唐海軍 胡 蓉
(1.四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550001)
在科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的時(shí)代,數(shù)學(xué)科學(xué)作為基礎(chǔ)已經(jīng)滲透到日常生活的方方面面,數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、圖像識(shí)別、人工智能、智慧醫(yī)療、災(zāi)害搜索以及移動(dòng)通信技術(shù)都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。每個(gè)人都在享受著數(shù)學(xué)帶來的紅利,數(shù)學(xué)素養(yǎng)也應(yīng)是這個(gè)時(shí)代每個(gè)人的基本文化素養(yǎng)之一。因而,近年來許多的高校都在人文、社科專業(yè)逐步地開設(shè)大學(xué)文科高等數(shù)學(xué)這門課程 (后簡稱 “文科高等數(shù)學(xué)”)。課程內(nèi)容模塊包括一元微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三部分。也有部分專家學(xué)者針對(duì)文科高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、教學(xué)以及課程與教材建設(shè)等問題進(jìn)行了研究[1-5],認(rèn)為目前文科高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)仍然存在著一些問題與矛盾。例如,教師往往采取 “重結(jié)論不重背景,重知識(shí)不重思想,重計(jì)算不重推理”的教學(xué)方式[6],以及生源的多樣性與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差距大的矛盾。面對(duì)問題、矛盾以及文科大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)底子薄、畏懼?jǐn)?shù)學(xué)的現(xiàn)狀,研究亟待厘清文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的意義與策略等問題。
數(shù)學(xué)不僅是一類知識(shí),更是一種素質(zhì)。古往今來,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都被有識(shí)之士所重視。中國古代提倡人們學(xué)習(xí)禮、樂、射、御、書、數(shù)。在古希臘,柏拉圖學(xué)院明確表示 “不懂幾何者不準(zhǔn)入內(nèi)”。今天,隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來,數(shù)學(xué)更是無處不在,無所不用。例如 “數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的交叉、滲透、相互作用,促進(jìn)了眾多新興交叉學(xué)科與邊緣學(xué)科的發(fā)展”,[7]1-3產(chǎn)生了語言學(xué)、金融數(shù)學(xué)、定量社會(huì)學(xué)、計(jì)量史學(xué)等。人文社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都正在應(yīng)用著數(shù)學(xué)理論進(jìn)行指導(dǎo),社科論文也引入數(shù)學(xué)工具作為重要的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。大學(xué)文科生學(xué)習(xí)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)成為必要。
通過已有研究,大家認(rèn)為文科高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的目的大致上有兩方面: (1)理解大學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念與命題、掌握基本的思想方法和做到初步的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題與解釋社會(huì)現(xiàn)象;(2)“培養(yǎng)和加強(qiáng)文科學(xué)生的理性思維方式和能力,提高文科學(xué)生的綜合素質(zhì)”[4]106-108。文科大學(xué)生由于 “數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及畢業(yè)后從事行業(yè)的性質(zhì)決定了他們所需高等數(shù)學(xué)與理工科學(xué)生的不同”[1]85-88。具體來說, 文科高等數(shù)學(xué)除具有數(shù)學(xué)的高度抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性及結(jié)論的確定性等特點(diǎn)外,還具有自身的特性,比如例證通俗、內(nèi)容實(shí)用、知識(shí)廣泛、系統(tǒng)性弱。因此文科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)注重 “文理滲透原則、弱形式化原則、量力性原則、因材施教原則”[4]107,教學(xué)的重點(diǎn)特別要放在教學(xué)生思考、教學(xué)生體驗(yàn)和教學(xué)生表達(dá)上。
貴州師范大學(xué)呂傳漢教授2014年1月針對(duì)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)提出數(shù)學(xué)教學(xué)重在“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)” (后簡稱 “三教”),在2015年10月又提出用 “三教+”培育學(xué)生核心素養(yǎng),嘗試用 “三教”引領(lǐng) “創(chuàng)設(shè)情境與提出數(shù)學(xué)問題” 教學(xué),[8]26-30其目的是用教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)促進(jìn)創(chuàng)新型人才的成長,促進(jìn)學(xué)生軟能力增長,為國家培養(yǎng)第三產(chǎn)業(yè)發(fā)展需要的人才。雖然 “三教”理念最初是針對(duì)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域數(shù)學(xué)教學(xué)所提出,但其核心思想符合文科大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)、特征。相比于理工、經(jīng)管類專業(yè),高等數(shù)學(xué)的具體知識(shí)很少直接用到人文社科類的專業(yè)課程學(xué)習(xí)上,因而教師更應(yīng)該引導(dǎo)文科大學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要敢于思考、學(xué)會(huì)思考,在做數(shù)學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué),在說數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)中實(shí)現(xiàn)思維的交流,在傾聽、交流、思考中理解數(shù)學(xué),感受數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值。
思考也是思慮,是思維的一種探索活動(dòng),源于主體對(duì)意向信息的加工。聯(lián)合國教科文組織在《學(xué)會(huì)生存——教育世界的今天和明天》一書中指出:“教師的職責(zé)現(xiàn)在已經(jīng)越來越少地傳授知識(shí),而越來越多地激勵(lì)思考”。文科大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)聚焦在教學(xué)生思考學(xué)習(xí)的內(nèi)容涉及哪些數(shù)學(xué)思想、形成何種的數(shù)學(xué)思維、如何提升思辨的能力。
1.厘清知識(shí)的邏輯脈絡(luò)與結(jié)構(gòu),思考學(xué)習(xí)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)研究統(tǒng)一的、本質(zhì)性的認(rèn)識(shí),也是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容,教學(xué)中應(yīng)“重視滲透、揭示和明確知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)所經(jīng)歷的迂回曲折的發(fā)展過程,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解”。[9]例如,在羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理學(xué)習(xí)時(shí),需結(jié)合幾何圖形來理解。也正因?yàn)橛辛藥缀我饬x的描述,文科大學(xué)生更容易從抽象的 “連續(xù)” “可導(dǎo)” “開 (閉)區(qū)間”等數(shù)學(xué)術(shù)語與符號(hào)表達(dá)中感到 “一絲親切”,從多樣的數(shù)學(xué)表征中逐步明白各個(gè)中值定理的意義、聯(lián)系與區(qū)別。數(shù)形結(jié)合思想可以說給文科大學(xué)生提供了除開單純文字描述世界之外的另一種表現(xiàn)自然現(xiàn)象、社會(huì)規(guī)律的范式。
2.課堂教學(xué)的重心放在培育大學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維
思維是人腦對(duì)客觀事物間接和概括的反映?!八季S的工具是語言,思維形式是概念、判斷、推理;思維方法是抽象、歸納、演繹、分析與綜合”,[10]數(shù)學(xué)思維包括 “抽象思維、邏輯思維、形象思維、直覺思維”等基本形式。[11]
數(shù)學(xué)思維常在數(shù)學(xué)概念獲得、命題學(xué)習(xí)、問題解決、知識(shí)應(yīng)用的過程中形成。文科高等數(shù)學(xué)涉及的概念要少而精,主要采用概念形成的方式感受概念的自然生成。例如,數(shù)列極限概念形成就是讓學(xué)生從 “一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的截杖問題,劉徽割圓術(shù)中得出的正n邊形的面積序列,曲線與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積近似計(jì)算等大量事物的不同例證中觀察、概括發(fā)現(xiàn),當(dāng)n→∞時(shí),數(shù)列通項(xiàng)xn逼近于某一個(gè)常數(shù)這一本質(zhì)屬性,從而形成概念。
針對(duì)部分文科大學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ) “先天性不足”的特點(diǎn),命題教學(xué)重在觀察命題特征與形成證明的思路。比如,證明 “當(dāng) x> 0時(shí),成立”時(shí),須先觀察該命題條件與結(jié)論的特征,由 “指數(shù)式”聯(lián)想到 “對(duì)數(shù)式”,在不等式兩邊取以e為底的對(duì)數(shù);再以分析法探索證題途徑 (口頭的),而后用綜合法簡練地表達(dá)出來 (書面的),從而完成證明過程,實(shí)現(xiàn)培育學(xué)生抽象思維、邏輯思維的目標(biāo)。長此訓(xùn)練,讓文科學(xué)生養(yǎng)成 “執(zhí)果索因”的研究習(xí)慣,促進(jìn)形成 “觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、反思”這樣一種問題解決的思維模式。
3.從課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的反思中,挖掘數(shù)學(xué)哲理性知識(shí)和培養(yǎng)批判能力
數(shù)學(xué)哲理性知識(shí)指蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系之中,具有哲學(xué)思想和哲學(xué)意義的數(shù)學(xué)知識(shí)。[2]88-91文科高等數(shù)學(xué)主要以微積分的內(nèi)容最為系統(tǒng),且在其他課程中有廣泛的應(yīng)用,顯著特點(diǎn)是以函數(shù)作為研究對(duì)象,以極限工具討論函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性等分析性質(zhì)。其內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的辯證唯物主義思想,比如:相互依存與相互轉(zhuǎn)換的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律 (包含常量與變量、有限與無限、近似與精確、局部與整體、特殊與一般、收斂與發(fā)散、連續(xù)與離散、運(yùn)動(dòng)與靜止等關(guān)系),質(zhì)量互變規(guī)律 (如定積分中通過對(duì)有限曲邊梯形的無限細(xì)分、近似代替、累加求和、取得極限),否定之否定規(guī)律 (數(shù)學(xué)中函數(shù)的無界、間斷、不一致連續(xù)等概念都是通過對(duì)它們的對(duì)立面——有界、連續(xù)、一致連續(xù)等的否定而得到的),[12]普遍聯(lián)系與發(fā)展的觀點(diǎn) (如被稱為微積分基本定理的牛頓—萊布尼茨公式,將微分與積分兩個(gè)不同的研究對(duì)象、概念巧妙地統(tǒng)一在了一起,而且將定積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了求原函數(shù)的運(yùn)算,既簡化了定積分的計(jì)算,又表明微分與積分有著緊密的關(guān)系)。在教學(xué)中,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì) “從哲學(xué)角度進(jìn)行適度的辯證剖析,并深刻地理解其實(shí)質(zhì),把握其精髓”[13],對(duì)于認(rèn)識(shí)事物、解決問題具有重要的方法論意義。
學(xué)習(xí)體驗(yàn),可以理解為學(xué)習(xí)者從經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中獲得的感受、體會(huì)、領(lǐng)悟以及由此獲得的相關(guān)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容有機(jī)組合的個(gè)性化經(jīng)驗(yàn)。知識(shí)學(xué)習(xí)、技能訓(xùn)練和思想方法的學(xué)習(xí)體驗(yàn),需要學(xué)生在具有實(shí)踐、探究特征的 “做中學(xué)”系列活動(dòng)中獲得。
1.在探究活動(dòng)中體驗(yàn)知識(shí)的來源
案例1 2的連續(xù)開方
學(xué)生探究:用計(jì)算器對(duì)數(shù)字2連續(xù)開平方,經(jīng)過若干次后得到的數(shù)字是什么?
學(xué)生借助手機(jī)上的計(jì)算器或者網(wǎng)絡(luò)計(jì)算器APP實(shí)施探究操作,并匯報(bào)結(jié)果。
教師將探究問題用符號(hào)表征出來,板書:
教師繼續(xù)出示問題:若換成任何大于1的正數(shù)a連續(xù)對(duì)其開平方運(yùn)算得到什么?若是換成小于1的正數(shù)a,結(jié)果你估計(jì)又是多少?為什么?
在學(xué)生操作、猜想游戲結(jié)果之后,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的實(shí)質(zhì)是計(jì)算
此教學(xué)設(shè)計(jì),通過游戲激發(fā)學(xué)生興趣,引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作、自由討論、辯駁質(zhì)疑中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實(shí)情感,認(rèn)識(shí)到該數(shù)學(xué)問題的根源在從而引出數(shù)列極限概念的學(xué)習(xí)。2.在討論中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系
學(xué)習(xí)命題時(shí),體驗(yàn)數(shù)學(xué)命題與以往所學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。
案例2 拉格朗日中值定理的理解
為了加深對(duì)拉格朗日定理的理解,教師在定理教學(xué)后,組織學(xué)生討論,通過該定理還可以與哪些已學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來。
學(xué)生: 由拉格朗日中值公式:f(b) -f(a)=f′(ξ)(b-a) 得: Δy = f′(ξ)Δx 以及圖 1。
教師:它精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。這與前面所學(xué)的直角三角形、斜率、導(dǎo)數(shù)、坡度等概念可以建立起聯(lián)系,從而,中值定理并不是 “無中生有”,也是那樣 “平易近人”。
圖1 拉格朗日中值公式示意圖
學(xué)生:這個(gè)公式與物理學(xué)上的平均速率公式接近。
考慮一個(gè)作變速運(yùn)動(dòng)的物體,在時(shí)刻x的位移為f(x),那么在時(shí)間區(qū)間 a,b[ ]上,物體的平均速率為
教師:我們?nèi)菀紫氲皆谶@段時(shí)間內(nèi)至少有某個(gè)時(shí)刻,物體的速率剛好等于平均速率。也就是說:在 a,b[ ]至少存在一點(diǎn) c,使得 v-=f′(c)。
討論中獲得的直角三角形、平均速率等耳熟能詳?shù)母拍?,有利于學(xué)生理解微分中值定理,體驗(yàn)到定理聯(lián)系的廣泛性。
3.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景中尋找實(shí)物模型,通過觀察、實(shí)驗(yàn)等手段,形成感性認(rèn)識(shí),從而掌握數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)歷探索、驗(yàn)證、求解的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)是精確與近似的辯證統(tǒng)一??紤]到文科大學(xué)生的數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)弱、公共課課時(shí)少的局限性,教學(xué)中主要采用學(xué)生熟悉的幾何畫板、Excel、函數(shù)圖像生成器等常用軟件或者數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)APP,通過菜單式的操作、展示來完成觀察與試驗(yàn)。
圖2 函數(shù)極限存在性判斷
這樣的教學(xué)有利于學(xué)生形象直觀地去判斷某些函數(shù)在特殊點(diǎn)是否存在極限。這為深入理解函數(shù)極限的概念、分類以及性質(zhì)提供了 “心智圖像”與 “腳手架”。學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除開熟知的算數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)之外,還有做數(shù)學(xué)的過程,體驗(yàn)到代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述、抽象思維與形象思維的有機(jī)融合。
表達(dá)就是用數(shù)學(xué)文字、符號(hào)、圖形語言來有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn),運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地與別人溝通、交流、討論與質(zhì)疑。學(xué)習(xí)者具有良好的數(shù)學(xué)表達(dá)能力就能夠借助數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確、清楚地提出問題、分析問題,憑借數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)結(jié)論來支撐自己的觀點(diǎn)。
1.借助數(shù)學(xué)活動(dòng)說數(shù)學(xué)
“學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)關(guān)鍵在于能夠提取與應(yīng)用,應(yīng)用的一個(gè)渠道就是能夠把它作為交流的語言,能夠基于所學(xué)知識(shí)闡述自己的觀點(diǎn)”。[14]78-80說數(shù)學(xué)是一種數(shù)學(xué)交流活動(dòng),主要包括說數(shù)學(xué)知識(shí)、說對(duì)問題的不同理解,說學(xué)習(xí)過程,說學(xué)習(xí)體會(huì)。在文科高數(shù)課中開展說數(shù)學(xué),主要是指學(xué)生自己總結(jié)出學(xué)習(xí)內(nèi)容的要點(diǎn)、難點(diǎn)和思想方法;在解答問題時(shí),說出解題的思路、過程以及體會(huì);發(fā)表對(duì)數(shù)學(xué)問題的不同見解等。學(xué)生在說的過程中,體驗(yàn)著數(shù)學(xué)知識(shí)的前因后果,達(dá)到觸類旁通的目的。
比如,在期中時(shí)舉辦的數(shù)學(xué)文化交流活動(dòng)中,有一組同學(xué)模仿北京衛(wèi)視節(jié)目 《我是演說家》匯報(bào)了微積分產(chǎn)生的背景和歷程簡介,特別講到了 “以無窮小概念為基礎(chǔ)建立的微積分,在發(fā)展過程中也遇到了邏輯困難——缺乏嚴(yán)格的極限定義,微積分理論受到了人們的懷疑與抨擊。直到19世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上,比較完整地闡述了極限概念及其理論,維爾斯特拉斯采用 ‘ε-N’語言定義了極限,從真正意義上給出了極限的完整定義,由此產(chǎn)生了完美的極限理論,為微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。通過微積分的發(fā)展歷程來看,數(shù)學(xué)的發(fā)展也不是一帆風(fēng)順的,也會(huì)經(jīng)歷許多的坎坷波折,我們的人生又何嘗不是如此呢?”學(xué)生在表達(dá)微積分發(fā)展史的過程中,體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)研究歷程的曲折,實(shí)現(xiàn)了情感教育的目標(biāo)。
2.在簡單的數(shù)學(xué)建模中用數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在應(yīng)用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,表達(dá)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。這種用數(shù)學(xué)語言表達(dá)社會(huì)規(guī)律的體驗(yàn),循環(huán)往復(fù),不斷地積淀在學(xué)生身上,將成為終身受益的潛在能力。用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)建模,20世紀(jì)下半葉以來,由于計(jì)算科學(xué)與技術(shù)的快速發(fā)展,“數(shù)學(xué)建模作為應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究包括人文社會(huì)學(xué)科在內(nèi)的各領(lǐng)域中的定量關(guān)系的關(guān)鍵與基礎(chǔ),也越來越受到人們的重視”。[7]14-15文科生經(jīng)歷一些較簡單的數(shù)學(xué)模型建立與應(yīng)用過程,有助于利用現(xiàn)成的模型或數(shù)據(jù)來探索隱藏在社會(huì)現(xiàn)象中的內(nèi)在規(guī)律。如,在導(dǎo)數(shù)求最值部分,組織學(xué)生研究 “可口可樂飲料罐的形狀設(shè)計(jì)”問題;在線性代數(shù)部分,介紹馬爾科夫鏈模型與天氣預(yù)報(bào)、減肥配方等學(xué)生感興趣的問題。
3.利用信息技術(shù)交流數(shù)學(xué)
學(xué)習(xí)過程中 “讓學(xué)生體驗(yàn)把課堂知識(shí)直接應(yīng)用到生產(chǎn)生活實(shí)踐中也是有局限、有困難的”[14]78-80,更多的是對(duì)教材例題的理解、練習(xí)題目的模仿訓(xùn)練、現(xiàn)成小課題匯報(bào)。由于文科高等數(shù)學(xué)的公共課屬性,任課教師在課堂外與學(xué)生直接接觸的機(jī)會(huì)較少,課堂提問、答疑解惑的時(shí)間也很少。教師需要另辟蹊徑,一是通過建立微信群提供交流的新平臺(tái),實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)、生生互助。在學(xué)習(xí)過程中若有疑惑可及時(shí)上傳到群中,教師在課下就能夠及時(shí)地給予回應(yīng)或者將問題拋給大家在群中討論解答。二是教師建立高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)微信公眾號(hào),刊載數(shù)學(xué)科普小論文、高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的文章,從而對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生深度引導(dǎo)。三是建立高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組,組長組織課堂討論、評(píng)講作業(yè)、小結(jié)復(fù)習(xí),甚至試卷命題,正如夸美紐斯所言, “如果一個(gè)學(xué)生想要進(jìn)步,最好的方式是把他正在學(xué)習(xí)的課題教給別人”。
“三教”是對(duì)課堂教學(xué)本質(zhì)屬性的高度概括,是一個(gè)有機(jī)整體,沒有截然的界限,三者各司其職又相互配合,共同實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生全面發(fā)展的培養(yǎng)。[8]26-30這種整體性需要在課堂教學(xué)中去實(shí)現(xiàn)。為體現(xiàn) “三教”的理念,增強(qiáng)文科大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與有效性,研究者從2017年9月起在文科高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中,結(jié)合呂傳漢、汪秉彝教授提出的 “情境—問題”教學(xué)模式開展教學(xué)實(shí)驗(yàn)。通過教材的 “二次開發(fā)”,力圖讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的生成,拉近與數(shù)學(xué)的距離,經(jīng)歷一段數(shù)學(xué)文化的欣賞之旅。
大學(xué)數(shù)學(xué)教材常常因?yàn)閮?nèi)容較多的緣故,編寫者在編寫教材時(shí) “所有數(shù)學(xué)知識(shí)不僅都是以定論形式出現(xiàn),而且?guī)缀跞柯匀チ酥R(shí)發(fā)展的過程、命題的形成過程和問題的探索過程”。[1]85-88面對(duì)缺乏展現(xiàn)知識(shí)來源的教材設(shè)計(jì),對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本來就薄弱的文科生而言,學(xué)習(xí)無疑是雪上加霜。他們常常知其結(jié)論而不知其來源,也不知極限概念在實(shí)際生產(chǎn)生活中有何用處。為彌補(bǔ)高等數(shù)學(xué)教材掐頭去尾的缺陷,教學(xué)設(shè)計(jì)始終圍繞為什么要學(xué)習(xí)重要極限即自然常數(shù)e(創(chuàng)設(shè)情境),e是如何得來的 (提出問題、解決問題),e又有何用處 (拓展應(yīng)用)這一思路,通過 “情境—問題”教學(xué)模式,引導(dǎo)文科大學(xué)生初步知道自然常數(shù)e的來龍去脈。教學(xué)實(shí)踐中,不是單純地講數(shù)學(xué)結(jié)論或讓學(xué)生重復(fù)地練題,而是引導(dǎo)學(xué)生在 “做數(shù)學(xué)”中解決問題,即通過啟發(fā)學(xué)生提出復(fù)利計(jì)算問題,探尋本息和規(guī)律,經(jīng)歷歸納探索、猜想結(jié)果、借助手機(jī)APP軟件syMaxima掃描教材所提供的 “數(shù)列極限計(jì)算實(shí)驗(yàn)”二維碼,完成實(shí)驗(yàn)等 “數(shù)學(xué)化”步驟,最終獲得結(jié)論。
研究者分別于2016年12月、2017年12月對(duì)政法學(xué)院開設(shè)文科高等數(shù)學(xué)課程的2015、2016級(jí)學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查和文科高數(shù)綜合測試,其中2016級(jí)學(xué)生從2017年9月開始以 “三教”教學(xué)理念為指導(dǎo),在教學(xué)中實(shí)施 “情境—問題”教學(xué)模式,課程內(nèi)容中融入數(shù)學(xué)文化資源,充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性,并注重教學(xué)生思考數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的來源與價(jià)值、教學(xué)生表達(dá)所學(xué)高等數(shù)學(xué)。
學(xué)習(xí)態(tài)度是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本看法以及相應(yīng)的行為活動(dòng),包含認(rèn)知、情感和行為三個(gè)維度。根據(jù)心理學(xué)的研究,“學(xué)習(xí)態(tài)度是影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一個(gè)重要因素,許多心理學(xué)家把學(xué)習(xí)態(tài)度看作一個(gè)居于核心地位的非智力因素,直接影響學(xué)習(xí)的效果和效率”。[15]
1.數(shù)學(xué)認(rèn)知
數(shù)學(xué)認(rèn)知是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的、價(jià)值、過程和內(nèi)容的判斷評(píng)價(jià)?!按髮W(xué)文科數(shù)學(xué)對(duì)增強(qiáng)邏輯思維能力、促進(jìn)專業(yè)發(fā)展、提高綜合素養(yǎng)”到底有什么作用,通過該問題來調(diào)查文科大學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值的認(rèn)識(shí) (見表1)。
表1 文科高等數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的作用 單位:%
由表1可知,2016級(jí)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值很大的比例要高于2015級(jí)。
2.情感體驗(yàn)
情感是在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的感受體驗(yàn)。通過“文科高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的難易度、趣味性”這個(gè)問題調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn) (見表2)。
通過表2可知,相比于2015級(jí),2016級(jí)學(xué)生認(rèn)為文科高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容學(xué)習(xí)容易、有趣的百分比都較高。
表2 文科高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)情況 單位:%
3.學(xué)習(xí)行為方法
行為是個(gè)體在認(rèn)知和情感的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的外顯活動(dòng)。學(xué)習(xí)行為能夠表現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,通過調(diào)查大學(xué)生課外學(xué)習(xí)與課堂學(xué)習(xí)行為來了解學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀。
第一,課外學(xué)習(xí)主要調(diào)查大學(xué)生預(yù)習(xí)課程或去圖書館、網(wǎng)絡(luò)上尋找課程資料的情況。相比于2015級(jí),2016級(jí)大學(xué)生在選項(xiàng) “課前有預(yù)習(xí)、課后也進(jìn)行過查找資料”的百分比從5.00%升至7.89%;“只是進(jìn)行了課前預(yù)習(xí)”這個(gè)選項(xiàng)百分比變化不大,兩個(gè)年級(jí)分別為 6.58%、6.67%;“只是在課后找過習(xí)題的資料”占比從10.53%升至15.00%;“除開上課,什么也沒有做”的比重仍然較大,分別為 73.33%、75.00%。第二,課堂學(xué)習(xí)行為調(diào)查大學(xué)生在數(shù)學(xué)課中大多數(shù)時(shí)候是在做什么。相比較于2015級(jí),2016級(jí)文科學(xué)生 “認(rèn)真聽講、作好筆記”的百分比從33.33%升到46.05%。“只聽不做筆記”占比分別為16.67%、17.11%,比例有所上升,但變化不大;“學(xué)習(xí)內(nèi)容較簡單能夠聽懂的就聽講,否則不聽”占比由36.67%降到了25.00%; “極少聽課,做別的事情”的比例從13.33%降至9.21%。
通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的三個(gè)維度統(tǒng)計(jì)分析可知,2016級(jí)采用 “三教”理念指導(dǎo)教學(xué)策略以及結(jié)合 “情境—問題”教學(xué)模式,學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度有了積極的轉(zhuǎn)變,更多學(xué)生參與到課堂中來,有利于教學(xué)工作的有序開展。同時(shí),也看到因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的公共課屬性以及文科大學(xué)生專業(yè)課學(xué)習(xí)很難直接用上數(shù)學(xué),他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間主要是在課堂之中。
為進(jìn)一步檢驗(yàn)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)的效果,在問卷調(diào)查的同時(shí),也分別對(duì)兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生采用同一套測試題進(jìn)行了文科高等數(shù)學(xué)綜合測試 (總分100分),其中包含重要極限應(yīng)用的專項(xiàng)測試題目 (9分),成績統(tǒng)計(jì)如表3。
表3 2015級(jí)與2016級(jí)專項(xiàng)測試題、綜合測試題成績對(duì)比
從表3可知,測試題中重要極限應(yīng)用的專項(xiàng)測試題成績中的平均分都不高,但運(yùn)用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn) (t=4.473, p=0.000<0.05) 即在 0.05的水平上差異顯著。兩個(gè)年級(jí)的綜合測試卷面成績平均分拉開至6分以上,再運(yùn)用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn), t=-5.185, p=0.000<0.05, 成績差異顯著。測試表明,2016級(jí)學(xué)生在經(jīng)歷了一學(xué)期的教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)之后,相比2015級(jí),高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績提升明顯。
通過一個(gè)學(xué)期的教學(xué)實(shí)驗(yàn)后,調(diào)查測評(píng)顯示在教學(xué)中聚焦 “教學(xué)生思考、教學(xué)生體驗(yàn)、教學(xué)生表達(dá)”能促進(jìn)文科大學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),提高課堂教學(xué)質(zhì)量,達(dá)成教學(xué)大綱確立的教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)的有效學(xué)習(xí)使文科大學(xué)生在今后的專業(yè)學(xué)習(xí)、職業(yè)發(fā)展過程中,正如美國國家研究委員會(huì) 《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來——關(guān)于數(shù)學(xué)教育的未來致國民的一份報(bào)告》中所言:“能批判地閱讀,能識(shí)別謬誤,能探索偏見,能估計(jì)風(fēng)險(xiǎn),能提出變通的方法”[16],能夠在這五彩斑斕的世界保持一份理性的思維和對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的敬畏。