 Thermal error curve of Z-direction feed system in temperature rising stage（v=8 000 mm/min）

熱誤差值以絲杠收縮方向?yàn)檎?，伸長(zhǎng)方向?yàn)樨?fù)，因試驗(yàn)時(shí)間為冬季，初始測(cè)量時(shí)絲杠處于收縮狀態(tài)。

2.3 溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)1.2 節(jié)中互信息值計(jì)算原理，以t=0—150 min 階段機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)各溫測(cè)點(diǎn)溫度變化量ΔTi(t)和熱誤差變化量Y(t)作為樣本。但由于進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差值與進(jìn)給軸位置有關(guān)，為更準(zhǔn)確獲取溫度變化量與熱變形間的相關(guān)性，考慮到圖5中的熱誤差與進(jìn)給位置幾乎呈線性關(guān)系，采用熱誤差曲線一次擬合斜率Kj(t)(j=1，2，…，13)代替Y(t)進(jìn)行互信息值計(jì)算。將ΔT、Kj(t)代入式（1），計(jì)算得到各溫測(cè)點(diǎn)的互信息值，如表2所示。

由上文可知，在進(jìn)給軸上軸承、螺母和下軸承等重要位置均布置了多個(gè)溫測(cè)點(diǎn)，它們均能反映相應(yīng)位置的發(fā)熱情況，因此，為消除溫測(cè)點(diǎn)間的耦合性，結(jié)合互信息值計(jì)算結(jié)果，選擇各位置處相關(guān)性較高的2個(gè)溫測(cè)點(diǎn)作為主要影響因素，如進(jìn)給軸上軸處溫測(cè)點(diǎn)4，5，螺母處溫測(cè)點(diǎn)7，9，下軸承處溫測(cè)點(diǎn)10，12，最后得到1，2，4，5，7，9，10，12，13等9個(gè)溫測(cè)點(diǎn)作為主要影響因素。

表2 各溫測(cè)點(diǎn)的互信息值Table 2 Mutual information value of temperature measurement points

根據(jù)改進(jìn)有序聚類分類法，對(duì)上述9個(gè)溫測(cè)點(diǎn)在t=0—150 min 階段的溫度樣本ΔTi(t)升序排列并進(jìn)行規(guī)格化處理，計(jì)算直徑矩陣D和最小誤差函數(shù)ψ[q(k，l)]。得到的有序聚類結(jié)果如表3所示，誤差函數(shù)值與聚類數(shù)的關(guān)系曲線如圖6所示。

表3 溫測(cè)點(diǎn)有序聚類結(jié)果Table 3 Sequential clustering results of temperature measurement points

圖6 溫測(cè)點(diǎn)誤差函數(shù)值與聚類數(shù)的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curve of error function value and number of clusters of temperature measurement points

由圖6可以看出，誤差曲線在聚類數(shù)為3，4，5時(shí)均有明顯轉(zhuǎn)折，對(duì)應(yīng)建立包含3個(gè)測(cè)點(diǎn)、4個(gè)測(cè)點(diǎn)和5個(gè)測(cè)點(diǎn)的線性回歸模型，多個(gè)測(cè)點(diǎn)屬于同一聚類時(shí)，選擇互信息值大的測(cè)點(diǎn)（如分為3類時(shí)，測(cè)點(diǎn)2，4，5，7，9，10，12屬于一類，選取互信息值最大的測(cè)點(diǎn)4，此時(shí)包含3個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差多元線性回歸模型的輸入樣本為測(cè)點(diǎn)1，4，13的溫度變化值）建立熱誤差模型。由圖5 的熱誤差曲線可以看出，熱誤差與溫度（時(shí)間）、進(jìn)給軸位置有關(guān)，溫度一定時(shí)熱誤差與進(jìn)給軸位置近似呈線性變化，因此用E=tanβ(Px-P0)來(lái)表示熱誤差與進(jìn)給軸位置的關(guān)系［19］，其中：Px為機(jī)床進(jìn)給軸實(shí)時(shí)位置，P0為機(jī)床進(jìn)給軸相對(duì)零點(diǎn)，tanβ為熱誤差擬合直線斜率?；诙嘣€性回歸建立立式加工中心Z向進(jìn)給系統(tǒng)溫度變化量與熱誤差曲線一次擬合直線斜率的回歸模型，并對(duì)該模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，結(jié)果如表4所示。

分析表4可得如下結(jié)論：

1）對(duì)不同測(cè)點(diǎn)的熱誤差模型進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，各模型的F值均在相應(yīng)的拒絕域且概率p（即顯著度Sig.）都小于顯著性水平0.05，表明該顯著水平下各溫測(cè)點(diǎn)的溫度變化量對(duì)熱誤差的線性影響顯著。

2）判定系數(shù)R2、標(biāo)準(zhǔn)殘差和最大殘差直觀反映了熱誤差模型的擬合效果與預(yù)測(cè)精度，R2越大，表明擬合擬合效果越好，標(biāo)準(zhǔn)殘差和最大殘差越小，表明精度越高。從表中可以看出對(duì)于包含3個(gè)測(cè)點(diǎn)和4個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差模型，隨著測(cè)點(diǎn)的增多，R2增大，標(biāo)準(zhǔn)殘差與最大殘差減小，但對(duì)于包含4個(gè)測(cè)點(diǎn)和5個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差模型，即使測(cè)點(diǎn)增多，但R2、標(biāo)準(zhǔn)殘差和最大殘差均不變，說(shuō)明測(cè)點(diǎn)增多雖然會(huì)提高熱誤差模型的精度，但精度的提高卻越來(lái)越不明顯。

3）對(duì)各模型的偏相關(guān)系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，包含5個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差模型的ΔT12沒(méi)有通過(guò)t檢驗(yàn)，且從相關(guān)系數(shù)可以看出，ΔT12的貢獻(xiàn)率很小。

綜上，綜合考慮模型精度與魯棒性要求，選取4個(gè)測(cè)點(diǎn)1，4，9，13作為最佳溫測(cè)點(diǎn)。

3 溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

根據(jù)改進(jìn)有序聚類法得到的最佳溫測(cè)點(diǎn)，基于多元線性回歸建模方法得到機(jī)床Z向進(jìn)給系統(tǒng)的熱誤差預(yù)測(cè)模型為：

其中P0由文獻(xiàn)［19］中的均值法計(jì)算得到，P0=17.98。

采用傳統(tǒng)有序聚類法選取誤差函數(shù)曲線非負(fù)斜率α(k)最大時(shí)的k值為較優(yōu)聚類數(shù)［15］，即有α(3)＞α(4)＞α(5)，建立包含3個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差預(yù)測(cè)模型為：

采用灰色關(guān)聯(lián)度模糊聚類法［10］進(jìn)行溫測(cè)點(diǎn)優(yōu)化，并建立包含4個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱誤差預(yù)測(cè)模型為：

表4 溫測(cè)點(diǎn)的熱誤差模型統(tǒng)計(jì)學(xué)分析結(jié)果Table 4 Statistical analysis results of thermal error model of temperature measurement points

利用上述3種熱誤差預(yù)測(cè)模型分別對(duì)進(jìn)給速度v=8 000 mm/min的溫升階段中t=60 min與進(jìn)給速度v=12 000 mm/min的熱平衡階段中t=150 min時(shí)的熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，基于3種模型的熱誤差預(yù)測(cè)曲線與殘差曲線對(duì)比分別如圖7和圖8所示。激光干涉儀的反向位置（600 mm）處因儀器誤差影響測(cè)量結(jié)果，因此觀測(cè)0～550 mm 位置處各熱誤差模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。從圖7和圖8發(fā)現(xiàn)，相較于利用傳統(tǒng)有序聚類法和灰色關(guān)聯(lián)度模糊聚類法得到的熱誤差預(yù)測(cè)曲線，利用改進(jìn)有序聚類法得到的熱誤差預(yù)測(cè)曲線在升溫和熱平衡階段都與實(shí)際測(cè)量曲線更加接近，殘差變化幅度較小。

為進(jìn)一步驗(yàn)證3種熱誤差模型的預(yù)測(cè)效果，分析了溫升階段與熱平衡階段各模型的均方根誤差、最大殘差和平均殘差，結(jié)果如表5和表6所示。表中均方根誤差用來(lái)描述誤差的總體離散程度，殘差表示回歸模型的擬合值與實(shí)測(cè)值之間的誤差［13］。

圖7 溫升階段Z 向進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果(v=8 000 mm/min,t=60 min)Fig.7 Prediction results of thermal error model of Z-direction feed system in temperature rising stage (v=8 000 mm/min,t=60 min)

圖8 Z 向進(jìn)給系統(tǒng)熱平衡階段熱誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果（v=12000 mm/min，t=150 min）Fig.8 Prediction results of thermal error model in temperature stage(v=12 000 mm/min,t=150 min)

表5 溫升階段Z 向進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差模型預(yù)測(cè)效果(v=8 000 mm/min,t=60 min)Table 5 Prediction effect of thermal error model of Zdirection feed system in temperature rising stage (v=8 000 mm/min, t=60 min) 單位：μm

表6 熱平衡階段Z向進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差模型預(yù)測(cè)效果(v=12 000 mm/min, t=150 min)Table 6 Prediction effect of thermal error model in temperature balance stage (v=12 000 mm/min,t=150 min) 單位：μm

從表5和表6可以看出，采用改進(jìn)有序聚類法所建的熱誤差預(yù)測(cè)模型在溫升階段和平衡階段的均方根誤差低于1.05 μm，最大殘差僅為2.09和1.71 μm，平均殘差最小，低于1 μm，且熱平衡階段熱誤差模型預(yù)測(cè)精度高于溫升階段?；诟倪M(jìn)有序聚類法的熱誤差模型在熱平衡階段的精度相較于另外2種模型分別提高了65.7%和39.8%。

4 結(jié) 論

1）根據(jù)立式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)的發(fā)熱特點(diǎn)，由互信息值初步篩選各發(fā)熱部件不同位置的同類溫測(cè)點(diǎn)，并基于改進(jìn)有序聚類法選取最佳溫測(cè)點(diǎn)，有效解決了多溫測(cè)點(diǎn)間共線性的問(wèn)題，減少了溫測(cè)點(diǎn)數(shù)量，提高了擬合精度和魯棒性。

2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)分析與有序聚類法，從顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)）、擬合效果和殘差分析等方面確定最佳聚類數(shù)與最佳溫測(cè)點(diǎn)。相較于傳統(tǒng)有序聚類法，該方法直觀且全面地分析了溫測(cè)點(diǎn)數(shù)目與回歸模型精度的關(guān)系，選取了更精確的最佳聚類數(shù)。

3）建模實(shí)例表明：基于改進(jìn)有序聚類法建立的熱誤差模型的均方根誤差、最大殘差、平均殘差分別小于1.05，2.1，1 μm；相較于采用傳統(tǒng)有序聚類法和灰色關(guān)聯(lián)度模糊聚類法建立的熱誤差預(yù)測(cè)模型，該熱誤差模型在熱平衡階段的精度分別提高了65.7%和39.8%。