射影幾何中對合問題的研究

晉 珺

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西晉中030619）

1 維射影變換

1.1 定義

定義1.1兩個重疊的一維基本形的射影對應(yīng)叫做一維射影變換.［1］4

1.2 代數(shù)表示

定理1.1兩個點列間射應(yīng)變換的代數(shù)表達(dá)式為非奇線性對應(yīng)，

1.3 對應(yīng)點參數(shù)滿足的方程

定理1.2兩個重疊的一維基本形A+λB，A+λ′B間的射影變換對應(yīng)點參數(shù)滿足的條件為

1.4 決定的條件

定理1.3已知三對對應(yīng)元素則可以唯一決定一個射影變換.（因為三對對應(yīng)元素就可以確定a：b：c：d，決定了這個變換）

1.5 二重元素（自對應(yīng)元素）

兩個不同實的自對應(yīng)元素，稱為雙曲型的射影變換.

兩個相同實的自對應(yīng)元素，稱為拋物型的射影變換.

一對共軛虛的自對應(yīng)元素，稱為橢圓型的射影變換.

2 對合

2.1 定義

定義2.1在一維射影變換中，如果對于任何元素，無論看作第一基本形還是第二基本形，它的對應(yīng)元素是一樣的，那么這種非恒等的射影變換叫做對合.［2］11

2.2 代數(shù)表示

定理2.1對合的代數(shù)表達(dá)式為

證明：射影變換為對合兩式相減得且a11=-a22.

2.3 對應(yīng)點參數(shù)滿足的方程

定理2.2兩個重疊的一維基本形A+λB，A+λ′B成為對合的充要條件是對應(yīng)點的參數(shù)λ與λ′滿足以下方程：

由于P和Q是不同點，所以p≠q.

因此，對合的對應(yīng)點參數(shù)滿足

所以P→Q，Q→P，此時射影變換為對合.

2.4 決定的條件

定理2.3已知兩對對應(yīng)元素則可以唯一決定一個對合.

證明：由于對合對應(yīng)點參數(shù)滿足方程：

可以求得a：b：d確定對合方程.

2.5 二重元素（自對應(yīng)元素）

兩個不同實的自對應(yīng)元素，稱為雙曲型的對合.

一對共軛虛的自對應(yīng)元素，稱為橢圓型的對合.

注：在對合方程

由于△=4b2-4ab≠0，所以△＞0時，兩個不同實的自對應(yīng)元素稱為雙曲型的對合；△＜0時，一對共軛虛的自對應(yīng)元素稱為橢圓型的對合.△≠0，無拋物型的對合.

2.6 雙曲型對合的一個性質(zhì)

定理2.4雙曲型對合的任何一對對應(yīng)元素p-p′，與其兩個二重元素E，F(xiàn)調(diào)和共軛，即

3 對合相關(guān)題型求解

例 1求對合的自對應(yīng)點坐標(biāo) .［3］

解：1）首先排除自對應(yīng)點為無窮遠(yuǎn)點，因為（1，0）→（1，0）時，必有a21=0，此題a21=4≠ 0.

2）將對合表達(dá)式化為非齊次坐標(biāo)形式

化為齊次形式，自對應(yīng)點為（1，1）（-1，2）.

例2已知對合的兩對對應(yīng)元素參數(shù)為3→2，5→1，試求此對合方程，并求二重元素.

解：將3→ 2，5→ 1代入

所以此對合方程為