Hilbert空間中逼近對偶框架的構(gòu)造

倪德果，江 震，楊守志

（汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

0 引言

1952年，Duffin和Schaeffer[1]在研究非調(diào)和分析問題時(shí)，提出了框架的概念.但直到1986年，Daubechies等人的工作才使得人們開始真正地關(guān)注到框架理論.框架作為基的推廣，由于它的冗余性，使得框架的設(shè)計(jì)更加地靈活，從而比基能夠更好地解決信號處理和傳輸過程中產(chǎn)生的一些問題，因而框架理論在信號處理，無線通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用和發(fā)展.

經(jīng)過學(xué)者們多年的努力，框架理論取得了豐碩的成果，如：Daubechies和Bin[2]研究了小波框架的典范對偶框架，Gr?chenig[3]提出了Banach空間上對偶框架的概念.但借助框架的典范對偶框架去重構(gòu)信號要涉及到求框架算子的逆算子，通常求逆算子的運(yùn)算量很大或者無法進(jìn)行.對于借助于框架的對偶框架重構(gòu)信號，計(jì)算框架的對偶框架也是較為復(fù)雜的[4].學(xué)者們開始尋求方法去逼近對偶框架，見文獻(xiàn)[5-6]，Christensen等[7]人提出了逼近對偶框架的概念和一些構(gòu)造方法.近年來很多學(xué)者也對逼近對偶框架的構(gòu)造和性質(zhì)進(jìn)行了研究，如：Khosravi[8]研究了g-框架的逼近對偶框架，Javanshiri[9]研究了Hilbert空間上逼近對偶框架的一些性質(zhì)，張偉[10]研究了逼近對偶Hilbert-Schmidt框架等.

本文在第一部分回顧了框架理論的一些基礎(chǔ)知識.在第二部分得到了構(gòu)成逼近對偶框架的一些充分條件和構(gòu)造方法，首先研究了利用框架的倍數(shù)去構(gòu)造逼近對偶框架.如果是框架，的對偶框架或逼近對偶框架，通過適當(dāng)?shù)倪x擇實(shí)數(shù)a，b，之間可構(gòu)成逼近對偶框架，之間也可構(gòu)成逼近對偶框架.當(dāng)U，V是有界線性算子時(shí)，之間可構(gòu)成逼近對偶框架，之間也可構(gòu)成一對逼近對偶框架.然后研究了通過兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造逼近對偶框架，包括框架的兩個(gè)對偶框架的線性組合，框架和它的對偶框架的線性組合，框架的對偶框架和框架的逼近對偶框架的線性組合，框架的兩個(gè)逼近對偶框架的線性組合及框架的對偶框架擾動后得到的兩個(gè)序列的線性組合和原框架之間都可構(gòu)成一對逼近對偶框架.在第三部分，構(gòu)造了一些例子.文章中Hilbert空間簡記為H，H到H上全體有界線性算子組成的集合簡記為B（H）.

1 預(yù)備知識

首先回顧一下Hilbert空間中有關(guān)框架的基礎(chǔ)知識.

定義1.1設(shè)是Hilbert空間H上的序列，如果存在常數(shù)A，B＞0，對于任意的f∈H，使得

如果{fk}∞k＝1是 Bessel序列，定義 T 是的合成算子，有T算子是線性的，有界的，且.定義 T*是的分析算子，定義S是框架算子，有如果是 Bessel序列，定義U是的合成算子，定義U*是的分析算子，定義V是復(fù)合框架算子，有

定義1.2設(shè)是Hilbert空間H上的Bessel序列，如果對于任意的f∈H，使得

其中，

稱上式為完美重構(gòu).

定義1.3設(shè)是Hilbert空間H上的Bessel序列，如果存在0≤ε＜1，對于任意的f∈H，使得

2 逼近對偶框架的充分條件

2.1 利用框架乘以系數(shù)構(gòu)造

在文獻(xiàn)[11]中，Azandarani給出了這樣的一個(gè)論述，設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，如果任意實(shí)數(shù)0＜a＜2，則的逼近對偶框架.當(dāng)是框架時(shí)，a需要滿足什么條件，可以構(gòu)成一對逼近對偶框架.

定理2.1[12]設(shè)是Hilbert空間H上的框架，上、下框架界分別為B、A，且A、B＞0，框架算子記為S，如果任意實(shí)數(shù)那么的逼近對偶框架.

由 Gr?chenig[13]91，（1-aB）I≤I-aS≤（1-aA）I.

由于

所以

通常顯式構(gòu)造對偶框架的方法[14]159較為復(fù)雜，而在定理2.1中，僅通過框架乘以一個(gè)系數(shù)就構(gòu)造出了一對逼近對偶框架.我們可以通過調(diào)整a，趨于完美重構(gòu).當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，我們會發(fā)現(xiàn)Azandarani在文獻(xiàn)[11]中的論述是該定理的一個(gè)推論.我們可以看到Christensen在文獻(xiàn)[7]和Javanshiri在文獻(xiàn)[9]中的論述也是該定理的推論.

推論2.2設(shè)是 Hilbert空間的框架，B、A 是的上、下框架界，則是的逼近對偶框架.

推論2.3設(shè)是Hilbert空間中的框架，上框架界為M，則的逼近對偶框架.

定理2.4設(shè)任意非零實(shí)數(shù)0＜ab＜2，設(shè)是Hilbert空間中的框架，上、下框架界分別為B，A，的對偶框架，則是一對逼近對偶框架.

由于對偶框架是逼近對偶框架的特殊情況，于是當(dāng)ab＝1時(shí)，得到構(gòu)成一對對偶框架.

推論2.5在定理2.4的條件下，當(dāng)ab＝1時(shí)，是一對對偶框架.

定理2.6設(shè)任意非零實(shí)數(shù)a，b，且ab＝1，是 Hilbert空間中的框架，的逼近對偶框架，則是一對逼近對偶框架.

定理2.7設(shè)是Hilbert空間中的框架，的對偶框架，U、V∈B（H），且，則是一對逼近對偶框架.

推論2.8設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，U、V是B（H）中的可逆算子，當(dāng)，則是Riesz基，并且構(gòu)成一對逼近對偶框架.

推論2.9設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，U、V是B（H）中的滿射算子，當(dāng)，則是框架，并且構(gòu)成一對逼近對偶框架.

我們通過Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基和有界線性算子，構(gòu)造出了一對逼近對偶Riesz基和逼近對偶框架.

定理2.10設(shè)是 Hilbert空間中的框架，的逼近對偶框架，V 是和的復(fù)合框架算子，U是B（H）中的一個(gè)酉算子，且U*和V可交換，則和是一對逼近對偶框架.

定理2.11設(shè)是 Hilbert空間中的一對逼近對偶框架，U、V∈B（H），a，b是非零實(shí)（復(fù)）數(shù)，當(dāng)U＝aI，V＝bI時(shí)，是一對逼近對偶框架等價(jià)于和是一對逼近對偶框架.

2.2 利用兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造

這一部分我們將研究通過兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造逼近對偶框架，首先研究地是通過兩個(gè)對偶框架的線性組合去構(gòu)造逼近對偶框架.

定理2.12設(shè)任意非零實(shí)數(shù)是 Hilbert空間中的框架，的兩組對偶框架，hk＝agk＋bg'（kk＝1，2，3，…），如果0＜a＋b＜2，則是一對逼近對偶框架.

證明 由題意得，

由于對偶框架是逼近對偶框架的特殊情況，所以當(dāng)a＋b＝1時(shí)，我們得到框架和它的兩組對偶框架的線性組合之間構(gòu)成是一對對偶框架.

推論2.13在定理2.12的條件下，如果a＋b＝1，則是一對對偶框架.

定理2.14設(shè)是Hilbert空間中的框架，框架算子記為S，的對偶框架，hk＝fk＋g（kk＝1，2，3，…），且滿足S＜1，則是一對逼近對偶框架.證明 已知是 Hilbert空間中的框架，易知是 Hilbert空間中的 Bessel序列.

定理2.15設(shè)是 Hilbert空間中的框架，的對偶框架，的逼近對偶框架，hk＝gk＋g'（kk＝1，2，3，…），則是一對逼近對偶框架.

定理2.15的證明過程與定理2.14類似，這里不再贅述.在逼近對偶框架的定義中，我們把ε不妨看成趨于完美重構(gòu)的誤差上限，這樣得到了下面兩個(gè)定理.

定理2.16設(shè)是 Hilbert空間的框架，的兩個(gè)逼近對偶框架，ε0記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限，ε1記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限，且滿足 ε0＋ε1＜2，則是一對逼近對偶框架.

證明

定理2.17設(shè)a，b是非零實(shí)（復(fù)）數(shù)，是 Hilbert空間的框架，的兩個(gè)逼近對偶框架，V1記為的復(fù)合框架算子，V2記為的復(fù)合框架算子，ε0記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限，ε1記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限，且滿足，則是一對逼近對偶框架.

證明

定理2.18設(shè)是Hilbert空間的框架，上、下框架界為A，B，的對偶框架，上框架界為是Hilbert空間中的序列，如果存在常數(shù)對于任意的有限序列{ck}，使得

成立，對于任意的f∈H，則有

3 例子

這一部分，我們給出了關(guān)于前面的部分定理的一些例子，并且我們發(fā)現(xiàn)可以通過調(diào)整a，b的取值，去趨于完美重構(gòu).

考慮H＝C2，標(biāo)準(zhǔn)正交基為{e1，e2}，令

例3.1構(gòu)造關(guān)于定理2.1的例子，取，計(jì)算驗(yàn)證得，的逼近對偶框架，且求得的ε不同，這也表明我們可以通過選擇適當(dāng)?shù)腶趨于完美重構(gòu).

例3.2構(gòu)造關(guān)于定理2.4和推理2.5的例子，通過計(jì)算得，其典范對偶框架為

例3.3構(gòu)造關(guān)于定理2.12和推論2.13的例子，通過文獻(xiàn)[14]159的方法，我們構(gòu)造出了的一個(gè)對偶框架為取另一個(gè)對偶為當(dāng)取驗(yàn)證得構(gòu)成一對逼近對偶框架.當(dāng)取，驗(yàn)證得構(gòu)成一對對偶框架.