有關拋物線阿基米德三角形的三個性質

王利民

【摘要】阿基米德三角形的定義：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.通過類比和聯(lián)想，通過對賽題1和賽題2進行探究，得出了拋物線阿基米德三角形的三個性質.

【關鍵詞】阿基米德;三角形;性質

阿基米德三角形的定義：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家和力學家，被后人譽為數(shù)學之神，他的著作有《論球與圓柱》《圓的度量》《論劈錐曲面體與橢圓體》《論螺線》《拋物弓形求積》等10部.阿基米德最早在著作《拋物弓形求積》中利用逼近的思想證明了有關性質：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積是阿基米德三角形面積的三分之二.筆者通過類比和聯(lián)想，通過對賽題1和賽題2進行探究，得出了拋物線阿基米德三角形的三個性質，現(xiàn)介紹如下.

賽題1 （2014年高中數(shù)學聯(lián)賽題A卷第9題）平面直角坐標系xOy中，P是不在x軸上的一個動點，滿足條件：過P可作拋物線y2=4x的兩條切線，兩切點連線lp與PO垂直，設直線lp與直線PO，x軸的交點分別為Q，R.

（1）證明R是一個定點;

（2）求|PQ||QR|的最小值.

賽題2 （2013年福建高中數(shù)學競賽初賽）已知A，B為拋物線C：y2=4x上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，l1，l2分別過點A，B且與拋物線C相切，P為l1與l2的交點.

（1）若直線AB過拋物線C的焦點F，求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程.

（2）設C，D為直線l1，l2與直線x=4的交點，求△PCD面積的最小值.

以上兩道賽題都是拋物線的定點和最值問題，都以阿基米德三角形為背景，不僅形式優(yōu)美，結構簡單，也著力考查了學生的思維能力和運算求解能力，也做到把數(shù)學史中著名定理和數(shù)學知識巧妙結合.考查了直線與拋物線的位置關系、基本不等式，也考查了化歸與轉化的思想，旨在考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

賽題1中，記過點P作的拋物線y2=4x的兩條切線的切點分別為A，B，則△PAB是阿基米德三角形.筆者通過對賽題1進行探究，得出：

【參考文獻】

[1]方亞斌.阿基米德三角形的性質[J].河北理科教學研究，2018（3）：21-23.