周后卿

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院,湖南 邵陽(yáng),422000)

設(shè)G=(V,E)是具有頂點(diǎn)n的簡(jiǎn)單分子圖,記頂點(diǎn)集V={1,2,…，n},邊集為E(G)。基于圖的分子結(jié)構(gòu)描述符(通常稱為拓?fù)渲笖?shù))是刻畫(huà)分子物理和化學(xué)性質(zhì)、設(shè)計(jì)藥理活性化合物、識(shí)別環(huán)境有害物質(zhì)等方面的有用工具[1]。分子描述符在QSPR/QSAR研究中有著廣泛的應(yīng)用,譬如20世紀(jì)70年代中期由RANDIC引進(jìn)的、著名的、廣泛使用的連通指數(shù)χ,用這個(gè)指數(shù)來(lái)反映分子的分支[2]。關(guān)于分支的一些新結(jié)果可以在文獻(xiàn)[3-5]和其中引用的參考文獻(xiàn)中找到。ESTRADA等[6]于1998年提出了一個(gè)新的指數(shù),即現(xiàn)在稱為原子鍵連通性指數(shù)的ABC指數(shù)。定義分子圖的ABC指數(shù)

本文討論簡(jiǎn)單連通圖、單圈圖的ABC指數(shù)的上界問(wèn)題。

1 幾個(gè)已知結(jié)論及引理

首先介紹幾個(gè)概念。單圈圖是邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)的簡(jiǎn)單連通圖,記n階單圈圖的集合為Un。具有4個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖G，如圖1所示。

圖1 具有4個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖GFig.1 The unicyclic graph G with 4 vertices

分子圖的第一類Zagreb指數(shù)、第二類Zagreb指數(shù)分別用M1和M2表示,記作:

也可表示成

圖2 具有n個(gè)頂點(diǎn)、p條懸掛邊的單圈圖G1Fig.2 The unicyclic graphG1with n vertices、p pandent edges

圖3 具有n個(gè)頂點(diǎn)、p條懸掛邊的單圈圖G2Fig.3 The unicyclic graphG2with n vertices、p pandent edges

對(duì)于圖3中的G2,有

M1=p(3+1)+(p-1)(3+3)+2(3+2)+(n-2p-1)(2+2)=2p+4n≤p(p+1)+4n

說(shuō)明圖2中M1比圖3中的M1大。

下面給出幾個(gè)已知結(jié)論。

DAS等在文獻(xiàn)[9]中給出了ABC指數(shù)的一個(gè)上界。

定理1若G是具有n個(gè)頂點(diǎn),m條邊,p個(gè)懸掛頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單連通圖,最大頂點(diǎn)度為Δ,最小非懸掛頂點(diǎn)度為δ1，則

當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)一個(gè)半正則二部圖，等式成立。

在文獻(xiàn)[10]中,DAS證明了下列結(jié)論。

定理2若G是具有n個(gè)頂點(diǎn),m條邊,p個(gè)懸掛頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單連通圖,最大頂點(diǎn)度為Δ,最小非懸掛頂點(diǎn)度為δ1。則

當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)一個(gè)半正則二部圖，等式成立。

在文獻(xiàn)[8]中,FURTULA等人給出了樹(shù)的界,得到下列定理。

定理3設(shè)T是一個(gè)頂點(diǎn)為n的化學(xué)樹(shù)(所謂化學(xué)樹(shù)，是指頂點(diǎn)的度小于等于4的樹(shù)),則

現(xiàn)在證明簡(jiǎn)單連通圖的ABC指數(shù)的上界。

為了證明定理,需要下述引理。

引理1[11]若G是具有n個(gè)頂點(diǎn),m條邊,最大頂點(diǎn)度為Δ的簡(jiǎn)單連通圖。則

2 主要結(jié)論

現(xiàn)在證明本文的第一個(gè)結(jié)論。

定理4若G是具有n個(gè)頂點(diǎn),p(p≥1)個(gè)懸掛頂點(diǎn),最大頂點(diǎn)度為Δ,最小非懸掛頂點(diǎn)度為δ1的單圈圖，則

證明顯然,懸掛頂點(diǎn)個(gè)數(shù)p≥1,最小非懸掛頂點(diǎn)度δ1>1,所以有-p(δ1-1)<0。

由于G是具有n個(gè)頂點(diǎn),p個(gè)懸掛頂點(diǎn)的單圈圖,所以,m=n,且

M1-2m-p(δ1-1)≤Δ2+2n-3p-4,

現(xiàn)舉例說(shuō)明定理的可行性。設(shè)單圈圖U5如圖4所示,按照ABC指數(shù)的定義計(jì)算,可得到ABC(U5)=3.85。由于n=5,Δ=4,p=2,按定理4計(jì)算有ABC(U5)≤4.852,顯然3.85<4.852,定理4成立。

圖4 具有5個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖U5Fig.4 The unicyclic graph U5 with 5 vertices

定理5若G是具有n個(gè)頂點(diǎn),p(p≥1)個(gè)懸掛點(diǎn),最大頂點(diǎn)度為Δ的單圈圖,則

證明由定理?xiàng)l件可知,p≥1,δ1>1,從而-p(δ1-1)<0,

對(duì)于單圈圖有,n-2≤Δ≤n-1,所以,1≤n-Δ≤2。

又m=n,根據(jù)引理1,

于是有

仍以上述單圈圖為例。利用定理5計(jì)算,得

ABC(U5)<5.102。顯然,3.85<5.102,說(shuō)明定理5成立。