淺析三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用

文/潮州市湘橋區(qū)意溪中學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師還采用過(guò)去單一的教學(xué)模式而忽略對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在新課程改革背景下，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容。教師應(yīng)當(dāng)改善以往傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式，不僅要讓學(xué)生掌握最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該在教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。我通過(guò)對(duì)三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用研究教學(xué)，從中滲透提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、三角換元法在教學(xué)中的意義

三角換元法是高中數(shù)學(xué)解題中常用的一種換元方法。換元法的實(shí)質(zhì)是根據(jù)等量代換，通過(guò)構(gòu)造元和設(shè)元來(lái)變換變量，最后將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化，易于處理。而三角換元法主要是將題目中的代數(shù)式與三角函數(shù)恒等式聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行換元，代數(shù)式和三角進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，題目就變得簡(jiǎn)單多了，學(xué)生的解題思路也變得清晰了。我通過(guò)三角換元法巧用在高中數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典題目進(jìn)行分析，在教學(xué)中我特別重視學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維分析能力，使學(xué)生能在分析過(guò)程中形成數(shù)學(xué)解題能力和技巧。

二、三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用

1．三角換元法巧解函數(shù)值域與最值問(wèn)題

2．三角換元法巧證不等式

對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)于給定條件的不等式證明問(wèn)題是比較難理解也不知道從何下手，我們可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)挖掘題目中隱含的條件，然后與三角恒等式聯(lián)系起來(lái)。

例2：若x，y，z∈R+，z2=x2+y2，求證xn+ynz，n∈N)．

∴xn+yn=zn(sinnα+cosnα)

四、結(jié)語(yǔ)

三角換元法在求函數(shù)值域與最值問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題、證明不等式的巧妙運(yùn)用可以歸納其對(duì)應(yīng)形式：如變量x,y可化為x2+y2=r2(r>0)形式時(shí)，則可令x=rcosθ,y=rsinθ化為三角問(wèn)題。其中，三角換元法的難點(diǎn)是如何作出正確的變量代換，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目條件，尤其是題目中隱蔽的條件。在使用三角換元法時(shí)，特別也要讓學(xué)生注意換元后θ的取值，要保證換元前后的等效性。

在高中數(shù)學(xué)中，換元法是解題中的一種經(jīng)典方法，而三角換元法作為換元法的靈魂，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用既靈活又廣泛。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生正確又靈活的運(yùn)用三角換元法，可以不斷地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。巧妙的運(yùn)用三角換元法能有效的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)難題變得簡(jiǎn)單、直觀，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展也有著重要的研究意義。