何的本質(zhì).以“圓周角”為例,談?wù)勅绾卫脦缀萎?huà)板可視化教學(xué)突破“圓周角”教學(xué)難點(diǎn)[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中“圓周角”的課標(biāo)要求:探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系,知道同弧(或等弧) 所對(duì)的圓周角相等.了解并證明圓周角定理及其推論:圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半.本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)如下:(1)發(fā)現(xiàn)同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系;(2)同弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè),而所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)多個(gè),一條弧所對(duì)的無(wú)限多個(gè)圓周角應(yīng)該按什么特征進(jìn)

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

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解題路徑.在“圓周角”一課的教學(xué)中，筆者從圓周角的定理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建“相同的弧所對(duì)的圓心角和圓周角度數(shù)之間的關(guān)系”，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立使學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，從而應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，并構(gòu)建起自我的知識(shí)結(jié)構(gòu).背景問(wèn)題如圖1所示，圓O中的兩個(gè)圓周角∠ACB和∠ADB，請(qǐng)測(cè)量?jī)蓚€(gè)圓周角的大小，并比較它們的大小.通過(guò)變動(dòng)點(diǎn)C的位置，這時(shí)圓周角在發(fā)生變化嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？圖1再量一量圓心角∠AOB的度數(shù)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

引言圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重

九年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)圓周角的概念，通過(guò)與已有“圓心角”概念對(duì)比得出圓周角概念，而在圓周角定理得出的環(huán)節(jié)，人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)用了下面這段文字：如圖1,為了證明上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論(圓周角定理)，在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對(duì)折，由于A的位置不同，折痕會(huì)：(1)在圓周角的一條邊上；(2)在圓周角的內(nèi)部；(3)在圓周角的外部.圖12 問(wèn)題診斷根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容，為引出圓周角的概念，很多教師設(shè)計(jì)了“將圓形紙片動(dòng)手折一折”的教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣圓周角的

教材內(nèi)容分析圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得

教材內(nèi)容分析圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得

教材內(nèi)容分析圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得

教材內(nèi)容分析圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得

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教材內(nèi)容分析圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得

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九年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)圓周角的概念，通過(guò)與已有“圓心角”概念對(duì)比得出圓周角概念，而在圓周角定理得出的環(huán)節(jié)，人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)用了下面這段文字：如圖1,為了證明上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論(圓周角定理)，在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對(duì)折，由于A的位置不同，折痕會(huì)：(1)在圓周角的一條邊上；(2)在圓周角的內(nèi)部；(3)在圓周角的外部.圖12 問(wèn)題診斷根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容，為引出圓周角的概念，很多教師設(shè)計(jì)了“將圓形紙片動(dòng)手折一折”的教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣圓周角的

24.1.4 圓周角”，主要內(nèi)容為圓周角的概念、圓周角定理及其推論.2. 內(nèi)容解析圓周角是一類非常重要的角. 圓周角定理刻畫(huà)了圓中同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的數(shù)量關(guān)系. 它是解決與圓有關(guān)的角的計(jì)算，證明弦、角、弧相等的重要且便捷的方法. 另外，圓周角定理的證明采用了完全歸納法，這與以往的證明定理的方法不同. 證明前需要先對(duì)其分類，然后分情況證明，在分情況證明時(shí)先證明特殊情況，再把一般情況化為特殊情況從而完成證明.本節(jié)課的研究對(duì)象——圓周角，作為與圓相關(guān)的

康峰摘要：圓周角? 圓心角? 自制? ?演示教具1 引言數(shù)學(xué)老師上圓周角和圓心角的關(guān)系即圓周角定理這節(jié)課時(shí)，我聽(tīng)得稀里糊涂，只知道要證明這個(gè)定理得分三種情況討論：（1）、圓周角和圓心角一邊重合，一邊落在圓心O的同側(cè);（2）、圓周角和圓心角的兩邊分別落在圓心O的兩側(cè);（3）、圓周角的兩邊落在圓心O的同側(cè)。老師在黑板上一一寫(xiě)出了這三種情況的證明過(guò)程，然后得出圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半這一結(jié)論。我感覺(jué)非常復(fù)雜、繁瑣，整節(jié)課聽(tīng)得稀里糊涂。我想既然

同弧所對(duì)的三個(gè)圓周角，發(fā)現(xiàn)它們相等”的習(xí)題，通過(guò)測(cè)量、猜想、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論。一、測(cè)量中發(fā)現(xiàn)角相等，建立表象1.出示習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立測(cè)量。2.反饋交流，明確測(cè)量方法。交流測(cè)量結(jié)果，討論測(cè)量中誤差形成的原因和改進(jìn)方法。指出，由于測(cè)量動(dòng)作、方法等因素，測(cè)量結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。為了減少誤差，測(cè)量時(shí)可以把角的兩邊適當(dāng)延長(zhǎng)，方便與0 刻度線重合，也便于讀準(zhǔn)角的度數(shù)。3.再次測(cè)量，得出“三個(gè)角都是60°”的結(jié)論。二、觀察中認(rèn)識(shí)圓周角特點(diǎn)，提

望學(xué)生對(duì)圓中的圓周角有更深的認(rèn)識(shí)。二、案例描述（一）教學(xué)目標(biāo)1. 理解圓周角的概念，掌握圓周角的特性，并且與之前所學(xué)的圓心角比較異同2. 可以靈活的運(yùn)用簡(jiǎn)單的圓周角定理解決問(wèn)題3. 學(xué)會(huì)對(duì)圓周角定理的證明，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的分析和想象的能力4. 探索從特殊到一般，從一般到特殊的思想方法。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：圓周角的概念和定理難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并能證明圓周角定理（三）教學(xué)方法教師、小組合作、多媒體演示（四）教學(xué)課程設(shè)計(jì)分析1. 通過(guò)ppt展示圓形的建筑，比如大廳里

中考試題，多以圓周角定理的應(yīng)用為核心，并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)考查，下面舉例介紹.O [一、結(jié)合等腰三角形性質(zhì)]等腰三角形的兩腰為半徑，頂角是圓心角.例1（2020·江蘇·淮安）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，則∠ABO的度數(shù)是（ ）.A. 54° B. 27° C. 36° D. 108°分析：△ABO是等腰三角形，∠ABO是它的一個(gè)底角. 欲求∠ABO的度數(shù)，只需求∠AOB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理知∠AOB = 2∠ACB=108°.解：∵

中考試題，多以圓周角定理的應(yīng)用為核心，并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)考查，下面舉例介紹.一、融合垂徑定理，轉(zhuǎn)化三量關(guān)系過(guò)圓心且垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.例1（2020·湖北·荊門(mén)）如圖1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到連接OA，得

聽(tīng)評(píng)課活動(dòng)中“圓周角定理”的教學(xué)片段為例，通過(guò)課堂上出現(xiàn)的種種問(wèn)題反思教學(xué)設(shè)計(jì)的不足，并對(duì)原設(shè)計(jì)進(jìn)行修改調(diào)整，更加注重學(xué)生活動(dòng)的實(shí)效性。在反思-調(diào)整-修改的過(guò)程中加深了教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，促進(jìn)了教師的專業(yè)成長(zhǎng)。【關(guān)鍵詞】學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì);“圓周角定理”“圓周角定理”是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的定理，。尤其是定理的證明，蘊(yùn)含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想。如何抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，循循善誘引導(dǎo)學(xué)生分類證明、由特殊到一般考慮問(wèn)題是這節(jié)課的關(guān)鍵。本文以一次聽(tīng)評(píng)課活動(dòng)中對(duì)“圓周角定理

內(nèi)容，對(duì)所給的圓周角教材（組織方復(fù)印了其中幾頁(yè)發(fā)給備課教師使用）全部實(shí)施了教學(xué)展示，使得模擬上課的時(shí)間超出3分鐘.本文先梳理該課的主要教學(xué)環(huán)節(jié)，再跟進(jìn)評(píng)析，并進(jìn)一步給出筆者關(guān)于“圓周角（第1課時(shí)）”的教學(xué)建議.一、青年教師的“圓周角（第1課時(shí)）”模擬上課記錄說(shuō)明：青年教師將本課的流程設(shè)計(jì)成以下四個(gè)主要環(huán)節(jié)“基于情境，引出新知”“合作探究，豐富新知”“運(yùn)用新知，變式講評(píng)”“師生小結(jié)，課后訓(xùn)練”，流程清晰，學(xué)程推進(jìn)富含節(jié)奏，這些都是值是肯定的，我們也按上述4個(gè)

何計(jì)算90°的圓周角平分線在圓內(nèi)部分的長(zhǎng)度，以及角平分線與直徑相交所成四條線段的長(zhǎng)度，文中的方法略顯復(fù)雜不容易思考.筆者在仔細(xì)閱讀時(shí)想到可以用更普通的方法解決問(wèn)題，還可以將90°的圓周角推廣到任意度數(shù)的圓周角，進(jìn)而得出解決此類問(wèn)題的通法，再計(jì)算任意圓周角的角平分線圓周角所對(duì)的弦相交所成四條線段的長(zhǎng)度，并在拓展后得出任意圓周角相鄰的外角平分線在圓內(nèi)部分長(zhǎng)度的一般性結(jié)論，供讀者參考.

研討活動(dòng),以《圓周角(第1課)》為內(nèi)容,執(zhí)教了一節(jié)公開(kāi)課.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄與思考整理成文,談?wù)剮缀萎?huà)板與數(shù)學(xué)知識(shí)生成融合的實(shí)踐與思考.一、教學(xué)實(shí)錄教學(xué)活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情景,圓周角從哪里來(lái)?師：前面我們學(xué)習(xí)了圓心角,請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D1中,畫(huà)出一個(gè)圓心角.生：(學(xué)生動(dòng)手在導(dǎo)學(xué)案上畫(huà)圓心角)師：誰(shuí)能根據(jù)你畫(huà)出的圖說(shuō)一說(shuō)圓心角的概念?生：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)圓心角的有關(guān)性質(zhì)?生：在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)

圓中，圓心角與圓周角是最常見(jiàn)的角.它們與弦、弧和扇形面積的聯(lián)系比較密切，是中考命題的重點(diǎn).下面舉例說(shuō)明圓中角的各種應(yīng)用.一、求角的大小1.利用圓心角求圓周角例 1如圖1，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）.A．15° B．25° C．30° D．50°解析：如圖1，連接OB.∵OA⊥BC，圖1又∵∠AOC=50°，∴∠AOB=∠AOC=50°，選B．2.利用圓周角求圓心角例 2如圖2，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則

期第二十四章“圓周角”第1課時(shí)的教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明.一、概念“源”發(fā)生，自然流暢滲透思想教材對(duì)圓周角的描述，只有一句話：“在圓中，還有另一類角，它的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交.”許多教師也基本上是開(kāi)門(mén)見(jiàn)山給出概念，這樣處理教材略顯簡(jiǎn)單，沒(méi)有對(duì)教材中“另一類角”進(jìn)行自然挖掘，使得概念的發(fā)生較為突然.為此，教師進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：師：同學(xué)們，我們知道圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出一個(gè)圓心角∠AOB.保持角的兩邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)A、B不變，任意改變角的頂點(diǎn)，試一

上、圓內(nèi)的角→圓周角的概念→圓心與圓周角的位置→探索圓周角的性質(zhì)→解決問(wèn)題（古代航標(biāo)燈的作用），以此深化學(xué)生對(duì)圓周角的概念及其性質(zhì)的理解。在教材處理方面，首先，筆者注重創(chuàng)設(shè)生活情境，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，對(duì)教材中的“操作與思考”進(jìn)行了處理，從學(xué)生已經(jīng)掌握的點(diǎn)和圓的位置關(guān)系入手，讓學(xué)生經(jīng)歷圓周角的形成過(guò)程，過(guò)渡比較自然。其次，筆者注重讓學(xué)生在“做”中學(xué)。通過(guò)畫(huà)圓周角，學(xué)生能進(jìn)一步理解圓周角的概念，這為下一步探索圓心和圓周角的位置埋下伏筆；通過(guò)

上、圓內(nèi)的角→圓周角的概念→圓心與圓周角的位置→探索圓周角的性質(zhì)→解決問(wèn)題（古代航標(biāo)燈的作用），以此深化學(xué)生對(duì)圓周角的概念及其性質(zhì)的理解。在教材處理方面，首先，筆者注重創(chuàng)設(shè)生活情境，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，對(duì)教材中的“操作與思考”進(jìn)行了處理，從學(xué)生已經(jīng)掌握的點(diǎn)和圓的位置關(guān)系入手，讓學(xué)生經(jīng)歷圓周角的形成過(guò)程，過(guò)渡比較自然。其次，筆者注重讓學(xué)生在“做”中學(xué)。通過(guò)畫(huà)圓周角，學(xué)生能進(jìn)一步理解圓周角的概念，這為下一步探索圓心和圓周角的位置埋下伏筆；通過(guò)

，觀摩了一節(jié)“圓周角（第1課時(shí)）”教學(xué)，執(zhí)教老師課前用力很多，制作了精致的教學(xué)課件，使得較多的教學(xué)時(shí)間花在課件展示、畫(huà)板演示上，評(píng)課時(shí)得到了較多的標(biāo)簽式溢美之詞.然而，筆者另有所思，本文先梳理該課的前兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，并跟進(jìn)反思和商榷意見(jiàn)，供研討交流.一、教學(xué)流程教學(xué)環(huán)節(jié)1：課件演示，引入新知.PPT出示圖片：圖1是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過(guò)其中的圓弧形玻璃窗弧AB觀看室內(nèi)的海洋動(dòng)物.圖2圖1圖2是圓柱形的海洋館橫切面的示意圖，弧AB表示圓

例如，在講授“圓周角”一課時(shí)，為了得出同弧所對(duì)的圓周角相等這個(gè)結(jié)論，我設(shè)計(jì)了一連串的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，獲得了好的教學(xué)效果。師：通過(guò)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道等弧所對(duì)的圓心角相等。那么，同弧所對(duì)的無(wú)數(shù)個(gè)圓周角或等弧所對(duì)的圓周角之間又有什么關(guān)系？學(xué)生在課前準(zhǔn)備的圓上作出同弧或等弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，并探究它們之間的關(guān)系。生1：我用的是度量法。我在同一個(gè)圓上作出了同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，用量角器量得兩個(gè)角的度數(shù)都是41毅，所以我猜測(cè)同弧所對(duì)的圓周角相等。生2：

張靜求圓周角常見(jiàn)錯(cuò)誤分析張靜圓是初中階段重要的知識(shí)點(diǎn)，是中考考查重點(diǎn)內(nèi)容之一.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中感到知識(shí)點(diǎn)特別多，理解起來(lái)又特別難.針對(duì)弧、弦、圓心角與圓周角之間的聯(lián)系，特別在求圓周角時(shí)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解、漏解等情況，借此文，筆者把求圓周角的易錯(cuò)之處總結(jié)并歸納.類型一：知弦求圓周角例1在直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對(duì)的圓周角為_(kāi)______.【錯(cuò)解】30°.【錯(cuò)解原因】在同圓中，一條弦對(duì)著無(wú)數(shù)個(gè)圓周角，在這無(wú)數(shù)個(gè)圓周角中又可分為兩種情況，一

究點(diǎn) ——以“圓周角”的教學(xué)為例文︳曾 輝學(xué)起于思，思源于疑。有疑問(wèn)學(xué)生才會(huì)主動(dòng)探究，而探究源于問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程需要問(wèn)題來(lái)活化，教學(xué)對(duì)象需要問(wèn)題來(lái)觸動(dòng)。因此，新知的生長(zhǎng)點(diǎn)往往來(lái)自于一些能突出認(rèn)知矛盾，激發(fā)探究欲望的問(wèn)題——探究點(diǎn)。通過(guò)探究點(diǎn)的引領(lǐng)，借助于情境的支持，引發(fā)認(rèn)知沖突，學(xué)生在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不能解決問(wèn)題的情況下，及時(shí)地做出調(diào)整，以適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。例如，在講授“圓周角”一課時(shí)，為了得出同弧所對(duì)的圓周角相等這個(gè)結(jié)論，我設(shè)計(jì)了一連串的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探

將以“同弧所對(duì)圓周角的大小是其所對(duì)圓心角的一半”這一命題為例進(jìn)行說(shuō)明.如圖1所示，在圓O中，對(duì)于弧AC而言，∠AOC與∠ABC分別代表了與其相對(duì)應(yīng)的圓心角與圓周角，那么命題就相當(dāng)于是證明∠AOC=2∠ABC.從圖中我們可以看出，隨著B(niǎo)點(diǎn)位置的不同，圓周角與圓心的關(guān)系可以分為三種情況，即圓心分別在圓周角一條邊上、圓周角內(nèi)部和圓周角外部.通過(guò)這種方式，我們將問(wèn)題分成了三類，只要分別驗(yàn)證這三種情況下∠AOC的大小均為∠ABC的兩倍，即證明了命題的成立.證明過(guò)程如

1.直徑+所對(duì)圓周角例1（第9題）如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，∠B= 60°，⊙O的半徑為4，則AC的長(zhǎng)等于（）.圖1圖2圖3解法1：如圖2，連接CO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD=90°.由于∠B=60°，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得∠D=60°.解法2：如圖3，連接AO、CO，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直于AC，垂足為E.根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系，可得∠AOC=120°.又由于AO=CO，所以∠EOC=60°.思考：解法1和解法2可以說(shuō)都是非常自然、非常常

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得∠BAC=90°.問(wèn)題2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值是.分析線段AF的端點(diǎn)A是定點(diǎn)、F是動(dòng)點(diǎn)，為了求出線段AF長(zhǎng)的最小值，需要先確定動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.根據(jù)△DBE沿DE翻折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，可知點(diǎn)F到點(diǎn)D的距離始終等于BD的長(zhǎng)度3，因此，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)D為圓心，D

促進(jìn)作用。就“圓周角”這一內(nèi)容來(lái)說(shuō)，教學(xué)目標(biāo)就應(yīng)該這樣來(lái)設(shè)計(jì)：1.理解圓周角的概念，明確圓周角的兩個(gè)特征。2.理解并掌握圓周角定理及其推論，會(huì)證明圓周角定理。3.滲透類比、分類的教學(xué)思想、方法。4.通過(guò)對(duì)圓周角定理及其推論的證明，讓學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)歷程，增強(qiáng)學(xué)生課堂探究的自信心，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。5.靈活、自如地運(yùn)用圓周角定理的有關(guān)知識(shí)解題，并通過(guò)對(duì)圖形添加輔助線來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。6.把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐而在這六個(gè)方面的教學(xué)目標(biāo)中邊、圓周角的概念、圓周

第二章第四節(jié)《圓周角》. 本節(jié)課是在圓的基本概念和性質(zhì)以及圓心角概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)圓周角的性質(zhì)進(jìn)行探索，圓周角性質(zhì)在圓的有關(guān)說(shuō)理、作圖、計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)圓的后續(xù)知識(shí)的重要預(yù)備知識(shí)，在教材中起著承上啟下的作用.同時(shí)，圓周角性質(zhì)也是說(shuō)明線段相等，角相等的重要依據(jù)之一.【教學(xué)片斷】1.習(xí)舊引新教師：同學(xué)們，在⊙O 上,任選兩個(gè)點(diǎn)A、B，然后順次連接點(diǎn)A、O、B，得到的是什么圖形？學(xué)生：圓心角.教師：如果我們改變頂點(diǎn)的位置，你還能將頂點(diǎn)放在哪里？

方式。本文以“圓周角”為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)有效地設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、啟發(fā)學(xué)生思維，激活課堂的活力。教學(xué)活動(dòng)1：步步設(shè)問(wèn)，引出概念師：前面我們學(xué)習(xí)了圓心角，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D1中，畫(huà)出一個(gè)圓心角。眾生：（學(xué)生動(dòng)手在導(dǎo)學(xué)案上畫(huà)圓心角）師：誰(shuí)能根據(jù)你畫(huà)出的圖說(shuō)一說(shuō)圓心角的概念？生：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)圓心角的有關(guān)性質(zhì)？生：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。【點(diǎn)評(píng)】以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已

黃芹圓周角是圓中一類特殊的角，正確理解圓周角的概念，深刻認(rèn)識(shí)圓周角定理，切實(shí)掌握圓周角定理的應(yīng)用，是學(xué)好圓周角的關(guān)鍵，也是進(jìn)一步學(xué)好圓的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ).例1 如圖1，☉O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，∠A=45°，BD為☉O的直徑，BD= 2，連接CD，則∠D=______，BC=______.【解析】由“同弧所對(duì)的圓周角相等”可知，∠D=∠A=45°；又BD為☉O的直徑，所以∠BCD=90°；又BD=2，所以BC=CD=2.例2 若O為△ABC

常作直徑所對(duì)的圓周角，然后利用直徑所對(duì)的圓周角是直角來(lái)尋找證題的途徑. 在解（證）圓的題目時(shí)，輔助線是關(guān)鍵.那么，應(yīng)該如何添加輔助線呢？下面我根據(jù)不同類型的特點(diǎn)總結(jié)了一些常見(jiàn)的輔助線的添加法.1.當(dāng)題目的已知中有直徑的條件時(shí)，常常作直徑所對(duì)的圓周角，然后利用直徑所對(duì)的圓周角是直角來(lái)尋找證題的途徑. 在解（證）圓的題目時(shí)，輔助線是關(guān)鍵.那么，應(yīng)該如何添

弦求弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù).作OD⊥AB于D，由垂徑定理得所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.因?yàn)椤螦OB=120°.因?yàn)橄褹B所對(duì)圓周角等于是∠AOB的一半，所以弦AB所對(duì)圓周角為60°.分析：由于圓周角的頂點(diǎn)位置可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖2），所以弦AB所對(duì)的圓周角有兩種可能.因?yàn)椤螦PB+∠AP1B=180°，所以∠AP1B=120°.所以AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為60°或120例 2 如圖3，半徑為2的⊙O中，弦上一點(diǎn)，且PA=