呂明久, 孫宗良, 楊 軍, 杜 雄, 丁 凱

(1. 解放軍95980部隊, 湖北襄陽 441000； 2. 空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北武漢 430019)

0 引言

高頻雷達(High Frequency Radar，HFR)作為一種可以對遠距離目標觀測的新體制雷達，已成為現(xiàn)代戰(zhàn)略預(yù)警體系的重要組成部分。然而，由于HFR大多工作于高頻頻段，其復(fù)雜的外界干擾條件，對雷達工作頻率的選擇、發(fā)射帶寬的提升等帶來了諸多困難。將隨機步進頻率信號與HFR相結(jié)合，通過發(fā)射一串載頻跳變的子脈沖來避開干擾頻段，可以顯著增強信號的抗干擾性能，同時實現(xiàn)大的合成帶寬，已經(jīng)得到廣泛關(guān)注[1-2]。

由于HFR工作環(huán)境特點以及RSF信號距離旁瓣高、處理難度大等問題，因此，當前RSF HFR的研究主要側(cè)重于信號子脈沖在可用頻帶內(nèi)非均勻分布或者缺失條件下的波形設(shè)計和信號處理方法[3-4]。如文獻[5]采用自適應(yīng)目標回波重建算法，實現(xiàn)了降低RSF信號距離旁瓣的目的。文獻[6]通過設(shè)計不同頻率脈沖出現(xiàn)概率來降低信號稀疏條件下的距離旁瓣。近年來，眾多學(xué)者將壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論與RSF信號相結(jié)合，通過利用回波信號的稀疏信息，獲得了信號隨機、稀疏條件下的高精度重構(gòu)結(jié)果[7]。文獻[8-9]基于CS理論實現(xiàn)了信號子脈沖缺失條件下的HFR距離-多普勒二維高分辨重構(gòu)。然而，當前基于CS理論的RSF HFR均只考慮了如何快速實現(xiàn)回波信號的快速、精確重構(gòu)，而對于RSF信號的發(fā)射子脈沖個數(shù)、子脈沖帶寬大小等對重構(gòu)性能的影響涉及較少。實際上，由于HFR工作頻帶的非均勻分布，在相同的合成帶寬條件下，設(shè)置不同的RSF信號發(fā)射參數(shù)(子脈沖個數(shù)、載頻跳變方式等)將會對最終稀疏重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生影響，因此具有十分重要的研究價值。

針對上述問題，本文對基于CS理論的RSF HFR稀疏重構(gòu)性能進行了研究。首先構(gòu)建了RSF HFR二維稀疏重構(gòu)模型。其次，利用感知矩陣性能作為衡量指標，推導(dǎo)出影響感知矩陣互相關(guān)性能(最大互相關(guān)系數(shù)、平均互相關(guān)系數(shù))的信號參數(shù)，得出在相同合成帶寬條件下，采用子脈沖隨機步進方式、增加發(fā)射子脈沖個數(shù)的方式可以得到更好的RSF HFR二維稀疏重構(gòu)結(jié)果。最終，利用仿真實驗對上述結(jié)論進行了驗證。本文的研究對RSF HFR的波形設(shè)計以及提升基于CS理論的稀疏重構(gòu)性能分析具有重要的實際意義與作用。

1 RSF HFR二維稀疏重構(gòu)模型

RSF信號的數(shù)學(xué)模型可以表示為[9]

(1)

式中，μ1(t)為子脈沖復(fù)包絡(luò)，Tr為脈沖重復(fù)周期，N為子脈沖個數(shù)，fn為第n個子脈沖的載頻，可以表示為

fn=fc+ΓnΔf

(2)

式中，Γn∈[0，N-1]且|Γn|=N，|·|表示集合的勢，即包含的元素個數(shù)，fc為初始載頻。

如圖1所示，HFR的工作頻段中存在大量的外界干擾，很難找到一段較大且連續(xù)干凈的“寂靜”頻帶。而通過選擇合適的RSF信號子脈沖載頻以及發(fā)射個數(shù)可以實現(xiàn)大的合成帶寬。假設(shè)用矩陣Φ表示信號隨機發(fā)射的規(guī)律，則RSF信號發(fā)射規(guī)律可以表示為

ΓN×1=ΦN×NΠN×1

(3)

圖1 HFR工作環(huán)境示意圖

式中，Π=[0,1,…,N-1]，矩陣ΦN×N={φi,i′}的構(gòu)造方式可以寫成：

φi,i′=1，i′=i

(4)

假設(shè)只發(fā)射M(M≤N)個子脈沖信號，此時可視為從fn中隨機抽取M個頻點參與重構(gòu)，可以通過式(3)所示的量測矩陣Φ對子脈沖載頻fn進行選擇。

此時，對于一個脈組內(nèi)的回波采樣信號可以寫成[9]：

(5)

當目標與雷達之間存在相對運動時，為簡化分析，此處假設(shè)目標只存在勻速運動，此時τk可以表示為

(6)

式中，Rk為第k個散射點與雷達的初始距離，V為目標徑向速度。

在距離、多普勒二維空間中，觀測目標只占少量的部分，因此可以視為稀疏的。根據(jù)CS理論，可以將目標在距離域劃分為[R1,R2,…,RP]個網(wǎng)格，在速度域劃分為[V1,V2,…,VQ]個網(wǎng)格，因此可得到一個P×Q維的目標場景矩陣X(p,q)。此時式(5)可以表示為

(7)

式中，

(8)

將式(7)寫成矩陣形式可以得到：

u=Θx+W′

(9)

其中u=[U1,…,Un,…,UN]T，x=[X1,X2,…,XPQ]T為X(p,q)行列堆疊的結(jié)果，矩陣Θ中的元素可以表示為

h(n,(p-1)Q+q)=

(10)

因此，Θ為N×PQ,(N?PQ)維矩陣且可以表示為

Θ={h1,…,hpQ+q,…h(huán)PQ}

(11)

式中，hi為維度為N×1的向量，W′為噪聲向量。

上述過程完成了RSF HFR稀疏重構(gòu)模型的建模，下面基于上述模型對不同參數(shù)條件下的稀疏重構(gòu)性能進行分析。

2 稀疏重構(gòu)性能衡量方法

2.1 感知矩陣互相關(guān)性

對于上述基于CS的RSF HFR稀疏重構(gòu)模型，Donoho等人提出了感知矩陣Θ的非相關(guān)性約束條件，通過定義感知矩陣Θ中各列之間的最大互相關(guān)系數(shù)來定量描述。Θ各列的最大互相關(guān)系數(shù)μmax定義為[10]

(12)

式中，Θi表示矩陣Θ的第i列,〈·,·〉表示內(nèi)積。

由于最大互相關(guān)系數(shù)μmax只描述了感知矩陣Θ的局部互相關(guān)特征，為此，文獻[12]提出了感知矩陣Θ平均互相關(guān)系數(shù)的概念，矩陣Θ的平均互相關(guān)系數(shù)μave定義為

(13)

式中，κ∈[0,1]，當κ=0時，μave為Gram矩陣G中非對角線元素和的均值。當平均互相關(guān)系數(shù)μave較小時，表明Θ的整體相關(guān)性較弱，稀疏重構(gòu)的性能將越好。

在當前的文獻中，采用最大互相關(guān)系數(shù)μmax與平均互相關(guān)系數(shù)μave的稀疏重構(gòu)性能優(yōu)劣評判方法(即當μmax越小時，稀疏重構(gòu)性能越好；當μmax相等時，μave越小，對應(yīng)的稀疏重構(gòu)性能更優(yōu))已經(jīng)得到學(xué)者的認同，并得到了廣泛使用[13]。因此本文利用μmax以及μave作為評價指標，分析RSF HFR稀疏重構(gòu)性能。

2.2 RSF HFR感知矩陣互相關(guān)性表征

結(jié)合式(9)，RSF信號其感知矩陣Θ的第i列與第j列的互相關(guān)系數(shù)μi,j可以表示為

(14)

此時感知矩陣Θ的最大互相關(guān)系數(shù)為

(15)

同理，通過式(14)，當κ=0時，感知矩陣Θ的平均互相關(guān)系數(shù)μave可以表示為

(16)

從式(15)、式(16)可以看出，μmax以及μave大小與RSF信號子脈沖個數(shù)、載頻步進方式等因素有關(guān)。假設(shè)RSF信號的合成帶寬為250 kHz，載頻f0=10 MHz，子脈沖重復(fù)頻率PRF=3 000 Hz，分別設(shè)置子脈沖個數(shù)為N=50，100，150，對應(yīng)的子脈沖帶寬分別為Δf=5，2.5，5/3 kHz。假設(shè)距離域、速度域離散點數(shù)相等，即P=Q=N。圖2中所示為隨機選取M=0.8N個子脈沖參與重構(gòu)時，相應(yīng)的感知矩陣互相關(guān)系數(shù)大小統(tǒng)計直方圖(上述結(jié)果均為500次蒙特卡羅統(tǒng)計的均值，且圖中以0.02為統(tǒng)計間隔，下同)，相應(yīng)的最大互相關(guān)系數(shù)和平均互相關(guān)系數(shù)如表1所示。為便于比較，圖中給出了順序步進(Linear Stepped Frequency，LSF)信號的統(tǒng)計結(jié)果。

(a) N=50時LSF信號

(b) N=50時RSF信號

(c) N=100時LSF信號

(d) N=100時RSF信號

(e) N=150時LSF信號

(f) N=150時RSF信號

表1 相同合成帶寬條件下最大互相關(guān)系數(shù)與平均互相關(guān)系數(shù)

從圖2以及表1的對比可以看出：對于LSF信號，不論子脈沖個數(shù)如何變化，其對應(yīng)的最大互相關(guān)系數(shù)始終為1，但是平均互相關(guān)系數(shù)隨著子脈沖個數(shù)變少而逐漸變大。對于RSF信號，平均互相關(guān)系數(shù)與最大互相關(guān)系數(shù)均隨著子脈沖個數(shù)的減少逐漸增大。在相同的條件下，LSF信號的最大互相關(guān)系數(shù)始終大于RSF信號的最大互相關(guān)系數(shù)。綜上所述，基于CS的RSF HFR二維稀疏重構(gòu)性能可以總結(jié)為：

1) 在相同的合成帶寬條件下，選擇較多的發(fā)射子脈沖個數(shù)可以降低感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)以及平均互相關(guān)系數(shù)，能夠得到較好的稀疏重構(gòu)結(jié)果。

2) 子脈沖載頻采用隨機步進的方式可以得到更小的感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)，更有利于信號的稀疏重構(gòu)。

3 仿真分析與驗證

仿真1 不同步進方式條件下二維稀疏重構(gòu)性能

依據(jù)上節(jié)信號參數(shù)并假設(shè)子脈沖個數(shù)N=50，距離域、速度域離散點數(shù)均設(shè)置為50，即M=N。圖3為在不同稀疏度K條件下LSF信號與RSF信號的稀疏重構(gòu)誤差比較，蒙特卡洛仿真次數(shù)同樣設(shè)置為500次。

從圖3可以看出，在不同的稀疏度條件下，載頻隨機步進比載頻順序步進信號的稀疏重構(gòu)誤差小，這與圖1中RSF信號對應(yīng)的感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)小于LSF信號對應(yīng)的感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)的結(jié)論一致。

(a) 稀疏度為8

(b) 稀疏度為10

(c) 稀疏度為12

為進一步驗證上述結(jié)論，假設(shè)信噪比為15 dB，設(shè)置如圖4所示的距離、速度二維待重構(gòu)結(jié)果(稀疏度為8)。圖5分別為載頻順序跳變以及載頻隨機跳變的步進頻率信號稀疏重構(gòu)結(jié)果。

圖4 原始二維圖像

(a) LSF信號重構(gòu)結(jié)果

(b) RSF信號重構(gòu)結(jié)果

從圖5的二維重構(gòu)結(jié)果可以看出，當載頻順序變化時，原始圖像中出現(xiàn)了較多的虛假重構(gòu)點，而當載頻隨機跳變時，虛假重構(gòu)點明顯小于載頻順序步進時的結(jié)果，因此具有更好的稀疏重構(gòu)性能，從而進一步驗證了上述結(jié)論的正確性。

仿真2 不同子脈沖個數(shù)條件下二維稀疏重構(gòu)性能

假設(shè)參數(shù)設(shè)置條件不變，信噪比為10 dB，圖6為相同合成帶寬條件下，子脈沖個數(shù)分別為100和150時RSF信號的稀疏重構(gòu)結(jié)果。

(a) N=100時重構(gòu)結(jié)果

(b) N=150時重構(gòu)結(jié)果

從圖6可以看出,當子脈沖個數(shù)為150時，二維稀疏重構(gòu)效果要好于子脈沖為100時的重構(gòu)結(jié)果。這是由于在相同的合成帶寬情況下，子脈沖個數(shù)越多，感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)越小，因而稀疏重構(gòu)效果越好。

假設(shè)條件不變，圖7為稀疏度為8時，LSF信號與RSF信號在不同的子脈沖個數(shù)條件下的稀疏重構(gòu)性能對比，蒙特卡羅次數(shù)為500次。

圖7 不同條件下重構(gòu)性能對比

從圖7可以看出，對于上述兩種載頻步進規(guī)律不同的信號，子脈沖個數(shù)越多，信號的稀疏重構(gòu)性能越好。另外，從上述仿真還可以看出，在相同的子脈沖個數(shù)條件下，隨機步進信號的重構(gòu)誤差始終小于LSF信號的稀疏重構(gòu)誤差，這也進一步驗證了上一節(jié)感知矩陣互相關(guān)性結(jié)論的正確性。

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了RSF HFR二維稀疏重構(gòu)模型，并基于此對影響RSF HFR二維稀疏重構(gòu)性能的因素進行了分析，得出在合成帶寬一定的條件下，設(shè)計載頻隨機步進、子脈沖個數(shù)越多的RSF信號可以得到更好的稀疏重構(gòu)性能的結(jié)論。文中的研究結(jié)論對于未來HFR的波形設(shè)計指明了一種可行的技術(shù)方向。