無處不在的轉(zhuǎn)化

宮樂 李巖

一、形到形的轉(zhuǎn)化

例1 （2019·浙江寧波）如圖1，矩形EFGH的頂點E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點F、H在菱形ABCD的對角線BD上。

（1）求證：BG=DE;

（2）若E為AD中點，F(xiàn)H=2，求菱形ABCD的周長。

【分析】求證線段相等，最常用的方法是證明三角形全等，結(jié)合矩形、菱形的性質(zhì)容易找到全等的三角形。（1）可以將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。（2）中要求菱形的周長，可先轉(zhuǎn)化為求菱形的邊長AB，結(jié)合條件FH已知，容易想到連接矩形EFGH的另一條對角線EG，通過證明四邊形ABGE是平行四邊形，將求菱形的邊長轉(zhuǎn)化為求矩形對角線的長。

解：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，則∠GBF=∠EDH，可得△BGF≌△DEH（AAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

（2）如圖2，連接EG，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=BC，AD∥BC，結(jié)合（1）中的結(jié)論，證得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB=EG，進而易得結(jié)論。

【點評】四邊形的問題，經(jīng)常是通過添加輔助線，將之轉(zhuǎn)化為三角形的問題。例如，在新課的學(xué)習(xí)中，通過連接對角線，把平行四邊形分割成兩個全等的三角形，由全等三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的性質(zhì)。反之，在探究三角形的中位線時，是通過構(gòu)造出平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出三角形的中位線定理。把未知的圖形轉(zhuǎn)化為已知的圖形，用已經(jīng)掌握的知識來解決新問題，是分析、解決問題的基本策略。

二、形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

例2 （2019·黑龍江哈爾濱）已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F。

（1）如圖3，求證：AE=CF;

（2）如圖4，當∠ADB=30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖4中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的[18]。

【分析】要找面積=[18]矩形面積的三角形，可根據(jù)矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形直角邊和斜邊特殊的數(shù)量關(guān)系以及三角形面積的計算方法，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為[18]×矩形長×矩形寬。

解：（1）由“AAS”證明△ABE≌△CDF，即可得出結(jié)論。

（2）由平行線的性質(zhì)得出∠CBD=∠ADB=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出BE=[12]AB，AE=[12]AD，得出△ABE的面積=[12]×BE×AE=[18]×AB×AD=[18]S矩形ABCD。再由全等三角形的性質(zhì)得出△CDF的面積=[18]S矩形ABCD?！鰾EC的面積=[12]BE×CF=[18]S矩形ABCD，同理：△ADF的面積=[18]S矩形ABCD。

數(shù)學(xué)的精華在于可以把問題不斷地進行轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，但要注意的是，轉(zhuǎn)化是形變、量變，其本質(zhì)是不變的，一旦轉(zhuǎn)化造成了制約條件的變化，一定要及時進行檢驗。總而言之，轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心，從某種程度上來說是數(shù)學(xué)解題的通法，任何問題都可以借鑒這種方法進行思考和解決。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中多加思考和嘗試。

（作者單位：安徽省合肥一六八玫瑰園學(xué)校教育集團）