含有指數(shù)函數(shù)的Riccati微分方程通解的充要條件

戴 偉，葉永升

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

Riccati微分方程

其中：P(x)，Q(x)和R(x)為連續(xù)函數(shù). 此方程于1841年被法國數(shù)學(xué)家劉維爾證明了沒有初等解法，但是人們通過適當(dāng)?shù)淖儞Q可以把它化為可解的方程類型，然后再代回原來的變量得到Riccati微分方程的解.或者根據(jù)P(x)，Q(x)和R(x)之間的關(guān)系尋找具有特殊形式方程（1）的解. 在文獻(xiàn)［1]中，已知方程（1）的一個(gè)特解yˉ(x)，通過變換y=z+yˉ，方程（1）就可化為關(guān)于變量z的伯努利（Bernoulli）方程. 而在文獻(xiàn)［2-11]中，當(dāng)P(x)，Q(x)和R(x)滿足一定條件時(shí)，方程（1）也可以通過初等積分法求解. 文獻(xiàn)［12-15]介紹利用變量變換法求解微分方程的技巧. 由此，本文利用變量變換法，當(dāng)P(x)，Q(x)和R(x)滿足一定條件時(shí)，給出一類Riccati微分方程存在通解的充要條件.

1 主要結(jié)果及其證明

引理1［1]設(shè)伯努利（Bernoulli）方程為其中：P(x)和Q(x)是連續(xù)函數(shù). 則此方程的通解為

其中C為任意常數(shù).

定理1Riccati微分方程（1）存在形如

證明為證明方便，設(shè)

必要性. 設(shè)方程（1）的通解為式（2），則將式（2）代入式（1）得

整理得

即

顯然，y=-ke-x是方程（3）的解.

設(shè)z=y+ke-x，則方程（3）可變?yōu)橛梢?得，

即

y=-ke-x+為任意常數(shù).

類似可得下面定理.

定理2Riccati 微分方程（1）存在形如的通解充要條件為其中：k為常數(shù)，C為任意常數(shù).

根據(jù)定理1和定理2，我們可得下列2個(gè)推論.

推論1若Q(x)=2kP(x)e-x，R(x)=k2P(x)e-2x+ke-x，則Riccati微分方程（1）存在形如

的通解，其中：k為常數(shù)，C為任意常數(shù).

推論2設(shè)Q(x)=2kP(x)ex,R(x)=k2P(x)e2x-kex，則Riccati微分方程（1）存在形如的通解，其中：k為常數(shù)，C為任意常數(shù).

2 應(yīng)用舉例

例1求微分方程的通解.

解這里P(x)=4x3,Q(x)=8x3e-x,R(x)=4x3e-2x+e-x，顯然

由推論1可知方程的通解為其中C為任意常數(shù).

例2求微分方程的通解.

解這里P(x)=cosx,Q(x)=4excosx,R(x)=4e2xcosx-2ex，顯然故k=2.

由推論2可知方程的通解為

其中C為任意常數(shù).