具有死區(qū)輸入時(shí)滯大系統(tǒng)的實(shí)際跟蹤問題

趙子恒，賈祥磊，周紹生

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

過去幾十年中，大系統(tǒng)的研究一直是熱門研究之一。關(guān)于大系統(tǒng)的研究多以鎮(zhèn)定問題為主，如文獻(xiàn)[1]提出一種基于觀測(cè)器的分散輸出反饋控制方案，研究一類大型前饋非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定問題。對(duì)于跟蹤問題，大多以單輸入單輸出系統(tǒng)為研究對(duì)象，如文獻(xiàn)[2]研究一類不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋全局實(shí)際跟蹤問題。針對(duì)一類具有時(shí)滯零動(dòng)態(tài)的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)，文獻(xiàn)[3]通過結(jié)合通用控制和死區(qū)思想，解決了輸出反饋全局跟蹤的問題。然而，關(guān)于多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)的大系統(tǒng)跟蹤問題的研究成果相對(duì)較少。如文獻(xiàn)[4]引入輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)分析輸入約束的影響，針對(duì)MIMO大系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)跟蹤控制方法。而考慮到系統(tǒng)中出現(xiàn)死區(qū)輸入非線性的情況，僅有文獻(xiàn)[5]通過引入一種新的光滑死區(qū)逆，提出一種分散自適應(yīng)控制方案，解決了一類時(shí)滯大系統(tǒng)的輸出跟蹤問題，但由于反推法的引入，證明過程較為復(fù)雜。最近，文獻(xiàn)[6]研究了一種具有死區(qū)輸入的情況，所提出的方案避免了復(fù)雜的推導(dǎo)過程，但只考慮單輸入單輸出且不受時(shí)滯影響的非線性系統(tǒng)。受文獻(xiàn)[6]啟發(fā)，本文結(jié)合文獻(xiàn)[7]中對(duì)高增益觀測(cè)器和非分離原則的研究以及文獻(xiàn)[8]中對(duì)未知有界擾動(dòng)情況的研究，將文獻(xiàn)[6-8]中增長(zhǎng)條件的限制推廣到MIMO系統(tǒng)中，進(jìn)而解決一類具有死區(qū)輸入MIMO非線性時(shí)滯系統(tǒng)的全局實(shí)際輸出反饋跟蹤問題。

1 系統(tǒng)描述

由N個(gè)子系統(tǒng)組成的非線性時(shí)滯大系統(tǒng)如下：

(1)

(2)

式中，mri>0，mli>0和bri>0，bli>0分別是第i個(gè)死區(qū)輸入的死區(qū)斜率和死區(qū)斷點(diǎn)。

為構(gòu)造時(shí)滯無關(guān)輸出反饋控制器，引入如下技術(shù)假設(shè)及引理。

假設(shè)1執(zhí)行器輸出ui是可測(cè)量的。

假設(shè)2死區(qū)參數(shù)mri，mli，bri和bli屬于某個(gè)緊集[a,b]，其中a，b是未知正常數(shù)。

(3)

|x+y|p≤2p-1|xp+yp|

引理2[9]對(duì)任意正實(shí)數(shù)m,n和實(shí)值函數(shù)α(x,y)>0，如下不等式成立：

引理3[10]存在向量Hi=[hi,1…h(huán)i,ni]T，Ki=[ki,1…ki,ni-1]和對(duì)稱矩陣Pi>0，Qi>0滿足：

Pi(Ai-HiCi)+(Ai-HiCi)TPi≤-Ini,PiDi+DiPi≥Ini
Qi(A′i-B′iKi)+(A′i-B′iKi)TQi≤-2Ini-1,QiD′i+D′iQi≥Ini-1

(4)

Ci=[101×(ni-1)],Di=diag{σ,σ+1,…,σ+ni-1},D′i=diag{σ,σ+1,…,σ+ni-2}。其中σ>0是任意常數(shù)，Ini是ni×ni維的單位矩陣。

2 主要結(jié)果

定理1若非線性時(shí)滯大系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1—4，則如下動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的全局實(shí)際跟蹤：

(5)

證明首先，將非對(duì)稱死區(qū)模型重新表示為如下形式：

ui=Ni(vi)=ρi(vi)vi+?i(vi)

(6)

(7)

引入如下坐標(biāo)變換：

(8)

進(jìn)一步可以得到：

(9)

式中，εi=[εi,1…εi,ni]T，H′i=[hi,1…h(huán)i,ni-1]T，Φi=[φi,1…φi,ni]T，并且有：

(10)

(11)

(12)

式中，θ4，θ5和θ6是未知的正常數(shù)。結(jié)合反推法思想，構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(13)

式中，γ=θ4+1，對(duì)式(13)求導(dǎo)并結(jié)合式(5)化簡(jiǎn)可得：

(14)

由式(14)可以推出如下引理：

證明分3部分證明引理4，定義一個(gè)通用的常量?，它表示一個(gè)有限的正常數(shù)，并可能在不同的地方被隱式地更改。

l-2γθ3≥1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

最后，證明ε(t)的有界性。選擇常數(shù)l*滿足l*>max{l(tf)，2+?+λmax(Pi)}，引入坐標(biāo)變換：

(21)

(22)

(23)

結(jié)合l的有界性可得出每一個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤誤差yi-yir將會(huì)進(jìn)入并永遠(yuǎn)停留在區(qū)間(-λ,λ)的范圍之內(nèi)，而λ則是提前給定的任意小的正數(shù)。

3 數(shù)值示例

由具有相互連接的時(shí)滯循環(huán)流的2個(gè)化學(xué)反應(yīng)器組成的大型系統(tǒng)[11]如下：

(24)

圖1 系統(tǒng)1狀態(tài)與觀測(cè)器軌跡

圖2 系統(tǒng)2狀態(tài)與觀測(cè)器軌跡

圖3 各執(zhí)行器輸入輸出軌跡

圖4 系統(tǒng)跟蹤誤差e1與e2軌跡

圖5 動(dòng)態(tài)高增益l軌跡

從以上仿真結(jié)果可以看出：經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是有界的，且跟蹤誤差均保持在給定的λ=0.8之內(nèi)，即(-0.8,0.8)區(qū)間內(nèi)，從而驗(yàn)證了本文方案的可行性。

4 結(jié)束語

本文主要研究帶有死區(qū)輸入的非線性時(shí)滯大系統(tǒng)的實(shí)際跟蹤問題，提出一種具有自適應(yīng)增益的輸出反饋控制器。相比較現(xiàn)有文獻(xiàn)，本文使用的一步反推法能解決一般反推法無法避免的復(fù)雜的計(jì)算度問題，為其他相關(guān)研究提供了一種新的思路。目前，本文僅考慮了系統(tǒng)中具有死區(qū)輸入約束特性的情況，后續(xù)將對(duì)具有其他輸入約束特性(如飽和輸入，磁滯輸入等)的系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)跟蹤控制研究。