紐結(jié)理論在數(shù)論中的應(yīng)用

陶志雄

（浙江科技學(xué)院理學(xué)院，浙江杭州310023）

1 問(wèn)題的提出

紐結(jié)理論看似與數(shù)論[1]毫不相干，但已有不少紐結(jié)方面的結(jié)果是用數(shù)論來(lái)表達(dá)的，例如文獻(xiàn)[2]。本文將給出反向的情形，即利用紐結(jié)理論證明數(shù)論的2個(gè)結(jié)果：

定理1若m，n是互素的整數(shù)，則24整除(m2-1)(n2-1)。

定理2若m，n是互素的整數(shù)，則12整除(m-1)(n-1)(2mn-m-n-1)。

容易舉例說(shuō)明，若m，n不是互素，則定理就不成立。

2 定義與命題

定義1[3-5]假設(shè)K是一定向紐結(jié)，多項(xiàng)式?K(t)∈?[t]定義如下：

(1)若K與平凡紐結(jié)同痕，則?K(z)=1；

(2)若3個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)僅在1個(gè)交叉處不同，而且不同處如圖1所示，則

圖1 L+，L-，L 0Fig.1 L+，L-，L 0

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)有n個(gè)分支的鏈環(huán)的Conway多項(xiàng)式可表示為[6]

類似地,可定義 Alexander多項(xiàng)式ΔL(t)∈?[t]與Conway多項(xiàng)式的關(guān)系為

尤其是當(dāng)n=2時(shí)，a1(L)=lk(L)，或者說(shuō)當(dāng)L+是紐結(jié)時(shí)，

定義2[2,5,7]假設(shè)K是定向紐結(jié)，羅朗多項(xiàng)式VL(t)∈? [t±1]定義如下：

（1）若K與平凡紐結(jié)同痕，則VK(t)=1；

（2）若3個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)僅在1個(gè)交叉處不同，而且不同處如圖1所示，則

那么此多項(xiàng)式是一個(gè)紐結(jié)與鏈環(huán)不變量，稱為Jones多項(xiàng)式。

命題1[2,5,8]設(shè)VL(t)是有c(L)個(gè)分支鏈環(huán)的瓊斯多項(xiàng)式，則

3 定理的證明

定理1的證明考慮Torus紐結(jié)T＝T(m,n)(m，n互素)，其Jones多項(xiàng)式為[5,7]

等式右邊第2個(gè)∑ 中每一項(xiàng)可改寫(xiě)為

定理1得證。

定理2的證明若T＝T(m,n)(m，n互素)仍然表示Torus紐結(jié)，則其Alexander多項(xiàng)式為[4-5,7]