劉婷婷，彭亞紅

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

我國(guó)經(jīng)濟(jì)的日益發(fā)展以及人口日漸增多，導(dǎo)致環(huán)境遭受的污染越來(lái)越嚴(yán)重。人們?nèi)狈Νh(huán)境保護(hù)的意識(shí)，導(dǎo)致水資源惡化嚴(yán)重，因此浮游生物大量繁衍暴發(fā)的現(xiàn)象頻繁出現(xiàn)。在2007年，中國(guó)第三大淡水湖——太湖由于藻類植物的暴發(fā)，直接導(dǎo)致水源被嚴(yán)重污染，給當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境和淡水養(yǎng)殖業(yè)產(chǎn)生了不容小覷的影響。對(duì)于此類浮游生物暴發(fā)現(xiàn)象，有關(guān)學(xué)者通過(guò)建模，試圖先從理論上對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究[1-4]，進(jìn)而為解決實(shí)際問(wèn)題提供指導(dǎo)。

早在2000—2001年，Chattopadhayay等[5]對(duì)浮游植物暴發(fā)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)地考察并采集一定數(shù)據(jù)對(duì)此進(jìn)行分析，根據(jù)分析統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，建立了浮游植物釋放毒素的浮游生物模型，如式(1)所示。

(1)

其中：P=P(t)和Z=Z(t)分別為浮游植物種群和浮游動(dòng)物種群在t時(shí)刻的濃度；r和K分別為浮游植物種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量；c為生物量之間的轉(zhuǎn)化系數(shù)；μ為浮游動(dòng)物種群的自然死亡率；f(P)為浮游植物被浮游動(dòng)物捕食的函數(shù)；g(P)為浮游植物種群釋放有毒物質(zhì)的函數(shù)。

(2)

式中：β=cα；θ為浮游植物種群的毒素釋放率；η為密度制約系數(shù)。文獻(xiàn)[1]在模型(2)中引入自擴(kuò)散系數(shù)，并在Neumann邊界條件下考慮如下的擴(kuò)散模型：

(3)

式中：P=P(x，t)，Z=Z(x，t)，Ω為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；v為?Ω的外法單位向量；d1和d2分別為浮游植物和浮游動(dòng)物的自擴(kuò)散系數(shù)；ΔP和ΔZ分別為P和Z的拉普拉斯算子。假設(shè)上述模型中的所有參數(shù)均為正常數(shù)。

對(duì)空間擴(kuò)散模型(3)，文獻(xiàn)[1]先證明了正平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，接著通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，進(jìn)一步證明了正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

同時(shí)，許多學(xué)者研究了具有交叉擴(kuò)散的反應(yīng)擴(kuò)散模型的動(dòng)力學(xué)行為[6-11]。而文獻(xiàn)[12-14]的研究表明，交叉擴(kuò)散項(xiàng)的出現(xiàn)會(huì)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生影響。本文在文獻(xiàn)[1]的研究基礎(chǔ)上，在模型(3)中引入交叉擴(kuò)散項(xiàng)，考慮如下模型：

(4)

其中：d11>0，d22>0分別為浮游植物和浮游動(dòng)物種群的自擴(kuò)散系數(shù)；d12∈R，d21∈R分別為浮游植物和浮游動(dòng)物種群的交叉擴(kuò)散系數(shù)。涉及的其他參數(shù)均為正常數(shù)，并假設(shè)式(5)成立。

d11d22-d12d21>0

(5)

1 模型(4)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

易知，當(dāng)且僅當(dāng)

P*

(6)

時(shí)，模型(4)存在唯一的正平衡點(diǎn)E*(P*，Z*)，其中：

定理1不等式(6)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(7)

證明由于P*是方程

的正根，顯然有式(8)成立。

(8)

又因?yàn)镻*

(9)

成立。

不等式(9)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

和

(11)

同時(shí)成立。

不等式(10)成立當(dāng)且僅當(dāng)不等式(8)成立。不等式(11)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(12)

成立，即式(9)成立當(dāng)且僅當(dāng)式(12)成立。從而定理1得證。

引理1(文獻(xiàn)[1]中定理3.2和3.3)

(1) 如果模型(3)滿足條件(7)，則模型(3)存在唯一的正平衡點(diǎn)E*(P*，Z*)，且正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的；

由引理1可知，在浮游植物產(chǎn)生有毒物質(zhì)的浮游生物模型中引入自擴(kuò)散項(xiàng)之后，該模型的正平衡點(diǎn)仍舊是穩(wěn)定的，即自擴(kuò)散項(xiàng)的引入并未引起系統(tǒng)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的變化。

令

則模型(2)在E*處的雅可比矩陣為

顯然，a11<0，a12<0，a22<0。由于

所以a21>0。從而有

T0=a11+a22=

D0=a11a22-a12a21=

模型(4)在E*處的穩(wěn)定性由如下特征方程的特征值決定。

λ2-Tkλ+Dk=0，k=0，1，2，…

其中：

Tk=[T0-k2(d11+d22)]

Dk=D0-k2(a11d22+a22d11-a21d12-a12d21)+
k4(d11d22-d12d21)

這里

由Tk的表達(dá)式知，對(duì)?k≥0，顯然有Tk<0。根據(jù)式(5)和D0>0可知，Dk是關(guān)于k2的開口向上且截距為正的一元二次多項(xiàng)式，所以可能存在k∈N+，使得Dk<0。這是由于交叉擴(kuò)散項(xiàng)d12或d21的出現(xiàn)引起的。考慮Dk的對(duì)稱軸表達(dá)式為

注意到在臨界值

時(shí)，Dk取到如下最小值：

1.1 圖靈不穩(wěn)定的必要條件

模型(3)中，自擴(kuò)散項(xiàng)的加入未引起正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的變化，接下來(lái)討論模型(4)引入交叉擴(kuò)散項(xiàng)后正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的情況。根據(jù)上文分析可知，產(chǎn)生圖靈不穩(wěn)的必要條件為

(13)

(14)

式(13)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(15)

式(14)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(16)

若式(16)成立，顯然式(15)成立。

定理2假設(shè)參數(shù)d12，d21∈R，模型(4)中其他參數(shù)均為正常數(shù)并滿足條件(5)和(7)，如果式(16)成立，則模型(4)的正平衡點(diǎn)E*(P*，Z*)是不穩(wěn)定的。

L1為0.08-d12d21=0

由圖1可知，曲線L1和圖靈分支曲線L2所交區(qū)域D1和D2為圖靈不穩(wěn)區(qū)域。其中，D1分布在三、四象限，D2分布在一、四象限，且D1和D2表示如下：

D1={(d21，d12)|d12<0，0.08-d12d21>0且

0.172 3d12+0.405 938<0}

D2={(d21，d12)|d21>0，0.08-d12d21>0

0.172 3d12+0.405 938<0}

1.2 在有界區(qū)間中圖靈不穩(wěn)定的充分條件

1.1節(jié)給出了模型(4)在正平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定的必要條件。模型(4)引入交叉擴(kuò)散之后，交叉擴(kuò)散的出現(xiàn)可能會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的發(fā)生，由于模型(4)是在Neumann邊界條件下討論，而波數(shù)k是離散的，依賴于Neumann邊界條件，因此，需進(jìn)一步分析模型(4)的圖靈不穩(wěn)定的充分條件。為方便起見，在模型(4)中取空間變量為一維，即令Ω=(0，l)。下面分析引起模型(4)正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的充分條件[12]。

記：

(17)

由于d12，d21∈R，根據(jù)式(17)可知，存在d12或d21使M<0。

(18)

(19)

也即

(20)

成立，其中M由式(17)給出。

由以上分析可得模型(4)的正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的充分條件，即定理3。

定理3假設(shè)d12，d21∈R，模型(4)的其他參數(shù)均為正常數(shù)并滿足條件(5)和(7)以及式(15)和(16)，若存在正整數(shù)n，使得式(20)成立，則模型(4)的正平衡點(diǎn)E*(P*，Z*)是不穩(wěn)定的。

為了驗(yàn)證定理3中滿足條件的正整數(shù)n存在，下面舉例說(shuō)明。

根據(jù)曲線l1和曲線l2表達(dá)式可知，當(dāng)取d21=2時(shí)，n1=0.223 6，n2=1.277 9，則取到一個(gè)n=1滿足式(19)。

2 數(shù)值模擬

通過(guò)以上理論分析，得知模型(4)在引入交叉擴(kuò)散項(xiàng)之后出現(xiàn)圖靈不穩(wěn)。在d21-d12平面上，得到不穩(wěn)定區(qū)域D1和D2。本節(jié)對(duì)不穩(wěn)定區(qū)域及其他區(qū)域進(jìn)行數(shù)值模擬。由于浮游植物種群和浮游動(dòng)物種群模擬出的斑圖類型是類似的，所以在下文的數(shù)值模擬中，僅對(duì)浮游植物種群進(jìn)行模擬。 在上文分析中已經(jīng)得知模型(4)的圖靈不穩(wěn)定是由交叉擴(kuò)散系數(shù)d12或d21引起的，在接下來(lái)的數(shù)值模擬中，固定r=1.5，K=17，α=0.063，β=0.038 7，μ=0.035，η=0.09，θ=0.1，γ=1.5，d11=0.4，d22=0.2。d12和d21取不同數(shù)值，在圖1中取點(diǎn)驗(yàn)證。

(1) 固定d12=-7.5，取d21=2.35，0.029進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

在圖1中取(d21，d12)=(2.35，-7.5)，該點(diǎn)在d21-d12平面的第四象限中，且在穩(wěn)定區(qū)域中。由圖2可知，隨著時(shí)間變化，模型很快出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。

在圖1中取(d21，d12)=(0.029，-7.5)，該點(diǎn)在不穩(wěn)定區(qū)域D1中。由圖3可知，隨著時(shí)間變化，底部變?yōu)辄S色區(qū)域，在黃色區(qū)域中出現(xiàn)大量的藍(lán)色點(diǎn)狀斑圖，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的變化，最終穩(wěn)定下來(lái)形成點(diǎn)條型斑圖。

(2) 固定d21=2.499，取d12=-0.46和1.222進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果分別如圖4和5所示。

在圖1中取(d21，d12)=(2.499，-0.46)，該點(diǎn)在不穩(wěn)定區(qū)域D2中。由圖4可知：起初出現(xiàn)無(wú)規(guī)律的紫色塊狀，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，開始隱約出現(xiàn)條狀和點(diǎn)狀的斑點(diǎn)；隨著時(shí)間再進(jìn)一步延長(zhǎng)，點(diǎn)狀和條狀逐漸明顯，并且點(diǎn)狀斑圖連接成條狀，最終，基本上以條狀斑圖穩(wěn)定下來(lái)。

在圖1中取(d21，d12)=(2.499，1.222)，此點(diǎn)在不穩(wěn)定區(qū)域D2上方的區(qū)域中。由圖5可知，隨著時(shí)間延長(zhǎng)先出現(xiàn)一些不規(guī)則的紅色斑點(diǎn)，但模型很快出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文主要討論了交叉擴(kuò)散對(duì)具有產(chǎn)毒浮游植物的浮游生物系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，與僅含有自擴(kuò)散項(xiàng)的浮游生物模型對(duì)比，交叉擴(kuò)散項(xiàng)d12或d21的出現(xiàn)引起圖靈不穩(wěn)。在數(shù)值模擬部分，分別固定交叉擴(kuò)散系數(shù)d12(改變d21的取值)和d21(改變d12的取值)，發(fā)現(xiàn)交叉擴(kuò)散系數(shù)d12或d21中任一個(gè)量的改變都會(huì)引起圖靈不穩(wěn)定性發(fā)生，從而產(chǎn)生豐富的圖靈斑圖，如點(diǎn)條混合斑圖或條狀斑圖。同時(shí)，穩(wěn)定性區(qū)域的模擬結(jié)果與理論結(jié)果也是一致的。