文 丁 云
教材既是中考命題的主要依據(jù),又是中考題的基本來源。翻閱歷年的中考題,我們不難看到教材例題的身影。為此,回歸教材,重視典型例題的價值挖掘,將有限的例題擴展到無限的考題中去,就顯得尤為重要。
(蘇科版教材九年級上冊第67頁例3)如圖1,AB是⊙O的直徑,弦AD平分∠BAC,過點D的切線交AC于點E。DE與AC有怎樣的位置關(guān)系?為什么?
【解析】DE與AC互相垂直。由于切線過⊙O上的點D,因此連接OD,通過等腰三角形“等邊對等角”,由OD=OA,得到∠OAD=∠ODA。通過 AD 平分∠BAC,借由等量代換,得到∠CAD=∠ODA,從而OD∥AC。此時可以根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì),由DE是⊙O的切線,得到 DE⊥OD,因此∠DEA=∠ODE=90°,于是DE⊥AC。
例1如圖2,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,AD垂直于過點C的切線,垂足為D,CE垂直于AB,垂足為E。延長DA交⊙O于點F,連接FC,F(xiàn)C與AB相交于點G,連接OC。
(1)求證:CD=CE;
(2)若AE=GE,求證:△CEO是等腰直角三角形。
【解析】(1)如圖3,連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知得AD∥OC,得∠DAC=∠ACO。因為OC=OA,所以∠CAO=∠ACO,所以∠DAC=∠CAO。根據(jù)“AAS”證明△CDA≌△CEA,可得結(jié)論。
(2)證法一(等腰三角形性質(zhì)):根據(jù)△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形“三線合一”,圓的性質(zhì)等得∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,所以∠AOC=2∠F=45°,所以△CEO是等腰直角三角形;
證法二(平角定義):設(shè)∠F=x,則∠AOC=2∠F=2x,根據(jù)平角的定義得∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,則3x+3x+2x=180°,x=22.5°,所以∠AOC=2x=45°,所以△CEO是等腰直角三角形。
【點評】本題用“AD垂直于過點C的切線”替代了“弦AD平分∠BAC”,通過全等得到角之間的關(guān)系,具有一定的隱藏性。本題相等的角較多,我們要注意各角之間的關(guān)系,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,由數(shù)至形。第二問在原題基礎(chǔ)上做了延伸,將等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)融入其中,將角平分線的條件隱藏在等腰三角形的“三線合一”中,讓題目更具趣味。
例2如圖4,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點,連接AO并延長,交PB的延長線于點C,連接PO,交⊙O于點D。
(1)求證:PO平分∠APC;
(2)連接DB,若∠C=30°,求證:DB∥AC。
【解析】(1)如圖5,連接OB,因為OA⊥PA,OB⊥PB,根據(jù)切線長定理得OA=OB,所以PO平分∠APC。
(2)先根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形證明△ODB是等邊三角形,得到∠OBD=60°,再由∠DBP=∠C,即可得到DB∥AC。
【點評】本題在教材原題的基礎(chǔ)上強化條件,增設(shè)了一條切線,表面上是增加了一組條件,其實質(zhì)是將原題中已知“弦AD平分∠BAC”和求證“DE與AC互相垂直”進行條件與結(jié)論的互換,在求解中知識點也有所增補,用到切線長定理。第二問中解題的關(guān)鍵是判斷出△ODB是等邊三角形,由角之間的關(guān)系證明平行,本質(zhì)上又回到了教材例題中所隱藏的平行。