韓裕生， 張延厚， 王 碩， 姜兆禎

(1.陸軍炮兵防空兵學(xué)院信息工程系， 安徽合肥 230031； 2.偏振光成像探測(cè)技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 安徽合肥 230031)

0 引言

雷達(dá)在作戰(zhàn)中擔(dān)負(fù)著戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境感知的作用，分布式無(wú)源雷達(dá)建設(shè)成本低、易安裝、有較強(qiáng)的抗干擾能力和高隱蔽性，使其成為現(xiàn)代新體制雷達(dá)的研究熱點(diǎn)之一[1-2]。分布式無(wú)源雷達(dá)不依靠自身發(fā)射信號(hào)，強(qiáng)調(diào)的是多空間輻射源(如電視廣播、衛(wèi)星和無(wú)線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)等信號(hào))和多接收機(jī)在空間中相對(duì)于目標(biāo)的充分展開(kāi)性[3]。因此，可以通過(guò)空間多通道一次采樣來(lái)增強(qiáng)目標(biāo)探測(cè)能力和成像性能。但分布式無(wú)源雷達(dá)成像中存在的布站不規(guī)則以及輻射源復(fù)雜隨機(jī)等原因?qū)е履繕?biāo)回波數(shù)據(jù)在其傅里葉變換域分布不均勻，目標(biāo)反演成像質(zhì)量不佳的問(wèn)題還沒(méi)得到較好的解決[4]。

傅里葉變換是處理雷達(dá)回波數(shù)據(jù)的基本方法，目前普遍使用的快速傅里葉變換(FFT)算法[5]對(duì)數(shù)據(jù)的均勻性和致密性都要求較高。針對(duì)非均勻分布的數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)方法通過(guò)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行各種插值獲得相對(duì)均勻的笛卡爾網(wǎng)格形式，再利用IFFT獲得目標(biāo)圖像，這類(lèi)方法統(tǒng)稱(chēng)為插值傅里葉變換法[6-7]。但插值本身會(huì)引入不可避免的誤差，同時(shí)回波數(shù)據(jù)的稀疏性會(huì)加劇插值誤差。為避免插值的誤差，文獻(xiàn)[8]提出了極坐標(biāo)成像法，對(duì)回波數(shù)據(jù)在極坐標(biāo)系下直接求解，文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，在具有一般意義的球坐標(biāo)系統(tǒng)下，提出逐點(diǎn)匹配濾波成像方法，對(duì)目標(biāo)所在的反演區(qū)域開(kāi)展匹配搜尋，將獲得的不同觀(guān)測(cè)通道的目標(biāo)反演像進(jìn)行相干融合，文獻(xiàn)[8-9]對(duì)分布式無(wú)源雷達(dá)的構(gòu)型非規(guī)則性有一定的適應(yīng)性，但卻帶來(lái)了運(yùn)算量的大幅增加。

Dutt等[10]提出的非均勻快速傅里葉變換法(NUFFT)能直接對(duì)非均勻數(shù)據(jù)進(jìn)行快速處理，在CT成像和雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域已得到應(yīng)用[11-12]。文獻(xiàn)[13-14]將NUFFT與CS算法相結(jié)合應(yīng)用于有源SAR成像中，充分體現(xiàn)了NUFFT降低CS重構(gòu)算法計(jì)算復(fù)雜度的作用。文獻(xiàn)[15]提出基于余弦尺度因子和最小均方差準(zhǔn)則的NUFFT方法，在分布式無(wú)源雷達(dá)圖像重建精度和穩(wěn)定性取得了較好的結(jié)果，但重建圖像受振鈴作用的顯著影響，同時(shí)文中也指出適用于NUFFT的更好的尺度因子還有待研究。為了進(jìn)一步提高分布式無(wú)源雷達(dá)非均勻采樣條件下的目標(biāo)成像質(zhì)量和性能，本文給出了一種基于快速高斯網(wǎng)格的非均勻傅里葉變換(記作FGG-NUFFT)[16-17]分布式無(wú)源雷達(dá)成像方法，結(jié)合空間譜理論分析了回波采樣信號(hào)的空間譜非均勻性及與所提算法下的分布式無(wú)源雷達(dá)成像質(zhì)量的關(guān)系，并進(jìn)行了算法仿真驗(yàn)證。

1 分布式無(wú)源雷達(dá)成像模型

考慮實(shí)際場(chǎng)景中，分布式無(wú)源雷達(dá)成像系統(tǒng)在球坐標(biāo)下的幾何構(gòu)型，如圖1所示。成像系統(tǒng)由目標(biāo)、輻射源和接收機(jī)組成，假設(shè)目標(biāo)任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(r,θ,φ)；M個(gè)輻射源的俯仰角和方位角分別表示為θt和φt，N個(gè)接收機(jī)的俯仰角和方位角分別表示為θr和φr，則第i個(gè)輻射源的坐標(biāo)是(ri,θi,φi)，第j個(gè)接收機(jī)的坐標(biāo)是(rj,θj,φj)。

圖1 分布式無(wú)源雷達(dá)成像構(gòu)型

為分析簡(jiǎn)單同時(shí)保留三維空間構(gòu)型下的完整構(gòu)型信息，本文基于分布式無(wú)源雷達(dá)三維構(gòu)型下的二維投影成像平面進(jìn)行討論，建模如下。

設(shè)第i個(gè)外輻射源所發(fā)出的信號(hào)形式為

Si(t)=ui(t)ej(2πfit+φi)

(1)

設(shè)空間中目標(biāo)的散射系數(shù)為σ(r,θ,φ)，對(duì)應(yīng)二維平面直角坐標(biāo)是σ(x,y)，則投影后得到二維平面上第j個(gè)接收機(jī)所接收到的第i個(gè)外輻射源信號(hào)經(jīng)目標(biāo)反射回來(lái)的回波為

ej(2πfi(t-Δtij)+φi)dxdy+nj(t)

(2)

式中，s為輻射源照射的平面成像區(qū)，α為回波傳播衰減系數(shù)，Δtij為傳播時(shí)延，nj(t)為接收噪聲。實(shí)際場(chǎng)景下可對(duì)信號(hào)的傳播路徑做遠(yuǎn)場(chǎng)近似，同時(shí)對(duì)回波進(jìn)行去載頻去噪處理[18]，總的散射回波可表示為

G(f,θi,θj,φi,φj)=

ej2πfi[(cosθicosφi+cosθjcosφj)y]/cdxdy

(3)

利用時(shí)間與空間、頻譜與波數(shù)譜具有對(duì)偶關(guān)系，將多通道獲得的目標(biāo)回波信息轉(zhuǎn)換到空間譜去處理，令

(4)

式中：i=1,…，M;j=1,…,N；(kx,ky)構(gòu)成回波的空間譜域，kx，ky組成空間譜域的填充點(diǎn)?？傻?/p>

(5)

式中，G(kx,ky)為空間譜域觀(guān)測(cè)樣本。從式(5)可得目標(biāo)回波G(kx,ky)與目標(biāo)散射系數(shù)σ(x,y)之間構(gòu)成了傅里葉映射關(guān)系對(duì)。每一個(gè)輻射源和每一個(gè)接收機(jī)構(gòu)成一路采樣通道，對(duì)應(yīng)于空間譜域上的一個(gè)填充點(diǎn)，分布式的空間分布就形成了多路采樣通道，映射為整個(gè)空間譜填充，空間譜填充結(jié)果由收發(fā)布站構(gòu)型和發(fā)射信號(hào)決定，若空間譜填充是相對(duì)均勻的，則通過(guò)式(5)利用傅里葉逆變換就能反演出目標(biāo)像。而實(shí)際構(gòu)型下空間譜填充有以下關(guān)系：

(6)

式中，λi=c/fi。式(6)表明，在投影下的成像模型中回波信號(hào)采樣在空間譜中的填充點(diǎn)是關(guān)于輻射源波長(zhǎng)、輻射源和接收機(jī)方位角及俯仰角大小的兩條非規(guī)則弧線(xiàn)的交點(diǎn)，式(6)所示關(guān)系表明空間譜填充點(diǎn)的分布必然是非均勻的，如圖2所示為任一構(gòu)型仿真結(jié)果示例。

圖2 空間譜填充點(diǎn)分布情況示意圖

從空間譜的填充結(jié)果可以很直觀(guān)地分析目標(biāo)回波采樣數(shù)據(jù)的分布情況，因此，考慮通過(guò)空間譜域填充的角度分析分布式無(wú)源雷達(dá)的成像性能和對(duì)成像算法進(jìn)行分析研究是一個(gè)很好的方法[3]。

2 基于二維FGG-NUFFT分布式無(wú)源雷達(dá)成像算法

本文給出基于快速高斯網(wǎng)格(FGG)的NUFFT算法，主要從信號(hào)采樣角度和卷積尺度方面對(duì)非均勻回波進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)分布式無(wú)源雷達(dá)目標(biāo)圖像重建的同時(shí)且大幅度提高冗余數(shù)據(jù)的運(yùn)算速度，具體算法推導(dǎo)如下。

根據(jù)式(5)求目標(biāo)散射函數(shù)方程并離散化得

(7)

式中，-Mo/2≤xi,yj≤Mo/2，Mo為散射系數(shù)維數(shù)，MN表示總的采樣通道，kxq，kyq為頻域上的采樣點(diǎn)且在各自方向上是非均勻排列的。設(shè)

δ(kX-kxq,kY-kyq)

(8)

式中，δ(·)表示狄拉克δ函數(shù)。顯然可以看出G(kX,kY)在網(wǎng)格中是非均勻排布的。由文獻(xiàn)[19]可知，NUFFT的核心思想是利用窗函數(shù)對(duì)非均勻的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平滑，因此窗函數(shù)的選擇至關(guān)重要，文獻(xiàn)[16-17]在研究中得出高斯核函數(shù)具有鐘型結(jié)構(gòu)，是一個(gè)用于平滑效果很好的卷積核的結(jié)論。因此，為實(shí)現(xiàn)對(duì)分布式無(wú)源雷達(dá)目標(biāo)回波非均勻采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行良好的平滑處理，本文選擇周期為[0,2π]×[0,2π]的二維高斯周期核函數(shù)作為卷積核，即窗函數(shù)，表示如下：

e-(kY-2l2π)2/4τ

(9)

式中，τ為高斯核函數(shù)參數(shù)，決定核函數(shù)的指數(shù)衰減率。接著對(duì)G(kX,kY)做卷積運(yùn)算，得

Gτ(kX,kY)=G(kX,kY)*gτ(kX,kY)=

gτ(kX-ξX,kY-ξY)dξXdξY

(10)

則Gτ(kX,kY)經(jīng)過(guò)高斯平滑后可利用標(biāo)準(zhǔn)FFT在過(guò)采樣網(wǎng)格上進(jìn)行高精度計(jì)算，首先對(duì)其進(jìn)行均勻過(guò)采樣，得

Gτ(mΔw,nΔw)=

(11)

式中，m，n為網(wǎng)格采樣點(diǎn)，Δw為過(guò)采樣時(shí)采樣間隔，Δw=2π/Mr，Mr為過(guò)采樣點(diǎn)數(shù)。接著對(duì)Gτ(mΔw,nΔw)進(jìn)行FFT可得其離散傅里葉變換譜為

e-j(ximΔw+yjnΔw)

(12)

最后必須消除窗函數(shù)gτ(kX,kY)造成的平滑效應(yīng)，進(jìn)行去卷積處理得到最終的反演目標(biāo)函數(shù)為

(13)

在求式(11)時(shí)，需要遍歷所有非均勻分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)(kxq，kxq)，可想而知運(yùn)算量極大，因此可利用高斯核函數(shù)的指數(shù)衰減特性，對(duì)遠(yuǎn)離(kxq，kxq)的網(wǎng)格點(diǎn)忽略不計(jì)，設(shè)置網(wǎng)格擴(kuò)散范圍，只考慮(mΔw,nΔw)附近的Msp個(gè)點(diǎn)(Msp=6為單精度；Msp=12為雙精度[16])，則將大大降低運(yùn)算量。同時(shí)對(duì)高斯核函數(shù)式(9)指數(shù)項(xiàng)考慮使用分裂思想進(jìn)行分解可得

e-(kX-2l1π)2/4τ·e-(kY-2l2π)2/4τ=

e-(kX2+kY2)/4τ·ekXπl(wèi)1/τ·ekYπl(wèi)2/τ·

e-(πl(wèi)1)2/τ·e-(πl(wèi)2)2/τ

(14)

式(14)的后兩項(xiàng)與kX，kY無(wú)關(guān)，因此對(duì)非均勻數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑處理時(shí)只需預(yù)計(jì)算一次，避免了重復(fù)計(jì)算，減少了計(jì)算所占的內(nèi)存空間。

綜合上述，可將基于FGG-NUFFT的分布式無(wú)源雷達(dá)成像算法概述如下：

1) 設(shè)置過(guò)采樣比例R=Mr/Mo，網(wǎng)格擴(kuò)散參數(shù)Msp，高斯核函數(shù)參數(shù)τ=πMsp/[Mo2R(R-0.5)]，核參數(shù)精度根據(jù)需要確定；

2) 預(yù)計(jì)算和存儲(chǔ)高斯核參數(shù)與非均勻點(diǎn)無(wú)關(guān)的固定指數(shù)項(xiàng)；

3) 找到非均勻采樣數(shù)據(jù)過(guò)采樣網(wǎng)格上小于或等于(kX,kY)最近的均勻網(wǎng)格點(diǎn)(ζ1,ζ2)=Δw(m,n)；

4) 將高斯核函數(shù)與回波采樣信號(hào)進(jìn)行卷積平滑處理，計(jì)算式(10)、式(11)；

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

先對(duì)分布式無(wú)源雷達(dá)的空間譜填充非均勻性進(jìn)行分析，從式(4)可發(fā)現(xiàn)空間譜填充結(jié)果受外輻射源載頻、收發(fā)站數(shù)量、布站情況等因子影響。本仿真實(shí)驗(yàn)選擇收發(fā)站的空間布站影響因子對(duì)空間譜分布進(jìn)行討論分析，然后再對(duì)FGG-NUFFT算法的成像效果進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)估。所有仿真實(shí)驗(yàn)均采用相同設(shè)備和編程環(huán)境，所有操作均在Windows 10、CPU為2.6 GHz酷睿i5，內(nèi)存為4G的PC機(jī)上運(yùn)行，編程環(huán)境為Matlab R2014a。

本文選取空中目標(biāo)為研究對(duì)象，給出其二維強(qiáng)散射點(diǎn)模型，選取9個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)(-4,-2)，(-4,2)，(0,-4)，(0,0)，(0,4)，(2,-2)，(2,2)，(4,0)，(6,0)構(gòu)成飛機(jī)目標(biāo)，如圖3所示。選擇地面電視基站信號(hào)作為外輻射源，以20個(gè)外輻射源、24個(gè)接收站進(jìn)行空間布站仿真實(shí)驗(yàn)。外輻射源的頻率采用480～632 MHz范圍，且假設(shè)以8 MHz為間隔均等分配，方位角φt在-108°～-70°，間隔2°均等分布，俯仰角θt在6°～ 14°間隔0.4°均等分布；保持上述條件不變，通過(guò)改變接收站的方位角或俯仰角改變系統(tǒng)的布站情況，設(shè)置3種布站構(gòu)型方式(如表1所示)，并針對(duì)每一種構(gòu)型進(jìn)行分析討論。

表1 接收站仿真參數(shù)

圖3 目標(biāo)強(qiáng)散射點(diǎn)模型

3.1 空間譜非均勻度特性分析

首先分別對(duì)3種構(gòu)型的空間譜分布情況仿真實(shí)驗(yàn)，如圖4所示。

對(duì)空間譜填充點(diǎn)的分布情況進(jìn)行分析，將圖4(a)空間譜局部填充區(qū)域利用相同的矩形框進(jìn)行放大，如圖5所示。

(a) 構(gòu)型1

(b) 構(gòu)型2

(c) 構(gòu)型3

圖5 構(gòu)型1空間譜局部填充區(qū)域放大圖

(15)

為了更客觀(guān)地描述不同條件下的空間譜填充的非均勻程度，本文建立了3項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)對(duì)其進(jìn)行量化分析，分別是空間譜支撐域大小、空間譜扭曲度和空間譜RMSE，根據(jù)已有知識(shí)[9]，在支撐域一定時(shí)一般空間譜扭曲度越小越均勻，空間譜RMSE越小越均勻，因此需綜合利用這三項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)實(shí)現(xiàn)對(duì)空間譜填充質(zhì)量的評(píng)價(jià)。

空間譜支撐域是對(duì)空間譜填充最大范圍的表示，分別用Δkxmax和Δkymax表示kx，ky方向上的最大填充范圍，Δkxmax和Δkymax組成的矩形區(qū)域即空間譜的支撐域大小，如圖5所示；空間譜扭曲程度由空間譜填充弧線(xiàn)的曲率Kq來(lái)表示，由式(4)可知，每一個(gè)接收機(jī)接收到的所有外輻射源的回波對(duì)應(yīng)空間譜填充的一條弧線(xiàn)，曲率公式如式(16)所示；空間譜RMSE表示整個(gè)空間譜填充點(diǎn)之間的離散程度，計(jì)算公式如式(17)。

(16)

(17)

基于上述三種構(gòu)型，計(jì)算各空間譜填充結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)如表2所示。

表2 空間譜非均勻度指標(biāo)分析

從表2數(shù)據(jù)對(duì)空間譜填充質(zhì)量進(jìn)行量化分析，此仿真實(shí)驗(yàn)是在控制相同收發(fā)機(jī)數(shù)量的條件下進(jìn)行的，即空間譜填充點(diǎn)的數(shù)量一樣。構(gòu)型1與構(gòu)型2是基于方位角的角度分析，在保持外輻射方位角不變的情況下，改變收發(fā)站的方位角相對(duì)位置，構(gòu)型2的支撐域變小了，空間譜填充變得更緊致，但其扭曲程度較構(gòu)型1變大，縱向的扭曲程度變化更明顯，同時(shí)RMSE增大，綜合指標(biāo)分析構(gòu)型2空間譜非均勻度增加；同理可分析構(gòu)型3空間譜填充的非均勻度，得出構(gòu)型3較構(gòu)型2的空間譜填充非均勻度進(jìn)一步增加。通過(guò)對(duì)空間譜量化可基本實(shí)現(xiàn)對(duì)不同條件下空間譜非均勻度的客觀(guān)比較，本文建立的3項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)可推廣到其他不同影響因子影響下的空間譜分析案例中去。

3.2 FGG-NUFFT成像算法仿真及空間譜非均勻度影響成像質(zhì)量驗(yàn)證

基于上述空間譜的分析結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為了證明FGG-NUFFT算法的有效性以及驗(yàn)證本文成像算法對(duì)非均勻度空間譜的適應(yīng)性，與目前已有的一些分布式無(wú)源雷達(dá)成像方法：常規(guī)插值法[3]、文獻(xiàn)[15]中基于余弦尺度因子的NUFFT算法和文獻(xiàn)[9]逐點(diǎn)匹配濾波法進(jìn)行對(duì)比。成像仿真結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

為評(píng)估3種算法的成像質(zhì)量，參考文獻(xiàn)[10]中的精度評(píng)價(jià)指標(biāo)L2，定義目標(biāo)反演成像誤差為式(18)。

(18)

式中，g′表示重建圖像，g表示用于成像質(zhì)量對(duì)比的參考圖像，這里以均勻致密空間譜下的良好重建圖像作為參考圖。文獻(xiàn)[15]NUFFT法、文獻(xiàn)[9]逐點(diǎn)匹配濾波與本文FGG-NUFFT法誤差如圖7所示，由于插值法誤差過(guò)大不列入繪圖對(duì)比。

圖6 目標(biāo)反演成像結(jié)果對(duì)比

最后針對(duì)每種構(gòu)型下3種算法進(jìn)行效率對(duì)比，仿真時(shí)間如表3所示，單位是s。

如圖6所示，3種構(gòu)型下插值法都不能較好地進(jìn)行目標(biāo)反演，而本文算法和文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[15]方法都能較好地將目標(biāo)進(jìn)行反演，但總體上本文的FGG-NUFFT比文獻(xiàn)[15]方法效果要好，與文獻(xiàn)[9]效果差不多。從圖7誤差分析上，可以看出3種構(gòu)型下3種非均勻快速傅里葉變換算法重建目標(biāo)的誤差都控制在5%以下，且本文方法FGG-NUFFT成像精度相較文獻(xiàn)[15]的NUFFT高；從表3運(yùn)算時(shí)間效率上，本文FGG-NUFFT明顯優(yōu)于其他3種方法，在實(shí)際大批量數(shù)據(jù)運(yùn)算時(shí)將占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，總體上本文算法在成像質(zhì)量和效率上優(yōu)于其他方法。

表3 目標(biāo)反演成像運(yùn)算時(shí)間

圖7 誤差分析對(duì)比圖

圖7中橫坐標(biāo)構(gòu)型1、構(gòu)型2、構(gòu)型3分別指各自的空間譜非均勻度，且構(gòu)型3的空間譜非均勻度>構(gòu)型2的空間譜非均勻度>構(gòu)型1的空間譜非均勻度。

4種方法都受空間譜非均勻度的直接影響，隨著空間譜非均勻度的增加，成像質(zhì)量會(huì)隨之變差，NUFFT算法對(duì)空間譜的填充質(zhì)量有著一定的要求，與空間譜的支撐域、扭曲程度、離散程度密切關(guān)聯(lián)，因此可通過(guò)空間譜的3項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)化空間譜分布的各影響因子，獲得相對(duì)均勻的空間譜填充，獲得高質(zhì)量的目標(biāo)反演像。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于空間譜分析和FGG-NUFFT成像算法對(duì)分布式無(wú)源雷達(dá)成像進(jìn)行了研究分析，針對(duì)分布式無(wú)源雷達(dá)非規(guī)則構(gòu)型和外輻射源非合作導(dǎo)致目標(biāo)回波采樣數(shù)據(jù)在空間譜域的填充往往是非均勻的問(wèn)題，本文對(duì)其進(jìn)行定量分析評(píng)估空間譜的非均勻度，提出3種簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)指標(biāo)，空間譜非均勻度評(píng)價(jià)指標(biāo)的提出對(duì)改善空間譜填充和算法效果的驗(yàn)證具有指導(dǎo)意義；利用一種具有更好平滑效果的快速高斯網(wǎng)格NUFFT算法，進(jìn)一步改善空間譜非均勻填充下的成像質(zhì)量，同時(shí)大幅提升計(jì)算效率，對(duì)非均勻填充的空間譜具有一定的適用性。