陸學(xué)新

[摘要]“生活中的圓周運(yùn)動(dòng)”一節(jié)，人教版普通高中新課程實(shí)驗(yàn)教科書選取“鐵路的彎道”“拱形橋”等作為例子，滬科版教科書選取“分析游樂場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”（重點(diǎn)是過(guò)山車）“研究物體轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力”（重點(diǎn)是自行車轉(zhuǎn)彎）等為例文章用生活中的數(shù)據(jù)比較這些實(shí)例，分析誰(shuí)更貼近學(xué)生的生活實(shí)際，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

[關(guān)鍵詞]自行車轉(zhuǎn)彎;鐵路的彎道;拱形橋;過(guò)山車;實(shí)例比較

[中圖分類號(hào)]

G633.7

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）17-0040-02

在人教版普通高中新課程實(shí)驗(yàn)教科書“生活中的網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)”一節(jié)選取“鐵路的彎道”“拱形橋”等為實(shí)例，而滬科版則選取“游樂場(chǎng)中的網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)”（重點(diǎn)是過(guò)山車）和“物體轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力”（重點(diǎn)是自行車轉(zhuǎn)彎）等為實(shí)例。

一、自行車轉(zhuǎn)彎與鐵路的彎道比較

1.自行車轉(zhuǎn)彎

在滬科版教科書“網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的案例分析”一節(jié)案例2“研究運(yùn)動(dòng)物體轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力”是以自行車轉(zhuǎn)彎為例來(lái)進(jìn)行分析研究的。

通常情況下我們?cè)隍T自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)，車和人會(huì)傾向彎道的內(nèi)側(cè)，這是什么原因呢？

分析：設(shè)自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)軌跡（作為網(wǎng)周的一部分）的半徑為R，人和自行車的總質(zhì)量為m，自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)速率為v。

自行車在轉(zhuǎn)彎處的受力分析如圖1所示，圖1中的F是地面對(duì)車的作用力（地面對(duì)車的支持力和靜摩擦力的共同作用效果），mg是重力，這兩個(gè)力的合力F^合就是自行車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力，指向彎道處的同心。

請(qǐng)思考并分析：自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)傾斜的角度與哪些因素有關(guān)？

設(shè)自行車與豎直方向的傾角為θ，則F合=mg tanθ，又F合= mv₂/R，聯(lián)立得tanθ=v₂/gR?？梢钥闯?，自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)傾斜的角度θ與速度v和彎道半徑R有關(guān)，速度越大，半徑越小，傾斜的角度越大。

實(shí)際教學(xué)中，對(duì)人和自行車的整體進(jìn)行研究時(shí)，還可以這樣分析，人和車受到重力mg，地面對(duì)車的支持力F^N地面對(duì)車的靜摩擦力F^f作用，地面對(duì)車的靜摩擦力F^f指向彎道網(wǎng)心，是人和車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。由此思考并討論，下雨天轉(zhuǎn)彎時(shí)如何防止滑倒？

由F^f= mv₂/R知道，為防止滑倒，轉(zhuǎn)彎時(shí)速度要小，彎道半徑要大。

現(xiàn)在公路建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)都很高，彎道處都建成外高內(nèi)低的路面，按設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)速度行駛轉(zhuǎn)彎，車受側(cè)向摩擦力影響很小，更安全。由于公路彎道是按汽車設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)速度設(shè)計(jì)的，自行車經(jīng)過(guò)時(shí)（速度小于沒計(jì)速度）需向上傾斜一些，不會(huì)垂直路面。

2.鐵路的彎道

人教版教科書“生活中的圓周運(yùn)動(dòng)”以“鐵路的彎道”為例進(jìn)行分析。

火車轉(zhuǎn)彎時(shí)做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)，它具有向心加速度?；疖嚨南蛐募铀俣仁窃趺串a(chǎn)生的呢？原來(lái)，火車的車輪上有突出的輪緣（圖2），如果鐵路彎道的內(nèi)外軌一樣高，外側(cè)車輪的輪緣就要擠壓外軌內(nèi)側(cè)，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對(duì)輪緣的彈力就是火車轉(zhuǎn)彎的向心力，如圖3。但是，火車質(zhì)量太大，使得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)所需要的向心力也很大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，導(dǎo)致鐵軌和車輪受損。如果在彎道處使外軌略高于內(nèi)軌（圖4），則火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力F^N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道內(nèi)側(cè)，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供部分向心力。這就減輕了輪緣與外軌之間的擠壓。在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)彎道實(shí)際半徑和規(guī)定的行駛速度來(lái)確定內(nèi)外軌的高度差，使火車轉(zhuǎn)彎時(shí)所需向心力幾乎完全由重力G和支持力F^N的合力來(lái)提供。 一般高鐵，設(shè)計(jì)時(shí)速越高，為滿足列車高速運(yùn)行的需要，曲線半徑就應(yīng)當(dāng)越大。設(shè)計(jì)速度v=200 km/h= 55.6m/s時(shí)，最小曲線半徑一般是R=3500 m，由mg tanθ=mv₂/R求得鐵道的傾角θ的正切值tanθ=v₂/gR= 0.09，θ約為5.15°，標(biāo)準(zhǔn)軌道間距為1435mm，軌道內(nèi)外高度差約0.1292m，傾斜并不顯著，乘坐時(shí)對(duì)于彎道處外高內(nèi)低的感覺也不強(qiáng)烈，不是有意注意根本感覺不到。

高速鐵路是封閉的，少有的幾個(gè)道口也主要在直道上。盡管一般鐵路不封閉，但是大多數(shù)學(xué)生沒見過(guò)鐵路的彎道。

通過(guò)比較不難發(fā)現(xiàn)，自行車轉(zhuǎn)彎與火車轉(zhuǎn)彎相比，白行車轉(zhuǎn)彎是更貼近學(xué)生生活的“網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)”。

二、拱形橋與過(guò)山車

1.拱形橋

汽車在經(jīng)過(guò)公路上拱形橋（圖5）時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以看作網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m的汽車在拱形橋上以速度v前進(jìn)，設(shè)橋面最高點(diǎn)處的網(wǎng)弧半徑為R，下面分析汽車經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)橋的壓力。

以汽車為研究對(duì)象，分析汽車在拱橋最高點(diǎn)受到的力（圖6），重力G和橋的支持力F^N的合力提供汽車做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的向心力F。有G- F^N=mv₂/R，得F^N=G-mv₂/R。由牛頓第三定律知，汽車對(duì)橋的壓力大小為F'_N=G -mv₂/R。

現(xiàn)實(shí)生活中，汽車運(yùn)動(dòng)到拱形橋最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面的壓力小了多少呢？顯著嗎？

本地有一座較陡的大橋，橋面中間弧形部分視為網(wǎng)周的一部分，長(zhǎng)50m，高0.5m，由此求得其半徑約625m，該橋限速40km/h（約II m/s），由上面的分析，可以求得汽車以上述速度運(yùn)動(dòng)到橋面最高點(diǎn)時(shí)的壓力F'^N=m（g- v₂/R）=m（9.8-0.194），這與汽車在平地上運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)地面的壓力mg相差很小。

2.過(guò)山車

滬科版教科書列舉了以下案例。

案例：過(guò)山車（圖7）能經(jīng)過(guò)網(wǎng)形軌道頂部，車與人卻不會(huì)掉下來(lái)，為什么呢？

分析：為了更好地分析這個(gè)問題，我們先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：如圖8所示，讓一個(gè)小球從傾斜軌道的不同高度處滾下，觀察小球通過(guò)網(wǎng)形軌道時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)不難看出，如果小球從傾斜軌道滾下的起始高度較小，它到達(dá)網(wǎng)軌道底部時(shí)速度太小，就會(huì)在網(wǎng)形軌道的某處脫離軌道，只有當(dāng)小球的速度足夠大時(shí)，才能安全通過(guò)網(wǎng)形軌道的頂端。

假設(shè)過(guò)山車和坐在其中的人的總質(zhì)量是m，軌道半徑是R，車經(jīng)過(guò)頂部時(shí)的速度是v值。由向心力公式F=mv₂/R可知，在軌道的頂端，過(guò)山車的速度v頂越大，人和車所需的向心力F也越大。

當(dāng)過(guò)山車沿網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)到軌道頂端時(shí)，人與車作為一個(gè)整體，所受到的向心力是重力mg跟軌道對(duì)車的彈力FN的合力，方向向下。因?yàn)橹亓g總是存在的，那么，軌道對(duì)車的彈力F^N多大時(shí)，車和人才不至于掉下來(lái)呢？

當(dāng)F^N=0時(shí)，過(guò)山車通過(guò)網(wǎng)形軌道頂端時(shí)的速度，稱為臨界速度v臨界。

當(dāng)過(guò)山車通過(guò)網(wǎng)形軌道頂端時(shí)的速度恰為v臨界時(shí)，重力mg恰好等于過(guò)山車做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即mg= mv₂/R，即 。這時(shí)，重力的作用只改變過(guò)山車的運(yùn)動(dòng)方向，車不會(huì)脫離軌道。

如果過(guò)山車通過(guò)軌道頂部的速度小于v臨界，所需的向心力小于車所受的重力，過(guò)山車有向下脫離軌道的趨勢(shì)。

如果過(guò)山車通過(guò)軌道頂部的速度大于v臨界，所需的向心力大于車所受的重力，其不足部分將由軌道對(duì)車的彈力供給，所以這時(shí)軌道對(duì)車的彈力不為零。車子不會(huì)掉下來(lái)。

對(duì)比汽車過(guò)拱橋和過(guò)山車，過(guò)山車應(yīng)該更能讓學(xué)生體會(huì)到物理知識(shí)在生活中的應(yīng)用，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

既然是“生活中的圓周運(yùn)動(dòng)”，若能選用貼近學(xué)生生活的實(shí)例，則學(xué)生的感受會(huì)更強(qiáng)烈，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

[參考文獻(xiàn)]

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理（必修2）[M].3版.北京：人民教育出版社，2010.

[2]束炳如，何潤(rùn)偉.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理（共同必修2）[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

（責(zé)任編輯 南賓）