探析核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)高考
——以2019年全國理科Ⅰ卷為例

郭延鵬

(河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，475004)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》以學(xué)生發(fā)展為本,為了落實立德樹人的任務(wù),提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文以2019年全國理科數(shù)學(xué)I卷為例,分析新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查情況，供大家參考．

一、試題分析

1.對數(shù)學(xué)抽象的考查

數(shù)學(xué)抽象的實質(zhì)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造.教好數(shù)學(xué)抽象、學(xué)好數(shù)學(xué)抽象并不是一件容易的事情, 唯有在實踐中上下求索、不斷優(yōu)化和改進[1]．試題中有多題考查了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),如第4、6、13、15、17、22題.現(xiàn)以第4題為例：

(A)165 cm (B)175 cm

(C)185 cm (D)190 cm

該題以學(xué)生耳熟能詳?shù)摹皵啾劬S納斯”石像為情境,注重考查學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力,具體考查的知識點并不難．通過高中課程的學(xué)習(xí),學(xué)生積累了一定的活動經(jīng)驗,抽象思維水平得到提高,逐步學(xué)會了用數(shù)學(xué)知識解決日常生活中存在的問題．試卷中通過具體的題目考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),體現(xiàn)了素質(zhì)教育引領(lǐng)下的立德樹人的根本任務(wù)．

2.對邏輯推理的考查

試題中有多題考查了邏輯推理核心素養(yǎng),如第1、18、19、20、21、23題,現(xiàn)以第1題為例：

已知集合M={x|-4

(A){x|-4

(B){x|-4

(C){x|-2

(D){x|2

該題以集合知識為載體,考查集合交集和一元二次不等式的學(xué)科知識,學(xué)生要針對該題進行邏輯推理,利用數(shù)形結(jié)合的思想正確解出不等式,進而通過集合的運算得出最終結(jié)果．這個題目還對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算提出了一定的要求．通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式,學(xué)會有邏輯地思考問題,能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),把握事物發(fā)展的脈絡(luò),形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,增強交流能力[2]．

3.對數(shù)學(xué)建模的考查

新課標(biāo)整合了課程內(nèi)容,使內(nèi)容更加情景化．隨著社會的發(fā)展,數(shù)學(xué)極大地拓展了其應(yīng)用領(lǐng)域,新課標(biāo)中多次提到數(shù)學(xué)和實際生活息息相關(guān),所以數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)對于學(xué)生非常重要.現(xiàn)以試題中的第21題為例：

為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗．試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列.

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=p(X=-1),b=p(X=0),c=p(X=1),假設(shè)α=0.5,β=0.8．

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

這是一道以生物實驗為載體的應(yīng)用題,綜合考查了概率統(tǒng)計、排列組合、數(shù)列等學(xué)科知識,同時考查復(fù)雜式子化簡、綜合計算等基本技能,并對學(xué)生分析問題的能力提出了較高的要求．

第(1)問要求學(xué)生能根據(jù)題干中給出的條件抽象出數(shù)學(xué)模型,分析得到X的取值只有-1，0,1三種,然后列出X的分布列.第(1)問重在基礎(chǔ)知識的掌握,主要是考查學(xué)生分析問題解決問題和建立數(shù)學(xué)模型的能力．

4.對直觀想象的考查

直觀想象并不等同于數(shù)形結(jié)合,其重在用空間形式分析問題,并建立起它們之間的聯(lián)系從而解決問題,直觀想象是抽象思維形成的基礎(chǔ)．在2019年全國I卷中,著重考查了直觀想象核心素養(yǎng),如第3、5、7、10、11、12、13、16、17、18、19題,現(xiàn)以第11題為例:

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin |x|+|sinx|有下述四個結(jié)論:

①f(x)是偶函數(shù)

③f(x)在[-π,π]有4個零點

④f(x)的最大值為2

其中正確的結(jié)論的編號是( )

(A) ①②④ (B) ②④

(C) ①④ (D) ①③

該題以正弦函數(shù)為載體,綜合了三角函數(shù)和絕對值的相關(guān)知識,考查了學(xué)生對分段函數(shù)圖象的掌握程度．解題過程中首先通過分析題意去掉絕對值,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后進行直觀想象作出該函數(shù)的草圖,最后確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與特征．通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識,形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)[2]．

5.對數(shù)學(xué)運算的考查

數(shù)學(xué)運算在解決數(shù)學(xué)問題時不可避免,計算能力體現(xiàn)了一個學(xué)生最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng),是解決數(shù)學(xué)問題并得到最終正確結(jié)果的保障．試卷中有大量涉及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的題目,如第1、2、4、6、9、10、12、13、14、16、17、18、19、20、21題,現(xiàn)以第14題為例:

6.對數(shù)據(jù)分析的考查

大數(shù)據(jù)時代已經(jīng)到來,用“數(shù)據(jù)爆炸”一詞來形容如今的互聯(lián)網(wǎng)也不為過.為了適應(yīng)時代的快速發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)就顯得尤為重要.試卷對數(shù)據(jù)分析也有考查,現(xiàn)以第8題為例:

該題以程序框圖為載體,考查學(xué)生對程序框圖各部分結(jié)構(gòu)的理解,在解題過程中要求學(xué)生準(zhǔn)確地分析所給的數(shù)據(jù),每循環(huán)一次流程圖,就得到一組數(shù)據(jù),一直循環(huán)下去，直到得到所需數(shù)據(jù),在對數(shù)據(jù)進行分析的時候要足夠嚴(yán)謹(jǐn)不允許有絲毫的差錯,數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點要求學(xué)生必須養(yǎng)成認(rèn)真求實的科學(xué)精神．

二、數(shù)據(jù)分析

為了方便比較分析,現(xiàn)將2019全國I卷各核心素養(yǎng)的考查情況匯總于下表:

考查素養(yǎng)的類型數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析 題號4,6,13,15,17,221,18,19,20,21,23213,5,7,10,11,12,13,16,17,18,191,2,4,6,9,10,12,13,14,16,17,18,19,20,218 題目數(shù)量66111151

由上表可以發(fā)現(xiàn):

(1)試卷對于直觀想象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于對其他核心素養(yǎng)的考查．

(2)試卷考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力,在注重基礎(chǔ)知識的考查中又側(cè)重于試卷整體的創(chuàng)新.近些年來，首次將概率統(tǒng)計和數(shù)列綜合到一個題目中,并且將其作為最后一道壓軸大題,這也恰恰符合新課標(biāo)的素養(yǎng)導(dǎo)向.整張試題強化了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查,這說明高考已經(jīng)由“唯知識論”開始轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)導(dǎo)向”．

(3)試卷增加了綜合型的題目,一道題目往往涉及多個核心素養(yǎng)的考查.語言描述類型的試題有所增加,例如第4、6、21題.題干采用較長的篇幅,將現(xiàn)實情境和數(shù)學(xué)知識融合在一起,以評價學(xué)生的綜合素養(yǎng)．