HPM視角下的“排列”教學(xué)

方倩 汪曉勤

【摘?要】排列組合的內(nèi)容對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求。基于學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師結(jié)合數(shù)學(xué)史加深學(xué)生對(duì)排列概念的理解，尋求歷史上合適的排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法，進(jìn)一步理解排列數(shù)公式，讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷排列知識(shí)的演進(jìn)歷程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】HPM;排列組合;探究之樂;方法之美;德育之效;文化之魅

【作者簡介】方倩，華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;汪曉勤（本文通訊作者），教授，博士生導(dǎo)師，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院副院長，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣?huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中如何落實(shí)立德樹人研究”（A8）

一、引言

“排列”是滬教版高三數(shù)學(xué)第16章的內(nèi)容，教科書首先用生活中具體的例子引入，利用樹狀圖計(jì)算結(jié)果，接著運(yùn)用乘法原理解釋結(jié)果并推導(dǎo)排列數(shù)公式。對(duì)教師和學(xué)生的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合主要存在以下問題：（1）對(duì)排列概念理解不透徹;（2）機(jī)械套用教材中的排列組合公式;（3）排列組合公式的使用和計(jì)算易出錯(cuò);（4）很多學(xué)生通過記憶解題，缺乏思考;（5）對(duì)同一問題的不同解法掌握得較差。[1]

筆者在資料搜集的過程中發(fā)現(xiàn)，“排列”的新課教學(xué)設(shè)計(jì)屈指可數(shù)，教師一般都按照書本內(nèi)容展開教學(xué)，運(yùn)用乘法原理對(duì)排列數(shù)公式作出證明。排列組合內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求?；趯W(xué)生的學(xué)習(xí)情況，筆者運(yùn)用數(shù)學(xué)史來幫助學(xué)生加深對(duì)排列概念的理解，同時(shí)尋求歷

史上合適的排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生進(jìn)一步理解排列數(shù)公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。由此，筆者擬訂了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：（1）理解排列、排列數(shù)的概念;（2）掌握排列數(shù)公式的證明方法，領(lǐng)會(huì)其背后的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的方法之美;（3）了解排列知識(shí)在歷史上的演進(jìn)過程，培養(yǎng)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，感悟數(shù)學(xué)文化的多元性。

二、數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用

（一）排列公式的出現(xiàn)

歷史上很早就出現(xiàn)了排列和組合問題。公元前7世紀(jì)，中國《易經(jīng)》的六十四卦圖即是陰爻“- -”和陽爻“—”的重復(fù)排列，共26種卦象[2]。公元前3世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家克里西普認(rèn)為10個(gè)公理的排列數(shù)超過1000000種;而公元前2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家希帕恰斯給出了錯(cuò)誤的排列數(shù)101049或310925[3]。

在猶太古典文獻(xiàn)《創(chuàng)造之書》中，作者給出了22個(gè)希伯來字母的全排列。公元8世紀(jì)，印度一位詞典編纂者艾哈默德對(duì)阿拉伯語中的單詞進(jìn)行分類，他計(jì)算了從28個(gè)阿拉伯字母中取2，3，4或5個(gè)字母組成的單詞的個(gè)數(shù)。12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在其著作《莉拉沃蒂》中給出一次從n件物品中取r件的（可重復(fù)或不重復(fù)）排列數(shù)的算法。13世紀(jì)初，艾哈默德·伊本·穆恩伊姆在處理排列問題時(shí)得出這樣的結(jié)論：不管一個(gè)單詞有多長，它的字母的排列數(shù)是1×2×3×4×5等，直至該詞的字母數(shù)[4]。

公元10世紀(jì)，多諾羅在注釋《創(chuàng)造之書》時(shí)證明了n個(gè)字母的全排列數(shù)。13世紀(jì)末，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家伊本·阿爾巴拿給出并證明了全排列數(shù)及排列數(shù)公式Prn。[3]81-85

（二）排列公式的證明

1熱爾松的證明

在14世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家本·熱爾松在其代表作《數(shù)之書》中證明了n個(gè)元素的全排列數(shù)n！，作者首先證明了以下命題。[3]210-215

命題1：如果n個(gè)不同元素的排列數(shù)為某個(gè)固定的數(shù)，那么n+1個(gè)不同元素的排列數(shù)為該數(shù)與n+1的乘積。

設(shè)n個(gè)元素為a，b，c，d，…，e，它們的排列數(shù)為t。在n個(gè)元素的每一種排列前插入第n+1個(gè)元素f，可得t個(gè)不同的排列;以f代替e，則a，b，c，d，…，f的排列數(shù)為t。在每一個(gè)排列前插入e，得到t個(gè)不同的排列。類似地，將每一個(gè)元素放在第一個(gè)位置，都得到t個(gè)不同的排列。因此，a，b，c，d，…，e，f的排列數(shù)為（n+1）t。本·熱爾松由此命題證得n個(gè)元素的全排列數(shù)。

類似地，本·熱爾松又證明了以下命題。

命題2：n個(gè)不同元素中一次取2個(gè)的排列數(shù)為n與n-1的乘積。

命題3：如果n個(gè)不同元素中一次取r（r

本·熱爾松在證明了上述3個(gè)命題之后，通過命題2和命題3推出排列數(shù)公式Pmn=（n-m+1）（n-m+2）…n。

2早期教科書中的證明方法

1881年，美國數(shù)學(xué)家溫特沃斯在其所著的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中對(duì)排列數(shù)公式作了證明，所用方法與現(xiàn)行教科書的方法一致，即通過分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行證明[5]。1897年，英國數(shù)學(xué)家鮑爾在其著作《初等代數(shù)》中則采用了本·熱爾松的證明方法[6]。

1899年，美國數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾等在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中給出了如下證明：將從n個(gè)物體中取r個(gè)的排列數(shù)記為Prn，觀察樹狀圖，利用枚舉法可得P14=4，P24=12，P34=24，P44=24，已知P1n=n，對(duì)于n個(gè)物體，一次性選2個(gè)物體的排列數(shù)等于一次性選1個(gè)物體的排列數(shù)乘以剩下的數(shù)，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性選3個(gè)物體的排列數(shù)等于一次性選2個(gè)物體的排列數(shù)乘以剩下的數(shù)，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1）。[7]

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

筆者用重構(gòu)式對(duì)本節(jié)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。首先，通過公理排列數(shù)的例子引入排列的概念（復(fù)制式），將艾哈默德對(duì)阿拉伯語中的單詞分類問題改編為簡單的字母問題（順應(yīng)式），加深學(xué)生對(duì)排列概念的理解。其次，利用三種證明方法推導(dǎo)出排列數(shù)公式（復(fù)制式）。最后，介紹排列知識(shí)的發(fā)展過程（附加式）。

（一）課題引入

師：在數(shù)學(xué)上，我們常常會(huì)遇到不同數(shù)學(xué)定理的順序安排問題。比如，我們?cè)诔踔袝r(shí)學(xué)過全等三角形的三個(gè)判定定理——SAS、ASA和SSS。從理論上說，我們可以先學(xué)SAS，再學(xué)ASA，最后學(xué)SSS;也可以先學(xué)SSS，再學(xué)ASA，最后學(xué)SAS，等等。那么一共有幾種這樣不同的安排方式呢？其實(shí)，古希臘人很早就遇到了類似的問題。公元前3世紀(jì)，哲學(xué)家克里西普認(rèn)為，10個(gè)公理如果依次排序，就會(huì)有超過1000000種不同的排法;公元前2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家希帕恰斯試圖算出準(zhǔn)確的結(jié)果，他認(rèn)為，總共應(yīng)該有101049種或310925種排法。請(qǐng)問你們覺得會(huì)有多少種呢？

（學(xué)生小聲議論。）

師：在解決這個(gè)問題之前，我們先來探究下面的問題。

（二）概念生成

師：公元8世紀(jì)，印度一位詞典編纂者艾哈默德對(duì)阿拉伯語中的單詞進(jìn)行分類，他計(jì)算了從28個(gè)阿拉伯字母中取2，3，4或5個(gè)字母組成單詞的個(gè)數(shù)?，F(xiàn)在我們用英文字母來代替阿拉伯字母，英文字母a，b可構(gòu)成多少種二元單詞？

生：2種，即ab和ba。

師（追問）：英文字母a，b，c可構(gòu)成多少種二元單詞？

生：6種，ab，ac，ba，bc，ca，cb。

（有極少數(shù)學(xué)生說3種。）

師：我聽到有同學(xué)說3×2種，這是怎么算出來的呢？

生：第一個(gè)位置有3個(gè)，第二個(gè)位置有2個(gè)。

師：很好。你已經(jīng)找到了比列舉法更簡便的方法，那么請(qǐng)大家思考，英文字母a，b，c，d可以構(gòu)成多少種三元單詞？

（學(xué)生列舉了其中的某些例子。）

師：我們一起來列舉一下，首先，首字母是a，那么第二位有3種選擇b，c，d，如若第二位是b，那么第三位只能選c或d，因此有2種情形;同理，第二位是c或d，分別有2種選擇。因此，首字母為a的三元單詞共有3×2=6種。同理，首字母為b，c或d的三元單詞有6種，因此三元單詞共有4×6=24種。

（教師板書，畫出如圖1所示的樹狀圖。）

師：之前我們學(xué)習(xí)集合的時(shí)候，也會(huì)將集合的元素列舉出來，這和集合元素有什么區(qū)別呢？

生：這個(gè)有順序，集合的元素沒有順序。

師：上面組成的二元和三元單詞，在數(shù)學(xué)上我們把它叫做一個(gè)排列。排列是指從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素按照一定的次序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)的一個(gè)排列。結(jié)合上述例子，可以發(fā)現(xiàn)排列有什么特征？

生：元素不重復(fù)。

師：排列的特征是元素不重復(fù)且按照一定的順序排列，也就是說排列的問題與位置相關(guān)。那么如果兩個(gè)排列相同，可以得到這兩個(gè)排列有什么關(guān)系？

生：元素一樣，順序也一樣。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們來說說生活中有關(guān)排列的例子有哪些呢？

生：學(xué)號(hào)、座位。

師：可見排列問題在我們生活中經(jīng)常遇到，同學(xué)們剛才舉了很多種排列的例子，比如學(xué)號(hào)等。那學(xué)號(hào)總共有多少種排列的方法呢？這個(gè)排列的方法種數(shù)我們稱為排列數(shù)。排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Pmn表示，P是排列數(shù)的符號(hào)，是排列英文單詞Permutation的首字母，n是指元素的總數(shù)，m是指取出的元素個(gè)數(shù)。

師：下面用排列數(shù)的符號(hào)表示上述問題。

生：第1題是P22。

師：元素的總數(shù)是2，取出的元素個(gè)數(shù)也是2，因此為P22。第2題呢？

生：第2題是P23，元素的總數(shù)是3，取出的元素個(gè)數(shù)是2。

師：同理，第3題就是P34，那么排列數(shù)的具體值又該如何計(jì)算呢？

生：第一個(gè)有4種，第二個(gè)有3種，第三個(gè)有2種，所以4×3×2=24種。

（三）證明方法探究

師：剛剛我們用樹狀圖將其列舉求出，但是當(dāng)數(shù)值很大的時(shí)候，計(jì)算量就會(huì)很大。除此之外，我們可以從另一個(gè)角度理解第3題的三元單詞由3個(gè)元素組成，第一個(gè)位置可以從4個(gè)字母中任選1個(gè)，第二個(gè)位置可以從剩下的3個(gè)字母中任選1個(gè)，最后一個(gè)位置只能從剩下的2個(gè)字母中選擇，我們將其分成3步完成，運(yùn)用乘法計(jì)數(shù)原理可得P34=4×3×2=24。

1乘法計(jì)數(shù)原理法

師：分步乘法原理是指如果完成一件事需要n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法。那么，請(qǐng)問從a1，a2，a3，…，an中取出m個(gè)的排列數(shù)是多少？

生：是Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

師：那你給大家解釋一下這個(gè)公式是怎么得來的。

生：總共有m個(gè)位置，先畫m個(gè)方格，第一個(gè)方格有n種選擇，第二個(gè)方格有n-1種選擇，一直到最后有n-m+1種選擇，將所有的選擇法相乘得到Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

師：為什么最后一個(gè)方格是n-m+1種？

生：從第一個(gè)到最后一個(gè)找規(guī)律可以得到。

師：我們用分步乘法原理計(jì)算，總共可分為m個(gè)步驟，然后將它們相乘即可。我們也可將Pmn寫成階乘的形式，即Pmn=n?。╪-m）！，一個(gè)正整數(shù)的階乘是指所有小于及等于該數(shù)的正整數(shù)的積，自然數(shù)n的階乘寫作n！。規(guī)定0！=1。

（教師板書推導(dǎo)排列數(shù)公式。）

師：觀察排列數(shù)的公式，大家發(fā)現(xiàn)m與n之間有什么大小關(guān)系呢？

生：n大于m，因?yàn)槲覀兪菑膎個(gè)中選出m個(gè)。

師：那可以等于嗎？

生：可以。

師：因此n大于或等于m，且為正整數(shù)。當(dāng)m=n時(shí)，Pmn=Pnn，此時(shí)，n-m+1=1，則Pnn=n（n-1）×（n-2）…×3×2×1=n！，這種排列我們就稱為全排列，我們把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列。

2熱爾松證明法

師：剛剛同學(xué)們用分步乘法計(jì)數(shù)原理的方法證明了排列數(shù)公式，這也是教科書中的證明方法。現(xiàn)在我們一起來看看歷史上還有哪些證明方法。早在14世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家本·熱爾松在其代表作《數(shù)之書》中也證明了n個(gè)元素的全排列數(shù)n！。為了證明排列數(shù)公式，他分別用了3個(gè)命題來說明。

本·熱爾松首先證明第一個(gè)命題：如果n個(gè)不同元素的排列數(shù)為某個(gè)固定的數(shù)，那么n+1個(gè)不同元素的排列數(shù)為該數(shù)與n+1的乘積。我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表述為：n個(gè)不同元素的排列數(shù)，即Pnn;n+1個(gè)不同元素的排列數(shù)，即Pn+1n+1，原命題就等價(jià)于證明Pn+1n+1=（n+1）Pnn，請(qǐng)同學(xué)自己動(dòng)手證明一下。

生：畫n+1個(gè)小方框，第n+1個(gè)元素可以放在n+1個(gè)小方框中的任何一個(gè)當(dāng)中，剩下的n個(gè)元素有Pnn種排法，所以是（n+1）Pnn。

師：這位同學(xué)求n+1個(gè)元素的全排列是分2步完成的。第一步，先將第n+1個(gè)元素在n+1個(gè)位置中挑選一個(gè)排好，第二步，剩下的n個(gè)元素全排列，運(yùn)用分步乘法原理可證明上述公式。

師：數(shù)學(xué)家本·熱爾松是這么證明的。設(shè)n個(gè)元素為a，b，c，d，…，它們的排列數(shù)為t。在n個(gè)元素的每一種排列前插入第n+1個(gè)元素f，可得t種新的排列f，a，b，c，d，…;如果說最開始n個(gè)元素是f，b，c，d，…，插入第n+1個(gè)元素a，也可得n種新的排列a，f，b，c，d，…，即交換f與a的位置，同理，f可與b，c，d，…交換，因此n+1個(gè)元素的排列數(shù)為（n+1）t。即全排列的公式得以證明。顯然，同學(xué)們的證明方法比數(shù)學(xué)家本·熱爾松的證明方法更簡潔。

師：通過上述推理，是否有同學(xué)可以證明全排列公式呢？

生：用累乘法證明，Pn+1n+1=（n+1）Pnn，則Pnn=nPn-1n-1，…，P22=2P11=2×1，將所有等式兩邊的左邊相乘等于等式右邊相乘，約掉相同的項(xiàng)就可以得到全排列數(shù)公式。

師：很好。累乘法在這里也可以直接運(yùn)用等式的迭代，Pnn=nPn-1n-1，則Pn-1n-1=（n-1）Pn-2n-2，即Pnn=n（n-1）Pn-2n-2，以此類推，若一直迭代下去，就會(huì)得到全排列數(shù)公式。

師：類似地，數(shù)學(xué)家本·熱爾松又證明了以下兩個(gè)命題：n個(gè)不同元素中一次取2個(gè)的排列數(shù)為n與n-1的乘積;如果n個(gè)不同元素中一次取r（r

師：這個(gè)公式的推導(dǎo)同學(xué)們可以在課后探討研究。那么根據(jù)遞推公式Pr+1n=（n-r）Prn，類似于上面我們證明全排列公式的步驟，我們運(yùn)用迭代法或者累乘法可推導(dǎo)得出排列數(shù)的公式Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

3歸納法

師：國內(nèi)教科書大多是運(yùn)用分步乘法原理，那么在19世紀(jì)中葉到20世紀(jì)初的西方早期教科書中，主要流行3種證明方法：一是乘法計(jì)數(shù)原理法，二是熱爾松證明法，三是歸納法。

師：從n個(gè)物體中取r個(gè)的排列數(shù)我們記為Prn，已知n個(gè)元素取一個(gè)，有n種選擇，即P1n=n;對(duì)于n個(gè)物體，一次性選2個(gè)的排列數(shù)等于一次性選1個(gè)的排列數(shù)乘以剩下的數(shù)，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性選3個(gè)的排列數(shù)等于一次性選2個(gè)的排列數(shù)乘以剩下的數(shù)，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1），以此類推，可得到排列數(shù)公式。

生：感覺最后一種方法的證明思路和熱爾松證明法差不多。

師：是的，兩種方法都運(yùn)用了迭代法（累乘法），區(qū)別在于熱爾松遞推關(guān)系的推導(dǎo)主要是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，而早期教科書主要是歸納的思想，現(xiàn)行教科書是有順序地運(yùn)用分步乘法進(jìn)行計(jì)算。

師：學(xué)完排列數(shù)公式后，我們一起來看看公理的排列數(shù)究竟是多少種呢？

生：P1010=10×9×…3×2×1=3628800種。

（四）知識(shí)鞏固

教師在PPT中依次出示與排列相關(guān)的3道例題。

例1?計(jì)算：P410。

例2?求證：Pmn+mPm-1n=Pmn+1。

例3?全班35名同學(xué)兩兩互發(fā)一條微信，共發(fā)了多少條微信？

例1求解具體數(shù)字的排列數(shù)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理來計(jì)算排列數(shù)的方法;例2通過證明等式成立，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)排列數(shù)公式的運(yùn)用能力;例3幫助學(xué)生深刻理解排列的概念，解決簡單的實(shí)際問題。

（五）課堂小結(jié)

教師介紹排列內(nèi)容的歷史演進(jìn)歷程，由學(xué)生自由發(fā)言，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，并做總結(jié)：（1）知識(shí)層面：理解排列的概念，掌握排列數(shù)公式的3種證明方法;（2）思想層面：感悟從特殊到一般和歸納遞推的數(shù)學(xué)思想方法;（3）情感層面：學(xué)生想出與古人類似的證明排列數(shù)的方法，且更方便快捷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

四、學(xué)生反饋

課后，筆者對(duì)兩個(gè)班級(jí)79名學(xué)生做了問卷調(diào)查，并和部分學(xué)生進(jìn)行了訪談。

（一）問卷調(diào)查結(jié)果

問卷調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的接受程度較高，甚至有一部分學(xué)生是非常喜歡的。為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)排列知識(shí)的掌握程度，筆者在調(diào)查問卷中設(shè)計(jì)了3道填空題和1道簡答題。

1寫出從a，b，c，d，e 5個(gè)元素中任意取2個(gè)元素的所有排列為??????。

210名同學(xué)排成一排照相，總共有???種不同的排列方式。

3有5本不同的書，要分別包上包書紙，現(xiàn)有花色不同的包書紙6張，每張包書紙只能包一本書，共有???種不同的包法。

4請(qǐng)你寫出排列數(shù)的公式以及推導(dǎo)過程。

上述4道題的正確率分別為962，937，924和823。其中第1題有3名學(xué)生將排列寫成了組合;第2題有5名學(xué)生未能給出正確的答案，1位空白，1位寫了“不會(huì)做”，3位給出了排列數(shù)公式正確，但結(jié)果錯(cuò)誤;第3題有2名學(xué)生列出了排列數(shù)的公式，但未給出計(jì)算結(jié)果，有3名學(xué)生排列數(shù)正確，但是排列數(shù)公式用錯(cuò)，還有2名學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤;第4題所有的學(xué)生都作答了此題，其中有12名學(xué)生未給出推導(dǎo)過程，2名學(xué)生推導(dǎo)過程錯(cuò)誤?？梢钥闯鼋^大多數(shù)的學(xué)生掌握了排列數(shù)公式及其推導(dǎo)。另外，值得驚喜的是，有2名學(xué)生運(yùn)用了熱爾松證明法證明。

對(duì)于問題“提及‘排列你會(huì)想到什么？”，學(xué)生主要有下列回答：（1）有關(guān)的數(shù)學(xué)史，如數(shù)學(xué)家名字等;（2）排列知識(shí)，如全排列、樹狀圖等;（3）數(shù)學(xué)方法，如枚舉法、歸納法等;（4）與其他學(xué)科領(lǐng)域的聯(lián)系，如生物遺傳、同分異構(gòu)體等。

對(duì)于問題“這節(jié)課中你印象最深的是什么？”，學(xué)生主要有下列回答：（1）公式的推導(dǎo)，學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)不同的推導(dǎo)方法，創(chuàng)新了他們的解題思路;（2）與數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容，特別是排列內(nèi)容的歷史演進(jìn)歷程讓學(xué)生印象深刻;（3）課堂內(nèi)容，如排列數(shù)公式等;（4）其他，如教學(xué)方式、授課形式等。

（二）學(xué)生訪談結(jié)果

從學(xué)生訪談中，筆者發(fā)現(xiàn)與上述調(diào)查問卷的情況基本吻合，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)持有積極的態(tài)度。在高考的背景下，學(xué)生希望能在掌握課堂知識(shí)的情況下，了解數(shù)學(xué)史讓課堂不再枯燥，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。另外，學(xué)生喜歡能使數(shù)學(xué)知識(shí)變得簡單易懂的史料，如一些巧妙的解題思路與方法。

五、結(jié)語

借鑒數(shù)學(xué)史可以更深切地體驗(yàn)歷史上數(shù)學(xué)家的智慧，從史料中獲得靈感，并融入教學(xué)設(shè)計(jì)中開發(fā)新的課例。從問卷調(diào)查結(jié)果來看，本節(jié)課基本完成了教學(xué)目標(biāo)，大部分學(xué)生掌握了排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法，對(duì)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)表示認(rèn)可，對(duì)于排列數(shù)的3種證明方法表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的興趣。排列數(shù)公式的3種證明方法：一是運(yùn)用教科書中的乘法計(jì)數(shù)原理，在分步的過程中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)排列有序性的理解;二是熱爾松證明法，運(yùn)用遞推、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想先對(duì)全排列公式進(jìn)行詳細(xì)的證明，再通過類比得到排列數(shù)公式;三是早期教科書中的歸納法，與熱爾松證明法思路類似，通過兩種方法的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生正確地理解運(yùn)算對(duì)象，合理地選擇運(yùn)算方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力。

本節(jié)課引入運(yùn)用公理排列數(shù)的例子，以及學(xué)生對(duì)改編的字母編排問題的積極討論，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的探究之樂。教師對(duì)排列數(shù)公式的推導(dǎo)方法層層遞進(jìn)式地講解，讓證明的過程更清晰，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法之美，也讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)公式的證明在不同時(shí)期是不同的，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，體現(xiàn)德育之效的價(jià)值。最后，課堂上呈現(xiàn)的排列概念的歷史演進(jìn)過程，讓學(xué)生感受知識(shí)的源與流，看到不同時(shí)期的數(shù)學(xué)家在排列數(shù)公式上的貢獻(xiàn)，從而感受數(shù)學(xué)的文化之魅。

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（責(zé)任編輯：陸順演）