基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法的柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真

張志剛， 周 翔， 房占鵬， 肖艷秋

(鄭州輕工業(yè)大學(xué) 河南省機(jī)械裝備智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450002)

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)是一類(lèi)依靠柔性構(gòu)件的彈性變形進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、力和能量傳遞的新型機(jī)構(gòu)形式[1]，具有減少構(gòu)件數(shù)量和裝配時(shí)間、無(wú)摩擦磨損和傳動(dòng)間隙、精度及可靠性高、可實(shí)現(xiàn)微型化等優(yōu)點(diǎn)，在輕型、微型化工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景[2]。

柔順機(jī)構(gòu)的工作原理決定了在運(yùn)行中柔順桿件必然經(jīng)歷大變形過(guò)程，這給精確建模帶來(lái)了極大困難。為了簡(jiǎn)化大變形柔順桿的建模所提出的偽剛體模型方法[3]，采用具有等效力-桿端位移關(guān)系的剛體構(gòu)件模擬柔性桿件的變形，成功地架起了剛性和柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)理論之間的橋梁。由于該模型含有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，因此被稱(chēng)為1R偽剛體模型[4-5]。雖然在一定范圍內(nèi)1R偽剛體模型也能給出一定精度的桿端運(yùn)動(dòng)軌跡，但其對(duì)大變形柔順桿的近似精度不高。為了提高模型精度，通過(guò)增加模型中轉(zhuǎn)動(dòng)副個(gè)數(shù)或考慮軸向變形影響，改進(jìn)的2R、3R以及PR偽剛體模型相繼被提出[6-8]。

隨著應(yīng)用范圍的拓廣，工程中對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的性能及運(yùn)動(dòng)精度都提出了更高要求。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性不僅影響運(yùn)動(dòng)精度，還直接關(guān)系到既定功能的實(shí)現(xiàn)。為此，一些學(xué)者將偽剛體模型方法推廣到柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究[9-11]。但偽剛體模型缺乏對(duì)柔順桿大變形進(jìn)行精確描述的能力，從而限制了其在柔順機(jī)構(gòu)精確動(dòng)力學(xué)仿真分析中的應(yīng)用。

柔順桿件屬于大變形柔性梁，基于剛性截面假設(shè)的建模方法需處理梁截面的大轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。為了避開(kāi)大轉(zhuǎn)動(dòng)引起的數(shù)值困難，Shabana[12]提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法(absolute nodal coordinate formulation, ANCF)選取整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)位置矢量和梯度矢量作為單元參數(shù)，構(gòu)造了一種描述單元任意剛體運(yùn)動(dòng)的單元變形場(chǎng)。ANCF梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力可依據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論計(jì)算，并具有常質(zhì)量矩陣、系統(tǒng)方程不含慣性力和科氏力項(xiàng)等優(yōu)點(diǎn)。因此該方法一經(jīng)提出便引起普遍關(guān)注，已發(fā)展出包含梁、板殼及一般實(shí)體等ANCF單元族，并被應(yīng)用于車(chē)輛、航天、仿生等實(shí)際工程[13-15]。最近李鵬飛等[16-17]采用ANCF方法研究了平面固定-導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)和柔順雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)的變形與驅(qū)動(dòng)力變化規(guī)律，并進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究。疲勞破壞是機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中所要考慮的重要問(wèn)題[18]。由于工作過(guò)程中柔順桿件處于循環(huán)往復(fù)的大變形狀態(tài)，因此精確應(yīng)力應(yīng)變分析對(duì)于柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及疲勞壽命分析極為重要，而上述研究未曾涉及這一問(wèn)題。

應(yīng)用ANCF梁?jiǎn)卧芯苛舜笞冃稳犴槜U的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，并精確計(jì)算了柔順桿件的動(dòng)態(tài)應(yīng)變分布；考慮柔順桿端部鉸接處對(duì)局部變形的影響，提出了一種含端部變形約束的平面ANCF梁?jiǎn)卧徊捎米钚绿岢龅膽?yīng)變分解法(strain split method, SSM)[19]考察了ANCF梁?jiǎn)卧]鎖問(wèn)題對(duì)柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)梁?jiǎn)卧?/h2>

1.1 單元形函數(shù)

平面ANCF梁?jiǎn)卧獌?nèi)任意一點(diǎn)的位置矢量可以表示為r(x)=S(x)e，其中x=[x,y]T為單元物質(zhì)坐標(biāo)，單元形函數(shù)矩陣S和單元參數(shù)列陣e分別為[20]

(1)

(2)

(3)

式中：拉梅常數(shù)λ=(Ev)/((1+v)(1-2v));μ=E/(2(1+v))，其中E為彈性模量，v為泊松比。

1.2 平面ANCF梁?jiǎn)卧目刂品匠?/h3>

(4)

式中:V代表梁?jiǎn)卧捏w積域。

(5)

由上式可知，ANCF梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣M為常數(shù)陣。

(6)

式中:Sp為p點(diǎn)物質(zhì)坐標(biāo)xp對(duì)應(yīng)的形函數(shù)矩陣Sp=S(xp)。

利用虛功率原理，平面ANCF梁?jiǎn)卧奶摴β史匠虨?/p>

(7)

(8)

2 含端部變形約束的ANCF梁?jiǎn)卧?/h2>

2.1 鉸接節(jié)點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

(9)

圖1 含端部變形約束的ANCF梁?jiǎn)卧狥igure 1 ANCF beam element with one nodal constrain

對(duì)上式求時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可以得到速度方程

(10)

(11)

式中：節(jié)點(diǎn)速度變換矩陣B1為

(12)

2.2 含端部變形約束ANCF梁?jiǎn)卧挠邢拊惺?/h3>

(13)

(14)

(15)

3 ANCF梁?jiǎn)卧拈]鎖問(wèn)題

同傳統(tǒng)有限元法一樣，ANCF單元也存在諸如剪切閉鎖、泊松閉鎖、體積閉鎖等現(xiàn)象。ANCF梁?jiǎn)卧]鎖現(xiàn)象源于單元位移插值函數(shù)沿軸向與截面內(nèi)方向的階次不同，使梁的彎曲變形耦合有過(guò)多剪切，表現(xiàn)為彎曲剛度過(guò)大、彎曲撓度變小。將最新提出的ANCF閉鎖緩解技術(shù)SSM方法[19]應(yīng)用于柔順機(jī)構(gòu)仿真分析，以考察ANCF梁?jiǎn)卧]鎖問(wèn)題對(duì)柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

(16)

式中：εc=(1/2)(JcTJc-I)為與梁形心線變形相關(guān)的應(yīng)變量；εk=(1/2)(JcTJk+JkTJc+JkTJk)為與截面變形、彎曲及曲率相關(guān)的高階量。

(17)

式中：材料彈性矩陣Ec和Ek分別為

(18)

式中：剪切修正系數(shù)ks=10(1+v)/(12+11v)。

將修正后的Green-Lagrangian應(yīng)變表達(dá)式和本構(gòu)方程代入平面ANCF梁?jiǎn)卧獌?nèi)力虛功率，可以得到采用SSM方法計(jì)算的ANCF梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力為

(19)

4 數(shù)值算例

不考慮ANCF梁?jiǎn)卧]鎖，直接基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法(GCM)計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)力對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果記作ANCF/GCM；采用緩解ANCF單元閉鎖的SSM方法計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)力對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果記為ANCF/SSM。作為參照，在ADAMS中采用大變形梁類(lèi)部件模塊FE_Part搭建相應(yīng)仿真模型，仿真結(jié)果記作ADAMS。

4.1 柔性單擺

柔性擺長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1 m，截面面積為A=0.1×0.1 m2，材料彈性模量為E=2.1×106Pa，材料密度為ρ=7 800 kg/m3，泊松比為v=0.27，在沿-Y方向重力作用下由圖2所示水平位置自由下落，重力加速度為g=9.81 m/s2。

圖2 柔性單擺Figure 2 Flexible pendulum

本算例選取較小的材料彈性模量，自由下落過(guò)程中單擺產(chǎn)生較大變形。采用ANCF梁?jiǎn)卧x散，左端旋轉(zhuǎn)鉸所在節(jié)點(diǎn)處采用含端部變形約束ANCF梁?jiǎn)卧?。最終形成的單擺系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程采用MATLAB剛性方程求解器ode15s仿真求解，設(shè)定仿真時(shí)間為1 s。仿真求解時(shí)，柔性單擺均被等分為5個(gè)單元，圖3～4給出了單擺末端節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)的時(shí)間變化曲線。

圖3 柔性單擺末端節(jié)點(diǎn)X方向位置坐標(biāo)Figure 3 Position coordinate component in X direction of end point in flexible pendulum

圖4 柔性單擺末端節(jié)點(diǎn)Y方向位置坐標(biāo)Figure 4 Position coordinate component in Y direction of end point in flexible pendulum

由圖3～4首先可以看出，采用ANCF梁?jiǎn)卧玫降膯螖[算例仿真結(jié)果能夠與商業(yè)軟件ADAMS結(jié)果很好地吻合。這初步表明了筆者所提出的含端部變形約束ANCF梁?jiǎn)卧目尚行耘c正確性。因?yàn)椴捎肧SM方法修正單元節(jié)點(diǎn)力有效緩解了ANCF梁?jiǎn)卧]鎖，因此得到了比直接基于GCM方法更好的數(shù)值結(jié)果。

ANCF梁?jiǎn)卧谶B續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本理論，可以更方便更精確地計(jì)算單元內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變分布情況。圖5給出了不同時(shí)刻柔性單擺的變形及正應(yīng)變?cè)茍D。

圖5 柔性單擺的正應(yīng)變?cè)茍DFigure 5 Distribution of normal strain of the flexible pendulum

4.2 柔順?biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)

圖6 柔順?biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)Figure 6 Compliant four-bar linkage

在這個(gè)算例中，剛性桿AB和BC采用剛體建模；柔順桿CD均勻劃分為5個(gè)梁?jiǎn)卧?，分別采用基于GCM和SSM的ANCF梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模。對(duì)于包含柔順桿端部節(jié)點(diǎn)C和節(jié)點(diǎn)D的單元仍采用含端部變形約束ANCF梁?jiǎn)卧?。圖7～8給出了采用上述3種方法得到的仿真時(shí)間為1 s的柔順桿頂端C點(diǎn)位置坐標(biāo)的時(shí)間變化曲線。

圖7 柔順桿頂端C點(diǎn)X方向位置坐標(biāo)Figure 7 Position coordinate component in X direction of point C in the compliant rod

圖8 柔順桿頂端C點(diǎn)Y方向位置坐標(biāo)Figure 8 Position coordinate component in Y direction of point C in the compliant rod

從圖7～8可以看出，采用ANCF梁?jiǎn)卧脭?shù)值結(jié)果與商業(yè)軟件ADAMS相吻合。這也表明了ANCF梁?jiǎn)卧m用于柔順機(jī)構(gòu)建模和動(dòng)力學(xué)分析。從圖中還可以看出，ANCF梁?jiǎn)卧]鎖問(wèn)題使得當(dāng)單元發(fā)生較大變形時(shí)，單元表現(xiàn)為過(guò)于剛硬。因此，采用SSM閉鎖緩解方法的數(shù)值結(jié)果(ANCF/SSM)好于不考慮閉鎖問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的數(shù)值結(jié)果(ANCF/GCM)。

柔順?biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)行中必然會(huì)伴隨柔順桿件的往復(fù)變形。因此在設(shè)計(jì)和分析柔順機(jī)構(gòu)時(shí)，對(duì)工作過(guò)程中柔順桿所受應(yīng)力應(yīng)變進(jìn)行分析具有重要意義。圖9給出了柔順?biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)變形情況及柔順桿的正應(yīng)變?cè)茍D。

圖9 柔順?biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)正應(yīng)變分布Figure 9 Distribution of normal strain of the compliant four-bar linkage

由應(yīng)變分布云圖可知，在柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中柔順桿的最大正應(yīng)變出現(xiàn)在柔順桿兩端。因此在進(jìn)行柔順?biāo)倪B桿設(shè)計(jì)和疲勞壽命分析時(shí)都需要將柔順桿兩端看作危險(xiǎn)截面給予重點(diǎn)核算。

5 結(jié)論

基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法系統(tǒng)地研究了柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，得到的結(jié)論如下：

(1) 采用平面ANCF梁?jiǎn)卧⒘舜笞冃稳犴標(biāo)倪B桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型；

(2) 在充分考慮柔順桿鉸鏈連接處變形特征基礎(chǔ)上，提出了含端部變形約束的平面ANCF梁?jiǎn)卧?/p>

(3) 基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，精確計(jì)算了包含動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的柔順桿應(yīng)變分布，為柔順機(jī)構(gòu)疲勞分析奠定了基礎(chǔ)。