呂錦秀

摘 要在初中幾何教學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題向來(lái)是難點(diǎn)，也是學(xué)生在考試中的丟分點(diǎn)。這是因?yàn)閷W(xué)生在解決該類(lèi)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常無(wú)從下手，無(wú)法發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)軌跡中的動(dòng)靜結(jié)合關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，在問(wèn)題求解過(guò)程中難以發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件。所以本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)問(wèn)題，探討了初中常見(jiàn)的動(dòng)點(diǎn)軌跡難點(diǎn)問(wèn)題，希望為學(xué)生破解知識(shí)點(diǎn)難題，培養(yǎng)從容應(yīng)對(duì)的良好心態(tài)。

關(guān)鍵詞動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題;初中幾何;解法探究;圓;平面直角坐標(biāo)系

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）12-0190-01

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題中是綜合囊括了眾多知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的，它所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想豐富，對(duì)數(shù)學(xué)思維的分析邏輯和推理過(guò)程都提出了較高要求，因此動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題絕對(duì)是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該更多結(jié)合題目幫助學(xué)生把握動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題相關(guān)細(xì)節(jié)，解決其中難點(diǎn)問(wèn)題。

一、平面直角坐標(biāo)系的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

（一）基本概述

“平面直角坐標(biāo)系”是初中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系中是存在動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的，例如其坐標(biāo)軸上的公共原點(diǎn) ，包括平面直角坐標(biāo)系中的 都能衍生出動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題。為了幫助學(xué)生在未來(lái)的函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中打好基礎(chǔ)，教師在“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)中要把握先機(jī)，首先將動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題引入到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好這部分知識(shí)內(nèi)容。

（二）例題提出

（三）例題解讀

（四）例題剖析

具體來(lái)講，該題目就涉及兩個(gè)有關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的小問(wèn)題，且兩個(gè)問(wèn)題之間是存在相互遞進(jìn)發(fā)展關(guān)系的。

從第1問(wèn)中的坐標(biāo)點(diǎn)出發(fā)，求解四邊形 的最小值，這其實(shí)就是分析四邊形 的兌點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性線段最值問(wèn)題，闡釋了“兩點(diǎn)之間、線段最短”的數(shù)學(xué)定理。結(jié)合上述定理就能直接求出線段最值問(wèn)題;第2問(wèn)是本題目解題最大難點(diǎn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生共同學(xué)習(xí)判斷 動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡究竟是什么。這里需要考察的是學(xué)生的判斷能力，要合理判斷 動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后才能有效計(jì)算出它的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度。

（五）注意事項(xiàng)

在上述題目求解過(guò)程中，需求解出四邊形 以及圓的運(yùn)動(dòng)路徑、運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度。為此教師還要借助動(dòng)點(diǎn)軌跡這一問(wèn)題為學(xué)生確定線段中兩個(gè)端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 的起點(diǎn)與終點(diǎn)位置是可以構(gòu)建特殊三角形的，且能夠計(jì)算出其線段長(zhǎng)度。而在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方面，則主要轉(zhuǎn)化為其它易求取線段。在線段求取過(guò)程中還利用到了中位線性質(zhì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，教師將線段 的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為如何求取線段中 的長(zhǎng)度。這一問(wèn)題轉(zhuǎn)變是希望學(xué)生能夠有機(jī)會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算算式，把握問(wèn)題中的某些條件，以便于與問(wèn)題實(shí)現(xiàn)有效對(duì)接。

二、圓的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

（一）基本概述

圓是初中學(xué)生接觸幾何學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié)。簡(jiǎn)單的圓上卻存在諸多問(wèn)題，特別是針對(duì)它的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題分析必須深入到位。教師在教學(xué)過(guò)程中要做到以動(dòng)制靜，從動(dòng)態(tài)的不變形去探究動(dòng)點(diǎn)形成軌跡的完整過(guò)程，在形成過(guò)程中再考慮解決各種問(wèn)題。

（二）例題提出

為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)好圓中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，下文結(jié)合1點(diǎn)案例展開(kāi)來(lái)探。

在圖1中有半圓形零件，其直徑緊貼地面位置，需要將零件按照?qǐng)D中方式無(wú)滑動(dòng)向前翻轉(zhuǎn)，保證其圓心最后再次落到地面。已知半圓直徑 ，圓心 經(jīng)過(guò)路線與地面所圍成的面積應(yīng)該是多少？

（三）例題剖析

在該題目中引入了旋轉(zhuǎn)知識(shí)，當(dāng)半圓通過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)后原點(diǎn) 落回到地面位置后它所形成的軌跡應(yīng)該是兩段完整的四分之一圓弧。在整個(gè)翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，圓 都與地面保持相切，它到地面的距離始終等于半圓半徑。此時(shí)教師要根據(jù)定距判別法求解圓心 中途的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題。實(shí)際上它的動(dòng)點(diǎn)軌跡應(yīng)該是一條長(zhǎng)度為半圓弧長(zhǎng)的線段，教師要求學(xué)生畫(huà)出圓心 的整段軌跡之后就能解決該問(wèn)題。

（四）注意事項(xiàng)

該題目中解讀了點(diǎn)動(dòng)成線的問(wèn)題，教師在教學(xué)過(guò)程應(yīng)該幫助學(xué)生合理判別這一動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題并找到正確的判別方法。例如，采用定距判別法幫助學(xué)生認(rèn)知平行線段上的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，另外還可采用等角判別法或者定向判別法，二者都能從角去分析例題內(nèi)容，等角判別法可以獲得圓弧軌跡，其中等角是指以動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角大小不變，二者始終相等。定向判別法則可獲得直線，動(dòng)點(diǎn)是某一頂角一邊上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向則始終保持不變，有一條固定實(shí)現(xiàn)作為角度的另一個(gè)邊。它們的差別就是在一個(gè)角的頂點(diǎn)和某一條邊上。

三、總結(jié)

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是變化多端的，它非?？简?yàn)學(xué)生對(duì)于空間思維內(nèi)容的捕捉，鍛煉的就是學(xué)生的立體空間思維能力。在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生利用多種方法展開(kāi)問(wèn)題分析，幫助他們歸納動(dòng)點(diǎn)軌跡相關(guān)解題思路，這非常有利于學(xué)生較快得出答案結(jié)論，大量積累解題經(jīng)驗(yàn)。并深入其本質(zhì)思考相應(yīng)的解題方法，掌握動(dòng)點(diǎn)軌跡的相應(yīng)數(shù)學(xué)思維，真正提升自我解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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[2]郭源源.“定量”構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)軌跡“隱圓”巧解最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2018（5）：42-44.