論學(xué)生添加輔助線能力重要性及培養(yǎng)策略

徐華

對(duì)于初中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)是十分重要的部分，一方面能夠增加學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的興趣與趣味性，另一方面還能夠全面的掌握具有實(shí)用性的知識(shí)，從而更好地進(jìn)行幾何問(wèn)題的解決。與此同時(shí)也能夠更好地對(duì)學(xué)生的空間思維建構(gòu)能力以及邏輯思維進(jìn)行培養(yǎng)。在進(jìn)行有關(guān)幾何方面題目證明的過(guò)程中，為了能夠更好的進(jìn)行問(wèn)題的解決和證明，通常采用輔助線添加的方法。通過(guò)輔助線的添加能夠?qū)⑤^為復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，然而在實(shí)際應(yīng)用中，輔助線的添加會(huì)存在這樣或那樣的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中仍然無(wú)法很好的掌握，這就要求任課教師在教學(xué)過(guò)程中側(cè)重學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

1 輔助線的重要性

在進(jìn)行數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，輔助線的添加是十分重要的方式，與此同時(shí)它也非常重要。對(duì)于初中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，其作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，通過(guò)輔助線的添加能夠有效地將復(fù)雜的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而降低問(wèn)題的解答難度，同時(shí)輔助線的添加并不會(huì)對(duì)原有的幾何圖形造成影響。輔助線添加前后，幾何圖形中的邊、形狀、角度、大小都保持不變，這樣能夠提升學(xué)生解答問(wèn)題的速度和效率;其次，利用輔助線能夠?yàn)樵械膸缀螆D形添加一些隱性的條件，這些隱性條件伴隨著輔助線的添加能夠得以顯現(xiàn)，利用這些隱性條件能夠?yàn)槲覀兊耐茖?dǎo)與演算過(guò)程提供幫助，從而尋找到相應(yīng)的規(guī)律，完成解答;最后，原有的幾何圖形會(huì)給我們提供一些顯性的集合條件，但是有些時(shí)候這些顯性條件是缺乏關(guān)聯(lián)的，因此需要通過(guò)輔助線的添加來(lái)完成這些條件的組合，從而更好地為題目的解答來(lái)進(jìn)行服務(wù)。

對(duì)于如何解決初中數(shù)學(xué)的幾何問(wèn)題，當(dāng)面對(duì)復(fù)雜的幾何問(wèn)題束手無(wú)策時(shí)，無(wú)論是學(xué)生還是老師都會(huì)選擇對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行輔助線的添加從而實(shí)現(xiàn)圖形的切割，形成數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單圖形，并形成一些可以借助的有利條件。從本質(zhì)上看，輔助線的添加是為了實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化，這主要是考慮到題目中所提供的淺顯條件無(wú)法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行很好的解決，而通過(guò)輔助線的添加能夠?yàn)榻忸}提供前所未有的幫助，帶來(lái)更多的已知條件，這對(duì)于解決問(wèn)題是十分有效的，因此添加和運(yùn)用輔助線的能力對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是尤為重要的。

2 輔助線添加原則

首先，在進(jìn)行有關(guān)輔助線的添加過(guò)程中，要注意其對(duì)隱性條件的挖掘。對(duì)于一些幾何題目而言，通過(guò)已知條件無(wú)法得到直接的結(jié)論，這就需要借助于輔助線來(lái)完成，通過(guò)輔助線能夠讓原有的隱含條件顯現(xiàn)出來(lái)，從而找到解決問(wèn)題的思路。其次，要注意利用輔助線對(duì)題目中給出的條件進(jìn)行整合。當(dāng)題目所給出的顯性條件較為零散時(shí)，就需要利用現(xiàn)有條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)輔助線的正確添加，讓這些條件在幾何圖形中正確的表達(dá)出來(lái)，然后將它們當(dāng)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系一一找出。再次，在進(jìn)行輔助線添加的過(guò)程中，要注意簡(jiǎn)化原則，避免增加難度。當(dāng)所面臨的圖形呈現(xiàn)出較為復(fù)雜狀態(tài)時(shí)，一般情況下會(huì)選擇增加輔助線的方式，將原有復(fù)雜的圖形進(jìn)行劃分，使其成為幾個(gè)較為簡(jiǎn)單的圖形，這樣能夠有助于原有圖形中隱藏信息的挖掘與提示，借助于這些信息能夠?yàn)閷W(xué)生提供一些便捷的解題思路，從而有效地提升學(xué)生借助輔助線解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。

3 學(xué)生添加輔助線能力培養(yǎng)的策略與手段

3.1 三角形中的輔助線

對(duì)于幾何圖形為三角形的題目中，常見(jiàn)的輔助線條件有以下三種：（1）對(duì)于涉及三角形的題目，中點(diǎn)問(wèn)題是出現(xiàn)較多的，這時(shí)候自然而言就應(yīng)該聯(lián)想到中位線，這樣能夠更好的針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決;（2）通過(guò)引入角平分線對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，利用角平分能夠獲得全等三角形，然后通過(guò)借助所構(gòu)造的三角形給出的條件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。（3）通過(guò)給出相等的兩條邊，利用輔助線的添加來(lái)獲得全等三角形，然后借助全等三角形的特征對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。

舉個(gè)例子，將△ABC的兩條邊AB，AC作為腰，然后借此向外繪制出兩個(gè)等腰三角形Rt△ ABD和Rt△ ACE，同時(shí)保證∠BAD =∠CAE-90°，將DE聯(lián)結(jié)起來(lái)，則BC，DE的中點(diǎn)分別是M，N。那么其中AM與DE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系。

（1）如上圖①給出，△ABC為直角三角形，那么DE、AM之間存在何種位置關(guān)系，線段DE、AM之間又存在何種數(shù)量關(guān)系？

（2）如果圖①中的等腰Rt △ABD以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ（0<θ<90），可以得到圖②，那么上述（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否依然成立，并給出其中的理由。

3.2 平行四邊形中的輔助線

對(duì)于平行四邊形而言，它擁有自己獨(dú)特的特征，如對(duì)角相等、對(duì)角線相等且對(duì)邊之間存在平行關(guān)系等。故此，平行四邊形的輔助線添加主要是為了能夠獲得平行亦或是垂直的關(guān)系，這樣有助于簡(jiǎn)化結(jié)題思路，提高結(jié)題效率，并有效的鍛煉了學(xué)生添加輔助線的能力。

如上圖所示，在四邊形ABCD當(dāng)中，已知存在AD∥BC，AB∥DC的幾何關(guān)系，那么需要證明：AB = DC。

如果學(xué)生還沒(méi)有進(jìn)行有關(guān)四邊形知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，首先要將這一題目轉(zhuǎn)化成三角形進(jìn)行解答。通過(guò)已知的顯性條件可知，AD∥BC，如果將其中的A和C兩個(gè)點(diǎn)進(jìn)行連接就會(huì)得到1條輔助線AC，基于平行四邊形內(nèi)錯(cuò)角相等的原理，可以得到∠1 =∠2，∠3 =∠4，同時(shí)公共邊為AC，基于全等三角形的條件，得到△CDA全等于△ABC，最終證出：AB = DC。

3.3 圓形中的輔助線

（1）通過(guò)垂徑定理的運(yùn)用，在圓心處給出弦的垂線。

（2）利用等圓或者同圓中弦、弧、圓周角、圓心角等之間存在的顯性條件，連接相關(guān)圓上的點(diǎn)來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的解決。

（3）直徑作為已知條件出現(xiàn)在題目中時(shí)，那么很多情況下需要做出直徑所對(duì)的圓周角，利用其為直角的條件來(lái)完成題目的解答。

（4）題目中給出切線時(shí)，將切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的直徑或半徑連接起來(lái)，利用其與切線之間相互垂直的關(guān)系。同時(shí)在有些題目中需要做出過(guò)切點(diǎn)的弦，這樣能夠?qū)⑵渑c圓周角、圓心角相互關(guān)聯(lián)，得到隱性條件。

（5）當(dāng)題目中給出兩圓相切的條件時(shí)，第一可以經(jīng)過(guò)切點(diǎn)做兩圓的公切線，

這樣能夠獲得圓周角與弦切角之間的關(guān)系。在有些情況下也會(huì)做兩圓的連心線，利用切點(diǎn)在連心線上溝通圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。

上面介紹了不同情形下輔助線的常規(guī)添加方法，這些不同情形下也存在著交叉，例如線段的平移、公切線的性質(zhì)運(yùn)用、中位線的特征性質(zhì)等等，在面對(duì)問(wèn)題中，這些輔助線就會(huì)成為解決問(wèn)題最佳的渠道，很多情況下題目的設(shè)置者就是為了讓學(xué)生通過(guò)常規(guī)方法無(wú)法解決問(wèn)題，借助于輔助線的“橋梁作用”來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的解決，而輔助線的熟練使用也能夠有效的幫助學(xué)生開(kāi)拓思維，在短時(shí)間內(nèi)獲得解決問(wèn)題的靈感，從而解決問(wèn)題，與此同時(shí)通過(guò)不斷的練習(xí)能夠增進(jìn)學(xué)生對(duì)于輔助線的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生使用輔助線的能力。

基于以上分析，通過(guò)輔助線能夠幫助我們更好的解決幾何問(wèn)題，任課教師在進(jìn)行教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該充分考慮到對(duì)學(xué)生輔助線運(yùn)用能力的培養(yǎng)與引導(dǎo)，確保學(xué)生能夠充分掌握輔助線運(yùn)用的技巧，強(qiáng)化學(xué)生的理解，讓學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中做到游刃有余，從而提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，任課教師也應(yīng)該突出幾何方面的內(nèi)容，讓學(xué)生能夠寓教于樂(lè)，在獲得興趣的同時(shí)更多的掌握實(shí)用性知識(shí)，并獲得高效解決問(wèn)題的手段;與此同時(shí)通過(guò)對(duì)學(xué)生添加輔助線能力的鍛煉，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生邏輯思維能力以及空間想象能力的培養(yǎng)，同時(shí)添加輔助線也是解決問(wèn)題的“常規(guī)武器”，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，但是在這一過(guò)程中也需要注意到學(xué)生很容易出現(xiàn)方法掌握效果不佳的情況，因此任課教師在這方面的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該尤為注意。

（作者單位：印江土家族苗族自治縣洋溪中學(xué)）