倪子純，狄 鵬，王 旋

(海軍工程大學(xué) 管理工程與裝備經(jīng)濟系，武漢 430033)

多屬性決策問題在現(xiàn)實生活中普遍存在，決策者需要綜合考慮幾個備選方案的若干個具有制約關(guān)系的屬性，對多設(shè)計方案進行綜合評估并排序，優(yōu)選出最佳方案。在新型裝備研制初期，對多個備選設(shè)計方案進行評估優(yōu)選，是典型的多屬性決策問題。

當(dāng)前，設(shè)計方案評估的主要方法有層次分析法、模糊綜合評價法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、熵權(quán)法等，文獻[1]運用了畢達哥拉斯不確定的PULWG算子和PULWA算子等開展了相關(guān)研究。文獻[2]在食品生產(chǎn)過程中建立了區(qū)間值模糊集評價模型。文獻[3]改進了蟻群聚類算法，適用于解決多屬性復(fù)雜大群體聚類與決策問題。

由于存在決策者的主觀認知和多變的決策環(huán)境等影響因素，決策者很難準(zhǔn)確量化所獲取的信息，上述方法存在一定的局限性。為解決評估指標(biāo)存在模糊性與不確定性的問題，李德毅院士[4]于1995年在統(tǒng)計數(shù)學(xué)和模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上提出了云模型理論，可以實現(xiàn)定性到定量的自然轉(zhuǎn)換，解決了在評估領(lǐng)域存在的不確定性指標(biāo)難以量化的問題[5-6]，目前已被廣泛應(yīng)用于效能評估、風(fēng)險預(yù)測和應(yīng)急預(yù)測等領(lǐng)域[7-8]。文獻[9]將云模型引入指揮控制系統(tǒng)效能評估中，避免了評估過程中存在的主觀因素影響。文獻[10]提出了正態(tài)云模型距離相似度與形狀相似度概念，建立了云模型綜合相似度測算框架并研究了簡化算法。文獻[11]通過改進黃金分割法生成云的3個數(shù)字特征，結(jié)合熵權(quán)法確定屬性權(quán)重。文獻[12]在軍事信息系統(tǒng)項目軍民融合決策評估模型中通過改進三標(biāo)度AHP法確定屬性權(quán)重，綜合形狀-距離相似度云模型進行評估，輔以算例證實了該方法的可靠性。由此可見，云模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用且被各領(lǐng)域?qū)W者進行了不同程度的改進。

本文在現(xiàn)有的云模型評估方法礎(chǔ)上，提出了一種基于云模型的裝備設(shè)計方案評估方法。首先，采用黃金分割法將專家語言評價值轉(zhuǎn)化為定量的云數(shù)字特征；其次，為避免主觀因素影響，優(yōu)化了一種基于云模型確定屬性權(quán)重的方法，并將屬性權(quán)重與各評價云融合得出綜合評價云；再次，遵循云相似度原理，根據(jù)兼顧形狀和距離的云模型綜合相似度的大小進行方案排序。最后，結(jié)合具體算例驗證該方法可行性。

1 基于云模型的決策信息轉(zhuǎn)化

1.1 云模型基本概念

李德毅院士于1995年在概率論和模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上提出了一種可以將定性語言值轉(zhuǎn)化為數(shù)值進行量化描述的不確定性轉(zhuǎn)換模型，被稱為云模型，可同時研究模糊性和隨機性以及兩者之間的關(guān)系。在云模型的實際研究中主要側(cè)重于正態(tài)云，尤其是一維正態(tài)云。

定義1[13]設(shè)U是一個用數(shù)值表示的定量論域，C是論域U上的定性概念，如果存在定量值x∈U，x為C上的一次隨機實現(xiàn)，且對C的隸屬度μ(x)∈ [0,1]是一個具有穩(wěn)定傾向的隨機數(shù)，則μ(x)在論域U上的分布簡稱為云，且每個(x,μ(x))稱為一個云滴。

云模型有3個數(shù)字特征：期望Ex，熵En和超熵He，期望Ex是指云滴在論域空間分布的期望值；熵En代表著定性概念不確定性的度量，可以用來描述云的跨度，反映了云滴的離散程度；超熵He是熵En不確定性的度量，代表熵的離散程度。

定義2[14]設(shè)在論域中有n朵云{C1(Ex1,En1,He1),C2(Ex2,En2,He2),…,Cn((Exn,Enn,Hen)}，可將n朵云集結(jié)為一朵綜合云C(Ex,En,He)。

其中，λ=(λ1,λ2,…,λn)為n朵云的權(quán)重值。

1.2 基于黃金分割法的語言值轉(zhuǎn)化云模型

自然語言評價值集H由n個語言評價等級組成，n一般為奇數(shù)。專家評價值的有效論域為[Xmin,Xmax]。記H={hi|i=-t,…,0,…,t,t∈N}。本文采用改進后的黃金分割法[11]生成n朵云的數(shù)字特征，具體如表1所示。

表1 黃金分割法生成云的3個數(shù)字特征

1.3 兼顧形狀和距離的正態(tài)云模型綜合相似度

以往的云模型相似度測算方法主要有3類：云滴距離測算法、夾角余弦法和期望曲線面積法。云滴距離測算法[14]計算量大且較為復(fù)雜；夾角余弦法[15]忽略了熵和超熵這兩種數(shù)字特征；而期望曲線面積法[16]沒有考慮超熵對云模型相似度的影響且計算復(fù)雜，上述方法均存在較大的誤差。因此本文考慮結(jié)合云模型形狀相似度和距離相似度來計算綜合相似度[10]。設(shè)兩朵云為Ci(Exi,Eni,Hei)和Cj(Exj,Enj,Hej)，云模型綜合相似度計算方法如下：

步驟1基于正態(tài)云模型方差的形狀相似度計算

(1)

為兩朵云的形狀相似度。

步驟2基于正態(tài)云期望的距離相似度簡化計算

(1) 計算兩朵云熵的比值：

(2) 查找擬合結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)表[10]，可以得到距離相似度的擬合函數(shù)：

y=a×exp(-((x-b)/c)2)

(3) 計算兩朵云期望之間的相對距離：

θ=|Exi-Exj|/(3(Eni+Enj))

(4) 將θ代入擬合函數(shù)，得到距離相似度：

Simd=a×exp(-((θ-b)/c)2)

(2)

步驟3計算云模型綜合相似度：

Simc=Sims×Simd

(3)

2 基于云模型的屬性權(quán)重優(yōu)化

在多屬性決策中，權(quán)重是一個非常重要的概念，指的是某一屬性在整體評價中的相對重要程度。多屬性決策的實質(zhì)，是對多個備選方案的綜合屬性值進行排序。決策者對評估設(shè)計方案所有屬性進行兩兩比較，得到判斷矩陣并進行規(guī)范化后可得B=(bij)m×n。假設(shè)各屬性權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wn)T，那么方案Si的綜合屬性值和權(quán)重的關(guān)系如下：

其中，wj是第j個屬性的權(quán)重值。當(dāng)屬性值、權(quán)重值均確定時，評價矩陣中各元素轉(zhuǎn)化為云的3個數(shù)字特征，綜合評價值越高說明方案越優(yōu)。當(dāng)各屬性的權(quán)重值未知時，在文獻[18]提出了基于云模型的屬性權(quán)重確定方法的基礎(chǔ)上，本文引入云的三個數(shù)字特征，建立如下模型。

其中：Exij為云模型中的期望值；Enij為云模型中的熵值；Heij為云模型中的超熵；wj為各屬性的權(quán)重值。此模型主要是對權(quán)重進行優(yōu)化，引入熵和超熵對利用權(quán)重的平方和為1做約束條件，降低了權(quán)重的模糊性。由模型可知，當(dāng)期望值越大、熵值越小、超熵值越小時，方案的綜合評價值最大，即方案最優(yōu)。

利用拉格朗日函數(shù)求解：

為了保證所有屬性權(quán)重和為1，對權(quán)重進行歸一化處理：

3 基于云模型的多屬性決策步驟

步驟1根據(jù)式(4)，確定w=(w1,…,wj…wn)。

步驟2獲取專家語言評價值信息。根據(jù)表1將專家語言評價值轉(zhuǎn)化為評價云模型，將專家Ek對于設(shè)計方案Xi中第j個屬性的語言評價值轉(zhuǎn)化為云決策矩陣Ckij(Exkij,Enkij,Hekij)。

步驟3對方案Xi中的n個屬性的云模型進行第一次信息集結(jié)，得到Cki(Exki,Enki,Heki)。

步驟4獲取專家組評價信息權(quán)重λk，將所有專家針對方案Xi評價云模型進行二次信息集結(jié)，得到Ci(Exi,Eni,Hei)，其中：

步驟5令C*=(Ex*,En*,He*)為理想云，依據(jù)兼顧形狀和距離的正態(tài)云模型綜合相似度計算Ci與C*的相似度，按相似度大小進行排序。

4 算例分析

研制某新型裝備，有4個設(shè)計方案X={X1,X2,X3,X4}可供選擇。主要考慮的因素有系統(tǒng)效能G1，安全性能G2，經(jīng)濟成本G3，保障性能G4。其中G3為成本型屬性，其余均為效益型屬性。在設(shè)計方案評估專家組對設(shè)計方案各屬性進行語言值評價前，邀請4位在該新型裝備設(shè)計領(lǐng)域的權(quán)威專家A={A1,A2,A3,A4}對各屬性的重要程度進行評價，使用5標(biāo)度語言評價集為S={s-2= 一般，s-1=比較重要，s0=重要，s+1=非常重要，s+2=極其重要}。

步驟1確定屬性權(quán)重。由專家組A={A1,A2,A3,A4}對各屬性的重要程度評價，可獲取表2所示的語言評價值信息。

給定論域為[0,100]，He0=0.1，依據(jù)表1的黃金分割法公式表,計算生成5朵云：C-2(0,10.31,0.26)，C-1(30.9,6.37,0.16),C0(50,3.93,0.1),C+1(69.1,6.37,0.16)，C+2(100,10.31,0.26)。根據(jù)表2中專家對各屬性重要程度語言評價值信息，可得表3所示的云決策矩陣。由表3可根據(jù)式(4)計算得出設(shè)計方案各屬性權(quán)重集為w=(0.28,0.38,0.14,0.20)。

表2 專家對各屬性重要程度語言評價值信息

步驟2確定各方案云決策矩陣。由決策小組的5位專家E={E1,E2,E3,E4,E5}對4種設(shè)計方案進行評估，每位專家在5標(biāo)度的語言評價集為H={h-2=差，h-1=較差，h0=一般，h1=較好，h2=好}中選擇語言評價值，對各方案進行評估，得出表4所示的語言評價值信息。根據(jù)步驟1中黃金分割法生成的五朵云，可將表5中專家組針對各方案的語言評價值信息轉(zhuǎn)化為云決策矩陣分別如表5～表8所示。

步驟3計算各方案評價信息云矩陣。在云決策矩陣的基礎(chǔ)上，結(jié)合屬性權(quán)重w=(0.28,0.38,0.14,0.20)，根據(jù)式(5)對方案X1,X2,X3,X4中的4個屬性云模型進行第一次信息集結(jié)，得到各專家對各方案的評價信息云矩陣如表9所示。

表3 專家對各屬性重要程度評價的云決策矩陣

表4 專家給出的語言評價值信息

表5 方案1的云決策矩陣

表6 方案2的云決策矩陣

表7 方案3的云決策矩陣

表8 方案4的云決策矩陣

表9 各專家對各方案評價信息云矩陣

步驟4計算各方案云矩陣。根據(jù)式(6)，在各專家對各方案的評價信息云矩陣基礎(chǔ)上進行二次信息集結(jié)。一般認為各位專家的權(quán)重相同，即λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=0.2，得到各方案的云矩陣如表10所示。

表10 各方案云矩陣

步驟5計算各方案云矩陣與理想云相似度。本例中系統(tǒng)效能G1，安全性能G2和保障性能G4為效益型屬性，經(jīng)濟成本G3為成本型屬性，根據(jù)兩種屬性的特征，可令其各屬性的云模型分別為G1(69.1,6.37,0.16)，G2(69.1,6.37,0.16)，G3(69.1,6.37,0.16)和G4(50,3.93,0.1)，結(jié)合屬性權(quán)重w=(0.28,0.38,0.14,0.20)，得到理想云為C*(65.28,5.99,0.48)。利用Matlab軟件繪制理想云圖形，如圖1所示；利用Matlab軟件繪制各設(shè)計方案的綜合評價云與云模型圖形對比圖，如圖2所示；根據(jù)式(1)～式(3)可分別計算得出各方案云模型與理想云的形狀相似度、距離相似度和綜合相似度，如表11所示。

圖1 理想云模型圖

從表11可看出，方案X3與理想云的形狀相似度最大，即形狀上最為接近；方案X4與理想云的距離相似度最大，即在距離上更加貼近理想云。通過比較綜合相似度大小，可看出方案4與理想云的綜合相似度最大。結(jié)合圖2中的4個云對比圖可看出，方案X3與理想云在形狀上較為接近，而方案4的云模型與理想云在距離上較為接近。這與表12中的相似度計算結(jié)果一致。因此可對4個設(shè)計方案進行排序，即方案X4>方案X2>方案X1>方案X3。通過對比綜合相似度大小和云模型圖形，驗證了本文方法的適用性和可靠性。

表11 各方案云模型與理想云的相似度

圖2 各方案云模型與理想云模型圖

5 結(jié)論

本文將云模型方法應(yīng)用到裝備設(shè)計方案評估排序中，優(yōu)化了針對云數(shù)字特征的屬性權(quán)重確定方法，通過計算云模型的綜合相似度，對多設(shè)計方案進行綜合評估。試驗表明了該方法的可行性與有效性，為裝備設(shè)計方案評估提供了一種新的解決思路，具有較高應(yīng)用價值。