巧用“平行線之間的三角形面積相等”解題

楊翠蘇

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6

一.平行線之間的三角形面積相等????

1.構(gòu)建基本圖形

已知直線m∥n，

• B為直線m上的兩點(diǎn)，C、D為直線n上的兩點(diǎn);

連接任意兩點(diǎn)間的線段。

（1）請(qǐng)你找出圖中面積相等的各對(duì)三角形;

（2）△ABC與△ABD的面積為什么相等？（等底同高）

（3）為什么等高？（平行線間的距離處處相等）

證明：（1）S_△ABC=S_△ABD;S_△AOC=S_△B0D

（2）因?yàn)榈鹊淄?，所以S_△ABC=S_△ABD

（3）因?yàn)槠叫芯€間的距離處處相等，所以等高。

2.基本圖形圖形特征

兩個(gè)三角形的公共邊在一條平行線上，兩個(gè)三角形的第三個(gè)點(diǎn)在依托數(shù)學(xué)應(yīng)用，指導(dǎo)學(xué)生掌握“問(wèn)題解決”的策略。

二.構(gòu)造平行線，利用“ 平行線之間的三角形面積相等”解題舉例

解數(shù)學(xué)題時(shí)，構(gòu)造平行線，利用“平行線之間的三角形面積相等”，往往能化繁為簡(jiǎn)，那么題目中的條件具備什么樣的特點(diǎn)時(shí)，能構(gòu)造平行線，利用“平行線之間的三角形面積相等”呢？

1. 題目條件中含有平行線 ，直接利用平行線之間的三角形

已知：如圖，面積為6的正△ABC，P是BC邊上一點(diǎn)，以PB為一邊向外作正△PBD。

提出問(wèn)題：

（1）如圖2若點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，則△ADC的面積為多少？

（2）如圖3若點(diǎn)P是BC邊的三等分點(diǎn)，則△ADC的面積為多少？

（3）如圖4若點(diǎn)P是BC邊的四等分點(diǎn)，則△ADC的面積為多少？

（4）如圖5已知任意△ABC的面積，你能否構(gòu)造出基本圖形？你能找到面積相等的三角形嗎？

解析：∵△ABC與△PBD均為正三角形，

∴∠CAB=∠PBD=60°，∴AC∥BD

∴S_△ACB=S_△ACD =6

點(diǎn)評(píng)：巧用兩個(gè)等邊三角形中的平行線，問(wèn)題的關(guān)鍵是怎么發(fā)現(xiàn)平行線。

2. 題目條件中無(wú)平行線 ，根據(jù)題意連接點(diǎn)作出的平行線，形成平行線之間的三角形

（1）兩個(gè)正方形如圖6擺放，邊長(zhǎng)分別為2和5，則△AFC的面積為多少？

（2）兩個(gè)正方形如圖7擺放，邊長(zhǎng)分別為4和6，則△GEB的面積為多少？

（3）兩個(gè)菱形形如圖8擺放，兩菱形的面積分別為3和9，則△BDF的面積為多少？

（4）兩個(gè)正5邊形如圖9擺放，陰影部分的面積等于△ABC的面積？

（5）兩個(gè)正6邊形如圖10擺放……..

解析：（1）連接FD，∠FDE=∠ACD=45°，∴AC∥FD

∴S_△ACF=S_△ACD = S_{正方形ABCD}=

同理：（2）（3）（4）（5）……的問(wèn)題解決都是構(gòu)造平行線

3.根據(jù)題目條件創(chuàng)造平行線，再利用利用“ 平行線之間的三角形面積相等”解決實(shí)際問(wèn)題

如圖11，四邊形ABCD中，AD與BC不平行，S_△ABC>S_△DBC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？

解析：1.連接AC，

2.過(guò)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

3.則△ADC與△ACE同底等高，S_△ACE=S_△ACD

4.所以四邊形ABCD的面積就等于△AEB的面積

5.取EB邊的中點(diǎn)F， 需連接AF 所以S_△ACB=S_△ACD。

6.即AF為四邊形ABCD的面積等分線。

三.小結(jié)

以上幾個(gè)實(shí)例，都有一個(gè)共同點(diǎn)，看似無(wú)平行線，卻有平行線，在解題時(shí)，要認(rèn)真審題，捕捉條件，慧眼識(shí)圖，靈活構(gòu)造，實(shí)踐證明，通過(guò)平行線，巧用“平行線之間的三角形面積相等”解題，的確簡(jiǎn)潔而新穎，是一種行之有效的解題思路。