芻議高考對(duì)于“重力與萬有引力”概念的辨析考查

王懷賓

摘 ? 要：文章針對(duì)教學(xué)過程中學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的疑問，從參考系選取角度出發(fā)，闡述重力與萬有引力的關(guān)系。以地面為參考系，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，物體受重力;以地心為參考系，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，物體受萬有引力。

關(guān)鍵詞：慣性參考系;重力;萬有引力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）5-0037-3

重力和萬有引力的關(guān)系在諸多材料中討論過。但高中學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，還會(huì)出現(xiàn)很多困惑。比如，教師在講解斜面上靜止物體受力分析時(shí)，提出重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面向下的分力，分力并不實(shí)際存在，分力與合力為等效替代關(guān)系。也有學(xué)生問到，重力是實(shí)際存在的力嗎？小球在自由落體過程中還受萬有引力嗎？衛(wèi)星除了受萬有引力外，還受重力嗎？那么，怎樣講解重力和萬有引力，才能解釋學(xué)生的這些問題呢？

1 ? ?慣性參考系的選取決定物體受力分析時(shí)受萬有引力還是受重力

運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的，同一物體的運(yùn)動(dòng)，選擇不同的參考系，運(yùn)動(dòng)形式可以不同。如果研究的問題只涉及運(yùn)動(dòng)，可以任意選擇參考系。如果研究的問題涉及運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，要選擇慣性參考系，牛頓運(yùn)動(dòng)定律只有在慣性參考系中才成立。慣性參考系的選取可以應(yīng)用牛頓第一定律，即在此參考系中不受力，物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

例1 如圖1所示，電梯中通過彈簧懸掛重物，重物與電梯相對(duì)靜止。重物質(zhì)量為m，重力加速度為g。若電梯靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選電梯為參考系，重物所受彈力與重力相等，合力為零，重物靜止，加速度為零，牛頓第二定律成立;若電梯以加速度a勻加速上升，選電梯為參考系，重物所受彈力大于重力，合力為ma，重物靜止，牛頓第二定律不成立。

為了在非慣性參考系中應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，必須引入一個(gè)虛擬力——慣性力。慣性力的大小等于研究物體的質(zhì)量和此非慣性參考系相對(duì)于慣性參考系加速度的乘積，方向與此加速度的方向相反，即：F=-ma。電梯以加速度a勻加速上升時(shí)，選電梯為參考系，重物除受到重力和彈力外，加虛擬力ma，方向豎直向下，則有ma+mg-kx=0，重物相對(duì)電梯靜止，加慣性力后合力為零，牛頓第二定律成立。

具體判斷一個(gè)參考系是否為慣性參考系，只能通過實(shí)驗(yàn)來觀察。如果以地面為參考系研究赤道同步衛(wèi)星，衛(wèi)星只受重力，速度為零，卻不做自由落體運(yùn)動(dòng)，牛頓第二定律不成立，所以地面此時(shí)為非慣性參考系。如果以地心為參考系研究同步衛(wèi)星，衛(wèi)星受萬有引力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力恰好提供向心力，即 =m ，牛頓第二定律成立，地心為慣性參考系。嚴(yán)格來說，由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)，地心也不是慣性參考系。但地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心加速度約為6×10-3 m/s2，遠(yuǎn)小于同步衛(wèi)星受到地球引力產(chǎn)生的加速度2.3×10-1 m/s2，慣性力可忽略不計(jì)。所以，一般研究地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)均以地心參考系為慣性參考系，此時(shí)地球?qū)πl(wèi)星的力為萬有引力。

由于地球圍繞地軸自轉(zhuǎn)，地面參考系也不是慣性參考系，其中赤道處地面由于自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的加速度最大，數(shù)值為3.4×10-2 m/s2，慣性力遠(yuǎn)小于其他力時(shí)，地面可視為慣性參考系。例如，物體做拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，赤道處的物體由于地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的慣性力大小約為重力的千分之三，可忽略不計(jì)。以地面為慣性參考系時(shí)，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，物體受到的是重力。涉及具體問題時(shí)，若忽略地球自轉(zhuǎn)，萬有引力與重力完全相同。

2 ? ?關(guān)注高考試題中的“情景關(guān)鍵詞”，辨識(shí)參考系，建構(gòu)物理模型

2.1 ? ?忽略自轉(zhuǎn)，萬有引力與重力相同

例2 （2019·全國卷I·21題）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖2中實(shí)線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖2中虛線所示，假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則（）

A.M與N的密度相等

B.Q的質(zhì)量是P的3倍

C.Q下落過程中的最大動(dòng)能是P的4倍

D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

解析 由“一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端”可以讀出，參考系為水平桌面，即以地面為慣性參考系。物體受力為重力和彈簧彈力。通過圖像可以看出，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，且兩圖像截距、斜率不同。解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給的物理情境，列出物理方程，并轉(zhuǎn)化為加速度a與彈簧的壓縮量x間的函數(shù)關(guān)系。物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)中，所受重力豎直向下，彈力豎直向上，由牛頓第二定律：

利用圖像縱軸截距，當(dāng)x=0時(shí)，a=g，可知在星球M表面重力加速度gM=3a0，在星球N表面重力加速度gN=a0。由“假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體”，且題中未涉及星體自轉(zhuǎn)信息，所以忽略星體自轉(zhuǎn)，物體所受萬有引力與重力相同，G =mg，其中M=ρ πR3，解得ρ= ，M與N的密度之比為 = =1∶1，M與N的密度相等，A選項(xiàng)正確。

利用圖像橫軸截距，當(dāng)a=0時(shí)，星球M表面彈簧壓縮量xp=x0;星球N表面彈簧壓縮量xQ=2x0。物體受力平衡kx=mg，得到m= ，物體Q和物體P的質(zhì)量比為 = = ，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

物體質(zhì)量與加速度的乘積為合力大小，所以加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系圖像面積與質(zhì)量的乘積即為合力做功。物體P由動(dòng)能定理mp× ×3a0x0=Ekp-0。同理，物體Q由動(dòng)能定理mQ× ×a02x0=EkQ-0，解得 = ，C選項(xiàng)正確。

物體P和物體Q分別在彈簧上做簡諧運(yùn)動(dòng)，由平衡位置（a=0）可知，物體P和Q振動(dòng)的振幅分別為x0和2x0，即物體P所在彈簧最大壓縮量為2x0，物體Q所在彈簧最大壓縮量為4x0?；?qū)⑽矬w圖像延長（圖3），物體所受合力做功為零，圖像與x軸上方所圍面積與x軸下方所圍面積相等，同樣可得物體P所在彈簧最大壓縮量為2x0， 物體Q所在彈簧最大壓縮量為4x0。

則物體Q下落過程中，彈簧最大壓縮量是物體P下落過程中彈簧最大壓縮量的2倍，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

此題注重利用圖像呈現(xiàn)豐富的物理信息，增加了試題信息的廣度，要求學(xué)生能夠從圖像中獲取信息，建立文字、圖像等不同信息呈現(xiàn)方式之間的聯(lián)系。解出此題的關(guān)鍵在于能夠正確辨識(shí)重力與萬有引力的關(guān)系，從而構(gòu)建正確的物理模型，通過信息加工、邏輯推理解決問題。

2.2 ? ?考慮自轉(zhuǎn)，萬有引力區(qū)別于重力

例3 （2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ） 假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g。地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。地球的密度為（）

A. ? ? ? ?B.

C. ? ? ? ? ? ? D.

解析 物體在地球的兩極，不涉及地球自轉(zhuǎn)，萬有引力與重力相同：G =mg0。在地球的赤道上涉及地球自轉(zhuǎn)，以地心為參考系，向心力由萬有引力和支持力合力提供，G -FN=m R。靜止于地球表面的物體，以地面為參考系處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)N=mg。所以，G -mg=m（ ）2R，地球的質(zhì)量M=ρ πR3，聯(lián)立可得： ρ= ?，B選項(xiàng)正確。

模型思維是一種重要的科學(xué)思維，是高考命題考查核心素養(yǎng)的主要方式。審題過程應(yīng)關(guān)注試題中的“情景關(guān)鍵詞”，依據(jù)關(guān)鍵詞辨析參考系為地心還是地面，而后辨別物體受重力還是萬有引力。若不涉及星體自轉(zhuǎn)，萬有引力等同于重力;若涉及自轉(zhuǎn)，要關(guān)注萬有引力與重力的區(qū)別。根據(jù)實(shí)際問題的情景，建立相應(yīng)的物理模型解決問題。

（欄目編輯 ? ?陳 ?潔）