隱形的圓

康葉紅

圓是平面幾何中的基本圖形之一。它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題看似與圓無(wú)關(guān)，但如果我們根據(jù)題目中的已知條件，巧妙地構(gòu)造輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)建立起已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，往往能起到化隱為顯、化難為易、化繁為簡(jiǎn)的解題效果。現(xiàn)選取中考試題中一些“隱圓”問(wèn)題加以剖析，與同學(xué)們一同感受圓的魅力。

例1 （2018·江蘇南京節(jié)選）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=2∠BAD。O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OB=OD。求證：∠BOD=∠C。

【總結(jié)】當(dāng)題目中出現(xiàn)有相同公共端點(diǎn)的三條相等線段，可根據(jù)圓的定義，構(gòu)造輔助圓。

例2 （2016·江蘇淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)。將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是。

【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算，掌握折疊的性質(zhì)，找到點(diǎn)P到邊AB距離最小的位置是解題的關(guān)鍵。如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF的長(zhǎng)固定不變，即PF=CF=2。所以，點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，以2為半徑的⊙F上運(yùn)動(dòng)。過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB交⊙F于點(diǎn)P，垂足是點(diǎn)H。此時(shí)PH最小，則△AFH∽△ABC，所以[FHBC]=[FAAB]。由已知得AF=4，AB=[AC2+BC2]=10。所以[FH8]=[410]，F(xiàn)H=[165]。所以，點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是PH=FH-FP=[165]-2=[65]。

【總結(jié)】當(dāng)題目中出現(xiàn)一條定線段和定角時(shí)，如圖6（定線段AB和定角∠APB），可以定線段為弦，定角為圓周角構(gòu)造輔助圓。特殊地，當(dāng)定角∠P=90°時(shí)，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，則定線段就是圓的直徑。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）