非高斯噪聲激勵下非線性漂移Fokker-Planck 方程的非穩(wěn)態(tài)解及其應(yīng)用

姚 婷, 郭永峰, 樊順厚, 魏 芳

(天津工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

1 引言

人們通常會把噪聲看作是系統(tǒng)和日常生活中的干擾因子和消極因素，因為噪聲的存在可能會影響系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)、干擾信息的采集和對系統(tǒng)的觀察.但是隨著近年來對隨機(jī)力研究的不斷深入和成熟，使得人們對噪聲產(chǎn)生了顛覆性的認(rèn)識；在一定的非線性條件下，噪聲不僅不會對系統(tǒng)產(chǎn)生消極影響，還會產(chǎn)生積極影響，甚至對非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為還能起到本質(zhì)的改變[1-4].噪聲根據(jù)統(tǒng)計性質(zhì)可分為高斯噪聲和非高斯噪聲，對于高斯噪聲的研究已經(jīng)形成了一套比較完整的研究方法和理論體系[1-4].然而對于非高斯噪聲的研究卻沒有高斯噪聲那樣成熟，由于非高斯噪聲不再是馬爾科夫過程，因此當(dāng)非線性系統(tǒng)中含有非高斯噪聲時，其理論計算不易處理，但非高斯噪聲也不能被忽略，有時它對系統(tǒng)本身有著不可替代的作用.

文獻(xiàn)[5-14]對非高斯噪聲激勵的一系列非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究.例如，許勇等[9,10]研究了非高斯噪聲驅(qū)動下一維雙穩(wěn)系統(tǒng)的邏輯操作問題.康艷梅等[11]探討了一類由非高斯噪聲激勵的轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的平均首次穿越時間和隨機(jī)共振相關(guān)問題.張靜靜和靳艷飛[12]利用路徑積分法和兩態(tài)模型理論，研究了非高斯噪聲激勵下FitzHugh-Nagumo 神經(jīng)元系統(tǒng)的隨機(jī)共振等動力學(xué)行為.文獻(xiàn)[13]研究了非高斯噪聲驅(qū)動下分段非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間，并討論了非高斯噪聲和高斯噪聲對平均首次穿越時間的影響.與此同時，現(xiàn)有大部分的文獻(xiàn)都是基于非線性隨機(jī)系統(tǒng)Fokker-Planck(FPK)方程的定態(tài)解進(jìn)行研究[8-14]，其主要原因是定態(tài)解便于計算且能反映系統(tǒng)的長時間行為，然而事實上，隨機(jī)系統(tǒng)還有許多性質(zhì)是由非定態(tài)解的演化過程所決定的，因此研究隨機(jī)系統(tǒng)FPK 方程的非定態(tài)解是極為必要的.其中，文獻(xiàn)[3,4,14-17]討論了弱噪聲極限下非線性非勢系統(tǒng)的FPK 方程的非定態(tài)解的計算問題.但上述研究主要針對的是高斯噪聲，對于非高斯噪聲和高斯噪聲共同作用下一般非線性隨機(jī)系統(tǒng)FPK 方程的非定態(tài)解的推導(dǎo)還尚未見到.

本文主要研究非高斯噪聲和高斯白噪聲共同驅(qū)動下的非線性漂移FPK 方程的非穩(wěn)態(tài)解問題，我們應(yīng)用路徑分析法和空間擴(kuò)維法對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行等效變換，同時為了研究系統(tǒng)在不穩(wěn)定點(diǎn)附近的演化行為，進(jìn)一步應(yīng)用格林函數(shù)的? 展開理論在初始時區(qū)域進(jìn)行線性近似，將二維非線性非細(xì)致平衡系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二維奧恩斯坦-烏倫貝克過程來討論，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用本征值本征矢理論近似得到了一般朗之萬方程所對應(yīng)的近似非穩(wěn)態(tài)解，最后將此研究結(jié)果應(yīng)用到描述產(chǎn)品產(chǎn)量增長的Logistic 系統(tǒng)模型中.

2 非高斯噪聲驅(qū)動的一般非線性動力學(xué)系統(tǒng)FPK 方程的非穩(wěn)態(tài)解

考慮受非高斯噪聲和高斯白噪聲共同驅(qū)動的一維非線性動力學(xué)系統(tǒng)，其一般形式的隨機(jī)微分方程可以表示為[3,4,14,15]

其中f(x)為x 的非線性函數(shù)，g(x)和h(x)為x 的函數(shù)，η(t)為非高斯噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)如下[5-13]

這里

參數(shù)q 表示非高斯噪聲η(t)偏離高斯分布的程度，顯然q ?= 1(若q = 1，則η(t)不再是非高斯噪聲，變?yōu)榱俗韵嚓P(guān)時間為τ，噪聲強(qiáng)度為D 的高斯色噪聲)，ζ(t)和ξ(t)分別為不相關(guān)的高斯白噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)為

D 和Q 分別為ζ(t)和ξ(t)的噪聲強(qiáng)度.

引理1當(dāng)|q ?1|＜＜1 時，對(2)式應(yīng)用路徑積分法可得[5-13]

且將(6)式代入(2)式后，非高斯噪聲η(t)可以表示為

其中ζ1(t)為高斯白噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)為

這里

引理1可將非高斯噪聲η(t)近似轉(zhuǎn)化為有效自相關(guān)時間為τ1，有效噪聲強(qiáng)度為D1的高斯色噪聲.由于η(t)中的有限關(guān)聯(lián)時間τ1形成了對歷史的記憶，所以這一過程不再為馬爾科夫型.為便于研究，在引理1 的基礎(chǔ)上，通過增加空間維數(shù)將系統(tǒng)(1)等效地改寫為

接著對于上述系統(tǒng)(10)，用變量z 代換x，可以把乘性白噪聲ξ(t)轉(zhuǎn)化為加性白噪聲的形式

其中

則系統(tǒng)(11)的二維FPK 方程為

利用初始變量可將上式進(jìn)一步標(biāo)記為

此時，方程(13)所對應(yīng)的確定性方程為

假設(shè)方程(14)具有一個不穩(wěn)定點(diǎn)(xu,0)和一個穩(wěn)定點(diǎn)(xs,0)，由于上述系統(tǒng)不滿足細(xì)致平衡條件[φ(x)+ψ(x)y] =(?y)，為了能夠研究該系統(tǒng)在不穩(wěn)定區(qū)域附近的演化行為，根據(jù)文獻(xiàn)[3,4,14-17]應(yīng)用格林函數(shù)的? 展開理論在初始時區(qū)域?qū)⒃摱S非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)來討論.

引理2[3,4,14-17]對確定性系統(tǒng)(14)在不穩(wěn)定點(diǎn)(xu,0)處進(jìn)行線性化，并忽略掉高階項可以得到

其中k1= φ′(xu) ＞0, k2= ψ(xu), k3= ?xuφ′(xu)，且線性化后(15)式所對應(yīng)的二維FPK 方程為

顯然(16)式是具有線性漂移力和常系數(shù)擴(kuò)散項的二維奧恩斯坦-烏倫貝克過程.此時線性化系統(tǒng)(16)的初始分布函數(shù)為

對(16)式作傅里葉變換可以得到[3,4,14-17]

把(18)式帶入到方程(16)，可以推得

定理1在方程(19)中，若(r1,r2,t)滿足初始條件

則方程(19)的解是存在的，且根據(jù)(18)式亦可得到系統(tǒng)FPK 方程的非穩(wěn)態(tài)解.

證明 我們假設(shè)方程(19)的解具有下面的高斯形式[3,4,14-17]

為了滿足(20)式所給定的初始條件，顯然有

把(21)式代入到(19)式，并比較等式兩邊r1, r2的次數(shù)，可得到下面的微分方程組

為了能求出方程組(23)和方程組(24)的解，把方程組(23)改寫為

這里Λ1為線性算子，其本征值為

通過進(jìn)一步求解可得到本征值λ1, λ2對應(yīng)的本征矢為

將算子Λ1改寫為雙正交基的形式

根據(jù)已有初始條件

方程(23)的解可直接寫為

通過計算求得方程(24)式的解為

將(30),(31)式代入(21)式，即可得到方程(19)的解.接著將方程(19)的解帶入(18)式，便可以得到系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)解p(x,y,t)為

將上式關(guān)于變量y 積分，可得到宏觀變量x 的歸一化含時解

其中N 為歸一化常數(shù).

3 非高斯噪聲驅(qū)動的Logistic 系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)分析及其應(yīng)用

接下來，可將上述結(jié)論應(yīng)用到Logistic 系統(tǒng)模型[18-20]，該模型不僅可以用來描述單一種群的繁殖問題，也可以用來分析產(chǎn)品的產(chǎn)量增長變化現(xiàn)象，這里我們以產(chǎn)品產(chǎn)量增長率滿足的Logistic 模型為基礎(chǔ)，并且考慮到產(chǎn)品自身的使用壽命和系統(tǒng)內(nèi)部存在的隨機(jī)因素(如產(chǎn)品改良升級等)及外部環(huán)境擾動因素(如市場競爭行為等)的影響，其系統(tǒng)模型可以表示為[15,18-20]

上述(34)式所對應(yīng)的二維確定性方程為

該方程存在一個穩(wěn)定點(diǎn)(S ?γ/c,0)與一個不穩(wěn)定點(diǎn)(0,0).

根據(jù)第2 部分的引理和定理可得到(34)式對應(yīng)的二維FPK 方程為

其本征值為

此時可進(jìn)一步得到方程(34)式的非穩(wěn)態(tài)解

其中N 為歸一化常數(shù).

通過(38)式，可將變量x 的n 階矩表示為

特別地，變量x 的一階矩為

接下來，我們根據(jù)方程(38)進(jìn)行數(shù)值計算，這里給出不同非高斯噪聲參數(shù)對p(x,t)影響的圖像，具體如圖1 至圖5 所示.

圖1 給出了非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為產(chǎn)量x 和時間t 的函數(shù)的三維圖像.從圖中可以明顯看出，p(x,t)隨著產(chǎn)量x 的增大單調(diào)遞減最終趨于0，且當(dāng)x 固定在較小值時，p(x,t)隨著t 的增大而單調(diào)遞減；當(dāng)x 固定在較大值時，p(x,t)隨著時間t 的增加先急劇增大出現(xiàn)峰值然后單調(diào)遞減，之后隨著t 的進(jìn)一步增大，曲線變得越來越平緩，最終趨于穩(wěn)定.當(dāng)t 固定在較小值時，p(x,t)的峰值隨著x 的增大在下降；當(dāng)t 固定在較大值時，p(x,t)隨著x 的增大在緩慢減小.上述變化正好驗證了當(dāng)新產(chǎn)品的產(chǎn)量x 較低時，社會對這種新產(chǎn)品的需求概率呈現(xiàn)出增加的趨勢，這導(dǎo)致銷售的數(shù)量會不斷增大.但隨著時間的流失，產(chǎn)量會繼續(xù)增加，需求量會逐漸下降，直至達(dá)到飽和狀態(tài)，生產(chǎn)也必然會停止.

圖1: 非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為產(chǎn)量x 和時間t 的函數(shù)(λ1 =1, Q=0.5, D =0.5, τ =0.5, q =1.05)

圖2 和圖3 分別給出了p(x,t)隨x 和非高斯噪聲強(qiáng)度D 及非高斯噪聲關(guān)聯(lián)時間τ 變化的圖像，圖4 和圖5 分別給出了p(x,t)隨x 和q 以及p(x,t)隨t 和q 變化的圖像.由圖2 可知，當(dāng)x 固定在較小值時，隨著非高斯噪聲強(qiáng)度D 的增大，p(x,t)單調(diào)遞減，最終曲線趨于平緩；由圖3 可見，隨著非高斯噪聲關(guān)聯(lián)時間τ 的增大，p(x,t)單調(diào)遞增；由圖4 可見，當(dāng)q 為定值時，p(x,t)隨著x 的增大單調(diào)減小，最終趨于零；當(dāng)x 為定值時，隨著q 的增大，p(x,t)的值無明顯變化.由圖5 可見，當(dāng)q 為定值時，在t 很小時，p(x,t)隨t 的增大而急劇增大，出現(xiàn)峰值后，隨t 的增大又單調(diào)遞減，最終趨于零；當(dāng)t 為定值時，隨著q 的增大，p(x,t)的值無明顯變化.圖2 至圖5 表明減小非高斯噪聲強(qiáng)度D，并增大非高斯噪聲關(guān)聯(lián)時間τ 有助于商家盈利.

圖2: 非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為產(chǎn)量x 和非高斯 噪聲強(qiáng)度D 的函數(shù)(λ1 =1, Q=0.5, τ =0.5, t=0.1, q =1.05)

圖3: 非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為產(chǎn)量x 和自相關(guān)時間τ 的函數(shù)(λ1 =1, Q=0.5,D =0.1, t=0.1, q =1.05)

圖4: 非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為產(chǎn)量x 和非高 斯參數(shù)q 的函數(shù)(λ1 =1, Q=0.5, D =0.1, τ =0.5, t=0.1)

圖5: 非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)作為時間t 和非高斯參數(shù)q 的函數(shù)(λ1 =1, Q=0.5,D =0.1, τ =0.5, x=0.5)

下面根據(jù)(38)式和(40)式，進(jìn)一步給出均值〈x〉分別作為非高斯噪聲關(guān)聯(lián)時間τ 的函數(shù)和非高斯噪聲強(qiáng)度D 的函數(shù)隨著不同非高斯偏離參數(shù)q 變化的曲線，具體結(jié)果如圖6 和圖7 所示.

圖6: 〈x〉作為自相關(guān)時間τ 的函數(shù)隨不同 非高斯參數(shù)q 變化的曲線(λ1 =1, Q=0.5, D =0.5, t=0.01)

圖7: 〈x〉作為非高斯噪聲強(qiáng)度D 的函數(shù)隨不同非高斯參數(shù)q 變化的曲線(λ1 =1,Q=0.5, τ =0.5, t=0.01)

從圖6 中可以看出，當(dāng)q 取定值時，〈x〉隨著τ 的增大而單調(diào)遞增，并且三條曲線的距離有變得越來越遠(yuǎn)的趨勢.當(dāng)τ 取定值時，〈x〉隨著q 的增大而單調(diào)遞減；從圖7 中可以看出，當(dāng)q 取定值時，〈x〉隨D 的增大而單調(diào)遞減，當(dāng)D 取定值時，〈x〉隨q 的增大也單調(diào)遞減.綜合以上分析可以得出：減小代表外部刺激的非高斯噪聲強(qiáng)度D，增大非高斯噪聲相關(guān)時間τ，同時減小非高斯噪聲偏離參數(shù)q，將有助于商家盈利.

4 結(jié)論

本文主要研究了受非高斯噪聲和高斯白噪聲共同驅(qū)動的非線性動力學(xué)系統(tǒng)在不穩(wěn)定區(qū)域的演化問題.首先應(yīng)用格林函數(shù)的? 展開理論在初始時區(qū)域?qū)Ψ蔷€性動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，然后利用本征值和本征矢理論得到了非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)的近似表達(dá)式，并以Logistic 系統(tǒng)模型為例分析了非高斯噪聲的關(guān)聯(lián)時間τ，噪聲強(qiáng)度D 及非高斯噪聲參數(shù)q 對p(x,t)以及一階矩的影響.通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x 較大時，p(x,t)隨著t 的增加出現(xiàn)單峰現(xiàn)象，且在一定范圍內(nèi)p(x,t)隨著D 的增加單調(diào)遞減，隨著τ 的增加單調(diào)遞增；此外，一階矩隨D 和q 的增加單調(diào)遞減，隨τ 的增加單調(diào)遞增.上述研究結(jié)果表明在用Logistic 模型描述產(chǎn)品產(chǎn)量增長時，非穩(wěn)態(tài)解p(x,t)可更好的反映產(chǎn)品產(chǎn)量在不穩(wěn)定點(diǎn)附近的演化行為，對非穩(wěn)態(tài)解的研究有助于商家制定更加合理的銷售策略.