向紅軍，王金華

（湘南學院 數(shù)學與金融學院，湖南 郴州 423000）

引言

抽象代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的一門必修課程。全國高校代數(shù)學教師關(guān)于這門課程的教學改革研究與探索就一直沒有停止過。2014年，江蘇師范大學俞小祥老師[1]通過舉例抽取共性給出定義、重視與其他數(shù)學分支學科的聯(lián)系并例舉其應用等方法，進行課程教學的探索與嘗試。中國礦業(yè)大學的王羨[2]等老師從自編教材、習題、課件及增加研討課環(huán)節(jié)等方面討論了抽象代數(shù)的教學方式改革。2015年，李瀏蘭[3]等人從熟知的知識入手，探討了如何上好抽象代數(shù)課程。2019年，華中師大的王璐陽[4]等人沿著李瀏蘭等老師的研究思路，探討了高等代數(shù)視域下對抽象代數(shù)的學習經(jīng)驗。

李少勇[5]老師提到要挑選適合學生的抽象代數(shù)教材，要針對教材制定教學大綱，并且教師應根據(jù)選用的教材，編寫相應的習題，必要時可成立討論小組，幫助學生理解知識，掌握知識。陶司興老師[6]主要從多媒體教學及滿足考研學生的需求等方面探討抽象代數(shù)課程的教學方法。

沈金榮[7]在借鑒文獻陶司興研究成果的基礎上,推薦學生講課的方式進行部分抽象代數(shù)知識的學習，并提倡加強網(wǎng)絡信息在教學中的利用。凡美金[8]等老師則從構(gòu)建和諧課堂氛圍、注重概念教學、適當提問、換位教學等方面，總結(jié)了抽象代數(shù)的教學方法?；舫袆俒9]等人強調(diào)要增強課程的應用性，要利用Email、QQ等網(wǎng)絡手段加強師生溝通交流?；葜娟籟10]主要探討了地方院校抽象代數(shù)課程教學內(nèi)容、教學方法和考核方式等方面的改革，強調(diào)了過程化、階段化和多樣化的考核方式。

上述文獻均提到了抽象代數(shù)這門課程的共性問題：概念多、理論性強、內(nèi)容抽象、學生難學。事實上，抽象代數(shù)課程的教學研究是一項長期的課題。不同類型、不同地域的學校要求也不盡相同。

2018年“全國教育大會”和“新時代全國高等學校本科教育工作會議”的召開，新的教育理念得到宣傳推廣，課堂教學模式不斷推陳出新。在新時代成果導向教育理念驅(qū)動下，如何與時俱進，博采眾長，進一步提高這門課程的教學質(zhì)量和教學效果，仍然是廣大數(shù)學教育工作者，特別是高校抽象代數(shù)課任教師去努力做的功課。

一、OBE理念

1981年，美國學者Spady提出成果導向教育（Outcome Based Education，OBE）[11]，引起多個國家和地區(qū)的學者廣泛關(guān)注，被認為是追求卓越教育的有效理念，并將其融入到工程專業(yè)認證中。OBE主要關(guān)注五個問題：想讓學生取得的學習成果是什么？為什么要取得這樣的學習成果？如何有效地幫助學生取得這些學習成果？如何知道學生取得了這些學習成果？如何保障讓學生能夠取得這些學習成果?

由此不難看出，OBE教學理念強調(diào)以學生的學習效果為導向，教學活動緊緊圍繞學生的學習效果與成果來組織，最后關(guān)注的是學生通過教育過程后取得的成績。2019年6月，在上海召開了“全國高校內(nèi)部質(zhì)量保障機構(gòu)聯(lián)盟”（CIQA）成立大會暨經(jīng)驗交流會上，唐春鋒等專家對OBE理念進行了解讀，并向大家展示了他們在OBE理念下所做的系列教學改革與實踐成果。

地方高校要打造省及國家“一流”本科專業(yè)，實施“卓越人才培養(yǎng)計劃”，結(jié)合OBE理念實施大學專業(yè)建設改革是一個很好的方向。而課程建設是專業(yè)建設的一個重要組成部分，在OBE新的教育理念驅(qū)動下，結(jié)合多年來的教學實際，我們在抽象代數(shù)課程進行教學改革與探索，與大家分享，以期拋磚引玉。

二、教學改革與實踐

抽象代數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學（師范）專業(yè)的主要專業(yè)課程。要以OBE理念對抽象代數(shù)課程進行教學探索，就要根據(jù)專業(yè)要求和課程特點，以培養(yǎng)學生能力為導向，對教學活動進行設計。

（一）重新修訂教學大綱

OBE理念要突出有效地幫助學生取得學習效果，首先需要修訂教學大綱。2018年，對我校數(shù)學與應用數(shù)學（師范）專業(yè)人才培養(yǎng)方案進行了重新修訂，向?qū)W生明確提出了知識要求和能力要求。其中知識要求是：理解抽象代數(shù)的基本思想；掌握抽象代數(shù)中的基本概念、性質(zhì)、定理及重要命題；學會運用抽象代數(shù)知識解決實際問題等。能力要求是：具有較強的抽象思維、邏輯思維能力，具備一定分析問題的能力，具有運用代數(shù)學知識進行初步綜合研究的能力或解決實際問題的能力。同時，培養(yǎng)學生具有認真、細致嚴謹?shù)膽脭?shù)學知識進行中小學數(shù)學教學教研與組織管理能力。

這些也是學生畢業(yè)需滿足的要求。根據(jù)修訂的人才培養(yǎng)方案，抽象代數(shù)課程的教學大綱也做了相應修改，其中變化較大是課時。原來只有理論課時，無實踐課時?，F(xiàn)總課時數(shù)不變，減少理論講解，增加了實踐課時，調(diào)整為60+12模式，即60個理論課+12個課外實踐課。2019年，又做了微調(diào)，改為64個理論課+8個課內(nèi)實踐課。

（二）構(gòu)建抽象代數(shù)核心知識點體系

數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)是我校傳統(tǒng)的師范教育專業(yè)，主要為地方中小學培養(yǎng)數(shù)學教師。我們根據(jù)畢業(yè)要求，按知識目標、能力目標和素質(zhì)目標等構(gòu)建核心知識點，因此教材的選擇尤顯重要。我們選用張禾瑞[12]編著的《近世代數(shù)基礎》（修訂版）為主講教材。

結(jié)合專業(yè)培養(yǎng)目標、抽象代數(shù)知識體系的邏輯關(guān)系及教學大綱，我們選擇了牛鳳文、劉紹學等老師編著的教材為教學參考書，重組教學內(nèi)容，建立抽象代數(shù)核心知識點（見表1），充分體現(xiàn)該課程的重點、難點知識。學習第一章時，強調(diào)學生要認真學好映射、單射、滿射、一一映射等與中學數(shù)學聯(lián)系緊密的知識，為今后從事中小學數(shù)學教學打好基礎。第二至四章為抽象代數(shù)的重點教學內(nèi)容，許多知識點對學生的思維訓練很有幫助，因此在講授這部分知識時，特別注重學生的思維訓練，其中的核心知識點要求學生必須牢固掌握。因為課時限制，第五章我們根據(jù)教學進度作為選學內(nèi)容，通常只能夠講完代數(shù)擴域。

表1 抽象代數(shù)核心知識點

（三）教學組織與實施

1.教學條件與保障

我校目前抽象代數(shù)教學團隊2人，其中主要任課教師具有教授職稱，另一人為講師，博士學歷。任課教師均為學?！半p師型”教師，自制了PPT課件、電子教案、教學大綱、考核大綱、講義、補充習題等，另外參考并下載了優(yōu)秀網(wǎng)絡教學資源。教學資源建設比較完備，并能經(jīng)常保持更新。多媒體教室設備運行良好。這些為教學實施提供了有效條件保障。

2.教學設計

（1）利用QQ、微信群等網(wǎng)絡平臺進行課前預習

地方院校數(shù)學基礎普遍較差,且該課程確實有一定難度，因此很難在90分鐘的課堂上對每次要講的知識點做到融會貫通。充分利用信息化資源，精心設計課前預習內(nèi)容可彌補上述不足。我們把每節(jié)課的重點、難點、疑點及以往考點等相關(guān)內(nèi)容，做成電子文檔于課前1-2天在班級QQ群或微信群發(fā)送，讓學生預習。對于章節(jié)重點內(nèi)容，則精心準備PPT課件或微課，讓學生課前自學。據(jù)我們調(diào)查，大部分學生會課前預習教師布置的內(nèi)容。經(jīng)過這樣操作之后的課堂教學效果，比傳統(tǒng)教學效果要好很多。

（2）理論與實踐相結(jié)合的課堂教學

OBE教學理念強調(diào)研究型教學模式，有意識引導學生思考與主動探索問題。抽象代數(shù)課堂教學內(nèi)容包括主要定義的釋疑、重要定理的證明與應用、典型方法的講解與運用等，因此我們主要采用探究式、啟發(fā)式和互動式教學方法，同時注重理論教學與實踐教學的有效運用。根據(jù)內(nèi)容，有時我們會作適當調(diào)整。

例如張禾瑞《近世代數(shù)基礎》的第二章第9節(jié)有這樣一個習題：設a和b是一個群G的兩個元，并且ab=ba。假定a的階是m，b的階是n，并且(m，n)=1，證明ab的階是mn。我們在講授置換群內(nèi)容時，強調(diào)學生掌握Sn中每個元的逆元及階的求法，此時n具體化，如取6、8等。因此，將這個習題提前作為補充的定理向?qū)W生講解。然后提出問題：在6次對稱群S6中，置換(24)(136)的階是多少？置換(15234)(236)的階又是多少？前者學生可直接利用補充定理得到正確答案，而后者需要引導學生進行探究活動。通過啟發(fā)與互動，引導學生在定理的條件下，當(m，n)=d時，得到ab的階是mn/d。這作為定理的推論，學生們能認真思考，積極回答，課堂氣氛比較活躍。最后學生們的知識獲得感溢于言表，課堂效果十分明顯。

（3）注重已有知識到新知識的過渡教學

“抽象代數(shù)”課程概念多，而且抽象難懂，比如等價關(guān)系與集合的分類、零因子、整環(huán)、除環(huán)（域）等概念。作為數(shù)學專業(yè)的基礎課程“高等代數(shù)”為“抽象代數(shù)”的學習提供了很好的支撐，教學相關(guān)內(nèi)容時可以從已有知識入手，多舉實例，讓學生充分理解新知識。

又如講等價關(guān)系與集合的分類時，先以同余關(guān)系（模n的剩余類）為例進行了講解，但仍有部分學生對分成多少個等價類弄不明白，我們可以選擇高等代數(shù)中n的階矩陣的“等價關(guān)系”與n的階復對稱矩陣的“合同關(guān)系”為例作為補充，加深學生對這一知識的理解與掌握。

（4）“以學生為中心”的開放式教學

這些問題用于課內(nèi)教學實踐探索，先布置給學生去思考，分組讓學生討論。然后選擇學生上臺講解，教師點評。這種把教學活動組織成師生共同的開放式討論的教學模式，對師范生的能力培養(yǎng)很有幫助。

（5）知識拓展，補充練習

張禾瑞《近世代數(shù)基礎》的特點是內(nèi)容精簡，比較“單薄”，且例題習題量不大，不利于地方本科學生對知識的理解掌握。為更好地幫助學生厘清思路、掌握方法，在講完基本理論知識后，作為拓展，每章都精選了幾十道例題或習題。它們有利于學生深入理解概念、定理、性質(zhì)等內(nèi)容，激發(fā)學習興趣。

如設是模8的剩余類加群，H={[1],[3],[5],[7]}是G的子集，則H關(guān)于下列哪個運算作成群？A.加法 +：[a]+[b]=[a+b]；B.減法 -:[a]-[b]=[a-b]；C.乘法 *:[a]*[b]=[ab]；D.除法 /:[a]/[b]=[a/b]。此題是對群的知識的拓展，也為后來講環(huán)的知識埋下伏筆。

又如講最大理想，除了教材上的習題，我們補充了“設Z[x]為環(huán)上的多項式環(huán)，則Z當為整數(shù)環(huán)時，(x)不是最大理想，而當Z為有理數(shù)域時，Z[x]的主理想(x)是最大理想”“整數(shù)環(huán)Z上的多項式環(huán)Z[x]中，(2，x)是 Z[x]的最大理想”等問題。另外每一章講完后，對本章的主要知識點，經(jīng)過精心設計，以客觀題型形式設計成試卷發(fā)給學生，作為補充練習，加深學生對基礎知識的掌握。

3.課程考核

根據(jù)學習成果對學生進行評價，既要體現(xiàn)教學設計，又要有教學評價，這些都是在抽象代數(shù)課程改革中實施OBE理念的關(guān)鍵。為此我們改變單一考試模式，注重過程學習與考核。除了通常的上課考勤、作業(yè)檢查、聽課筆記考核外，增加了課內(nèi)課外實踐考核，對上課積極正確回答問題、課后討論并提交問題答卷或小論文，都有明確的要求，并給出學生成績，按比例記入最后的課程綜合得分。

從近三屆學生抽象代數(shù)課程考試成績對比分析，實施OBE課改后的卷面成績分布合理，符合正態(tài)分布，比課改前的平均分數(shù)要高15分以上。為后續(xù)課程打下良好基礎，后續(xù)課程反映較好。

4.教學效果評價

教師每次都提前幾分鐘至十幾分鐘進教室，充分利用這個時間段接觸學生，了解他們的學習情況。平時也與學生加強溝通交流，與他們交朋友。正式上課前，要求學生將手機關(guān)機并上交放在統(tǒng)一制作的手機袋中。

通過以上種種教學設計及對課堂教學的關(guān)注、對學生學習的關(guān)心與指導，學生們的聽課狀態(tài)好，課堂氣氛相對活躍。同時課后通過網(wǎng)絡與學生進行經(jīng)常性互動交流，要求他們溫故知新、舉一反三，觸類旁通，積極組織學生開展課外研究性學習或?qū)嵺`創(chuàng)新活動。學生參與踴躍，學生的學習更加自覺。通過調(diào)查，課程安排、內(nèi)容選擇與知識講授等能滿足學生的實際需要，且在教學中確實發(fā)揮了良好作用，學生滿意度高，教學質(zhì)量不斷提升。

據(jù)調(diào)查，大二第一個學期數(shù)學專業(yè)的學生從事數(shù)學家教的不多，主要原因是因為中學階段的數(shù)學基礎不太好，還不太敢接受家教任務。教師經(jīng)常鼓勵學生勇敢地去做家教，特別是今后致力于中小學數(shù)學教育工作的同學，這是很好的鍛煉，可以培養(yǎng)實踐教學能力。一個學期后，不少同學反映：通過這門課程的學習，他們的思路開闊了，數(shù)學思維得到科學系統(tǒng)地訓練。他們能利用近世代數(shù)思維方法，在實際工作或其他學科的學習中，進行靈活自如地應用。有不少的同學在剛進入大三，就報名參加全國數(shù)學建模競賽與數(shù)學競賽，并能獲得較好成績。

結(jié)語

OBE理念是對過去教育理念的改革創(chuàng)新。在抽象代數(shù)課程中運用OBE理念，就是要以學生為中心，遵循學生的主體地位，對課程教學環(huán)節(jié)進行認真設計，對純理論的課堂教學增加課內(nèi)課外實踐教學環(huán)節(jié)，激發(fā)學生學習與探究代數(shù)知識的興趣，提升學生掌握知識的牢固程度，培養(yǎng)學生的知識運用能力。最終目標是使教學質(zhì)量得到大幅度提高，學生得到很好的發(fā)展。