馬嬌 孫曉峰
同學(xué)們,大千世界,運(yùn)動(dòng)變化可以說(shuō)無(wú)處不在,運(yùn)動(dòng)與我們緊密相連。在數(shù)學(xué)世界里圖形的運(yùn)動(dòng)為我們解決問(wèn)題帶來(lái)很多便捷,也增添了不少樂(lè)趣。利用平移、翻折、旋轉(zhuǎn),我們的答題能更加簡(jiǎn)單。
下面讓我們一起走進(jìn)圖形的旋轉(zhuǎn),領(lǐng)略其巧妙之處。
例1 如圖1,已知正方形ABCD,E、F分別是CD、BC上的點(diǎn),且∠EAF=45°,則線段BF、DE、EF之間的關(guān)系式是__________。
【解析】基于對(duì)全等知識(shí)的研究和運(yùn)用,一部分同學(xué)會(huì)立馬想到在△AEF中構(gòu)造與△ADE或△ABF全等的△AEH或△AFH(如圖2),但發(fā)現(xiàn)不管是在EF上作EH=ED,還是作∠DAE=∠HAE,或是作AH⊥EF,要證明三角形全等,都只具有兩個(gè)條件,因此利用分割證全等得不出答案。
我們?cè)賮?lái)回顧一下題目條件,看看能否得出什么信息。不難發(fā)現(xiàn)AB=AD,∠DAB=90°=2∠EAF=∠D=∠ABC,得到∠DAE+∠BAF =∠EAF=45°。我們要解決BF、DE、EF三者間的關(guān)系,可以將短線段合理變換,把BF放到直線DC上,再證明全等,于是旋轉(zhuǎn)自然就巧妙構(gòu)建出來(lái)了。將△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,如圖3,證明△AEF與△AEG全等,即可說(shuō)明BF、DE、EF三者關(guān)系為EF=BF+DE。需要提醒的是:由旋轉(zhuǎn)形成的圖形,在進(jìn)行推理說(shuō)明時(shí),一定要說(shuō)明E、D、G三點(diǎn)在一條直線上。為避免證明三點(diǎn)共線,我們可以延長(zhǎng)ED到G,使GD=BF,然后兩次證明全等即可。同學(xué)們閱讀完后,不妨自己動(dòng)手寫寫看。
例2 如圖4,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD, AE⊥BC于E,若線段AE=5,則S四邊形ABCD=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。
【解析】受前例啟發(fā)的同學(xué),估計(jì)很快想到捷徑——巧妙構(gòu)建旋轉(zhuǎn)(如圖5),把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到正方形AECF,則四邊形ABCD的面積即為正方形AECF的面積,結(jié)果為AE2=25。利用旋轉(zhuǎn)將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化成特殊四邊形,利用特殊四邊形面積公式進(jìn)行計(jì)算,簡(jiǎn)單直觀。
講到這里,不知大家有沒(méi)有產(chǎn)生疑惑,為什么以上兩題都可以用旋轉(zhuǎn)??jī)蓚€(gè)問(wèn)題有什么共性的本質(zhì)可以遵循呢?
感悟:旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)——旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形,旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。例1、例2的共同特征是在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩條相等線段,條件里四邊形的相對(duì)內(nèi)角和為180°,即等線段、等角。
例3 如圖6,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn),則MA+MD+ME的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。
【解析】剛讀完題后,從題目條件觀察思考是不是找不到解決的方法?我們?cè)俅巫x題,條件中得不到解題信息,那不妨從問(wèn)題處著手突破。要求三線段和的最小值,聯(lián)想到求兩線段和的最值方法,只需要將現(xiàn)在的共點(diǎn)三線轉(zhuǎn)化成三折線,而且三折線在兩個(gè)頂點(diǎn)之間,因此應(yīng)進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換。
感悟:本題特征是共點(diǎn)三線,利用旋轉(zhuǎn)60°得到等邊三角形,形成等線段,巧妙地轉(zhuǎn)化成熟悉的模型。這就是旋轉(zhuǎn)之奧秘。
閱讀完三例,我們可以感受到數(shù)學(xué)中的無(wú)窮樂(lè)趣,旋轉(zhuǎn)應(yīng)用之巧妙。聰明的你,不妨動(dòng)手試一下:
(作者單位:江蘇省無(wú)錫市陽(yáng)山中學(xué))