浮 濤，田振生

（鄭州市交通規(guī)劃勘察設(shè)計研究院 鄭州市 450000）

0 引言

主拱圈在使用階段是以受壓為主的壓彎構(gòu)件［1］，但在懸澆階段，則是由若干扣索臨時扣掛的多點彈性支承懸臂曲梁?，F(xiàn)澆節(jié)段自重和掛籃自重均由已澆筑完成拱圈承擔(dān)，導(dǎo)致已澆筑節(jié)段混凝土產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力。因此，對于懸澆混凝土拱橋而言，宜盡量減小主拱圈截面尺寸以減小其自重，然而過小的頂、底板與腹板厚度會造成先于拱圈強度破壞或整體失穩(wěn)的局部屈曲破壞。

理論上，對于無初始缺陷的理想拱，是先發(fā)生整體失穩(wěn)還是先發(fā)生局部失穩(wěn)，主要取決于整體失穩(wěn)時的臨界應(yīng)力σcr和板件局部失穩(wěn)時的臨界應(yīng)力σ′cr之間的相對關(guān)系。當(dāng)局部失穩(wěn)時的臨界應(yīng)力σ′cr＞σcr時，拱圈將先發(fā)生整體失穩(wěn)；反之，當(dāng)局部失穩(wěn)時的臨界應(yīng)力σ′cr＜σcr時，拱圈將先發(fā)生局部失穩(wěn)；σ′cr＝σcr時，則達(dá)到整體失穩(wěn)與局部失穩(wěn)的臨界狀態(tài)［2］。

1 寬（高）厚比理論推導(dǎo)

混凝土箱形拱圈可視為由頂、底板與腹板共同構(gòu)成的空心薄板結(jié)構(gòu)，為防止主拱圈在整體失穩(wěn)前先出現(xiàn)頂、底板或腹板的局部屈曲，有必要研究頂、底板與腹板的最大寬（高）厚比限值，其局部穩(wěn)定可根據(jù)四邊簡支板承受均布壓力的屈曲分析導(dǎo)出［3］。圖1所示為四邊簡支薄板在均布壓力作用下的彈性屈曲情況。

根據(jù)彈性薄板理論，薄板翹曲后，板中面的撓度曲線方程為：

承受均布壓力px的四邊簡支板，其彈性屈曲可采用Ritz法求解。由彈性力學(xué)可知，符合四邊簡支邊界條件的撓度曲線函數(shù)：

將式（2）代入撓度曲線函數(shù)式（1）得：

則薄板發(fā)生彈性屈曲的臨界荷載pxcr：

求k關(guān)于自然數(shù)m的最小值，即可得到彈性屈曲臨界應(yīng)力。m的變量域為自然數(shù)域，k的極值與a／b有關(guān)，較難求得?？勺C明，k關(guān)于自然數(shù)域m的最小值大于或等于其關(guān)于實數(shù)域m的最小值，不難求出k關(guān)于實數(shù)域m的最小值為4，因此四邊簡支薄板彈性屈曲臨界應(yīng)力按下式計算：

實際混凝土箱形薄壁板的非受荷邊并非理想的簡支狀態(tài)，而是介于簡支與固結(jié)之間的彈性支承狀態(tài)，對于固結(jié)支承狀態(tài)，同樣可推導(dǎo)出類似于式（6）的臨界應(yīng)力，當(dāng)a／b≥2時，k＝6.97；彈性支承板的臨界應(yīng)力與彈性支承相關(guān)，因為k較為復(fù)雜，本文偏安全地采用簡支狀態(tài)臨界應(yīng)力k＝4?；炷帘”诎寮那?，一般為彈塑性屈曲，當(dāng)采用整個拱圈截面計算時，其彈塑性屈曲臨界力［4］為：

式中：λ1—薄板穩(wěn)定安全系數(shù)，據(jù)試驗統(tǒng)計確定，粗略取4或7［4］，與拱箱壁板屈曲方式有關(guān)，當(dāng)僅發(fā)生頂?shù)装寤蚋拱迩鷷r取4，當(dāng)頂?shù)装迮c腹板同時屈曲時取7；

φt—材料彈塑性切線模量與彈性模量的比值，φt＝Et／E，可參考混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€進(jìn)行計算，取值0.5，若為彈性階段，φt取1.0［4］；

υ—泊松比，υ＝0.2；

t—薄板厚度；

b—薄板寬度。

混凝土拱橋單箱單室、單箱雙室、單箱三室截面寬度、高度和厚度定義，如圖2所示。

組成拱圈頂、底板和腹板在荷載作用下主要承受其平面內(nèi)的均布壓力，這與承受軸心受壓的薄壁箱形構(gòu)件相似。因此，可根據(jù)拱的等效壓桿原理，將混凝土拱圈等效為空心薄壁中心受壓構(gòu)件，按照鋼筋混凝土軸心受壓構(gòu)件承載力計算公式求出截面容許應(yīng)力。對于無鉸拱，等效壓桿的自由長度為0.36倍的拱軸線弧長［5］。

根據(jù)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》（JTG 3362—2018）規(guī)定，忽略普通鋼筋的混凝土受壓構(gòu)件正截面受壓承載力計算公式為：

式（8）表明，按規(guī)范強度驗算，則構(gòu)件截面的最大應(yīng)力臨界值為：

上述式中σ、σmax分別為構(gòu)件截面的截面應(yīng)力（MPa）和最大臨界應(yīng)力（MPa）。

下面以彈塑性屈曲臨界應(yīng)力大于空心薄壁中心受壓構(gòu)件截面容許應(yīng)力為條件，確?；炷凉叭Σ话l(fā)生局部屈曲破壞，即σcr≥σ，由此可導(dǎo)出混凝土箱形拱橋頂、底板和腹板寬厚比限值。

聯(lián)合式（7）及式（9）可得出，

由此可得出拱圈寬厚比限值為：

上式中各參數(shù)意義同式（7）。

將λ1＝4和λ1＝7，υ＝0.2，φt＝0.5代 入 式（13），得：

（1）僅發(fā)生頂、底板或腹板屈曲時（λ1＝4）

（2）當(dāng)頂、底板及腹板同時發(fā)生屈曲時（λ1＝7）

鋼筋混凝土中心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)φ與構(gòu)件長細(xì)比λ有關(guān)［6］，當(dāng)λ≥48時，通過數(shù)值擬合可得到穩(wěn)定系數(shù)φ與構(gòu)件長細(xì)比λ數(shù)學(xué)表達(dá)式［3］。

2 工程實例

本文以某大跨徑混凝土箱形拱橋為工程背景，該橋凈跨徑165m，凈矢高30m，矢跨比1／5.5，拱軸系數(shù)m＝1.988，標(biāo)準(zhǔn)截面頂、底板厚30cm，邊腹板厚35cm，中腹板厚25cm，主拱圈采用C50混凝土。截面如圖3所示。

由式（12）可求出該橋主拱圈頂、底板和腹板寬（高）厚比限值為：

該橋設(shè)計寬厚比和高厚比分別為：

表明該橋主拱圈由強度控制，不會發(fā)生先于強度破壞的局部屈曲。

為驗證頂、底板和腹板寬（高）厚比公式的正確性，針對該橋主拱圈，采用單箱雙室截面，保持腹板厚度不變。將頂、底板厚度由30cm減小至8.6cm和10cm，如圖4中（a）、圖4（b）、圖4（c）所示。為簡化計算，忽略截面倒角的影響。

同時，為進(jìn)一步討論主拱圈截面形式，采用單箱單室及單箱雙室截面，保持頂、底板及腹板厚度不變。如圖4（a）、4（d）所示。

由式（12）可求出主拱圈各截面頂、底板和腹板寬（高）厚比限值如表1所示。

由表1可看出，四種截面形式中高厚比限值均小于局部屈曲寬（高）厚比限值，因此不會發(fā)生腹板屈曲；對頂、底板厚度為30cm和10cm的主拱圈，其寬厚比均小于局部屈曲寬（高）厚比限值，因此一階失穩(wěn)應(yīng)表現(xiàn)為整體失穩(wěn)，而頂、底板厚度為8.6cm的主拱圈，因其寬厚比大于局部屈曲寬（高）厚比限值，因此一階失穩(wěn)可能表現(xiàn)為局部頂、底板失穩(wěn)。

為驗證頂、底板和腹板寬（高）厚比公式的正確性，采用ANSYS15.0建立SHELL63板殼單元模型，分析主拱圈頂、底板選取不同厚度及不同截面形式時，主拱圈失穩(wěn)形式。其一階失穩(wěn)形式如圖5～圖8所示。

（1）由圖6可知，當(dāng)頂、底板厚度為8.6cm時，主拱圈一階失穩(wěn)表現(xiàn)為頂、底板的局部屈曲。若按最大寬厚比限值計算發(fā)生一階局部屈曲的頂、底板最小厚度，則為317.5／36.30＝8.75，可見兩者結(jié)果吻合良好。由圖5及圖7可知，對于頂、底板厚度為30cm及10cm的主拱圈，其一階失穩(wěn)表現(xiàn)為面內(nèi)整體屈曲。

（2）由圖5及圖8可知，單箱單室截面穩(wěn)定系數(shù)33.24稍大于單箱雙室截面穩(wěn)定系數(shù)32.55，說明單箱單室整體抗屈曲能力稍強于單箱雙室，但是單箱單室寬厚比21.17相對單箱雙室寬厚比10.58更接近于局部屈曲寬厚比限值，說明單箱單室更容易發(fā)生局部屈曲。

3 結(jié)論

（1）基于彈性薄板理論和拱的等效壓桿理論，以板件局部失穩(wěn)時的臨界應(yīng)力大于等于受壓構(gòu)件允許應(yīng)力為條件，推導(dǎo)出局部穩(wěn)定寬厚比限值理論公式。

（2）通過建立主拱圈板殼實體模型，確定出的頂、底板的最大寬厚比限值與推導(dǎo)出的理論公式所確定的頂、底板的最大寬厚比限值基本吻合，從而驗證了頂、底板和腹板寬（高）厚比公式的正確性。

（3）若拱圈的頂、底板和腹板的寬厚比不滿足寬（高）厚比限值要求，可通過采取增大其頂、底板和腹板的厚度，或者改變截面形式以減小寬厚比限值，如將單箱單室改為單箱雙室，從而保證拱圈截面的局部屈曲不先于整體失穩(wěn)出現(xiàn)。