“雙軌模型”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

郭紅清

(江蘇省黃埭中學(xué)，215143)

數(shù)學(xué)建模、模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要組成部分.每一個(gè)典型問(wèn)題的解決，其實(shí)都是典型的解題實(shí)踐,蘊(yùn)含著深刻的模型思想.知識(shí)無(wú)涯,題海無(wú)邊,不可能逐一解決每一道數(shù)學(xué)題,因此，具有普遍意義的方法論和數(shù)學(xué)觀就顯得非常必要.本文以解析幾何中的存在性問(wèn)題為例，探究復(fù)習(xí)課“雙軌模型”的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、創(chuàng)設(shè)情境,模型建構(gòu)

活動(dòng)1已知?ABC的三條邊長(zhǎng)a,b,c,作出三角形圖形.

分析畫(huà)出線段a即BC以后,我們就已經(jīng)確定了所求三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B,C,意味著再確定一個(gè)頂點(diǎn)A就行了.

條件包含兩部分AB=c和AC=b,條件的每一部分單獨(dú)使用不能完全確定點(diǎn)A,只能確定它在一個(gè)“軌跡”上.綜合起來(lái),點(diǎn)A應(yīng)該是兩個(gè)“軌跡”的交點(diǎn).尺規(guī)作圖大體上都是這樣的過(guò)程.

受以上作圖過(guò)程的啟發(fā),我們抽離出一個(gè)解題模型——“雙軌模型”,加以推廣,能解決很多的數(shù)學(xué)存在性或有解的問(wèn)題,尤以解析幾何問(wèn)題最為典型.模型敘述如下:

首先,把問(wèn)題歸結(jié)要確定一個(gè)點(diǎn)；然后,把條件分成兩部分,使得對(duì)每一部分,未知點(diǎn)都形成一個(gè)軌跡.未知點(diǎn)的存在就意味著兩部分對(duì)應(yīng)軌跡的公共點(diǎn),也即轉(zhuǎn)化為圖形的位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖尺規(guī)作圖是平面幾何教學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容,形象生動(dòng)的背景切入,貼近學(xué)生認(rèn)知,簡(jiǎn)單易懂卻又深刻.作圖方法在理論上的重要價(jià)值特別能啟發(fā)解題思路,使得學(xué)生建構(gòu)和接受“雙軌模型”非常自然,為后續(xù)遷移和應(yīng)用做好鋪墊.

二、類(lèi)比推理,模型遷移

活動(dòng)2(1)直線y=kx+1與圓(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知點(diǎn)A(2,0),在直線l:y=kx+1上存在一點(diǎn)P,使得PA=1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析容易發(fā)現(xiàn),兩題實(shí)質(zhì)上互通,存在點(diǎn)P即直線和圓有公共點(diǎn),而位置關(guān)系又是直線和圓的根本問(wèn)題,以下借助模型加以說(shuō)明.

關(guān)于點(diǎn)P的條件分成兩部分：一是在直線l上;二是滿足PA=1.

只看條件的一部分,將另一部分放在一邊,點(diǎn)P既不能完全確定又不能完全自由,那么點(diǎn)P被限制在一個(gè)“軌跡”上.條件(2)隱藏著一個(gè)以A(2,0)為圓心,半徑為1的圓A.點(diǎn)P的存在轉(zhuǎn)化為直線和圓A兩個(gè)軌跡必須有公共點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)兩個(gè)本質(zhì)相同的實(shí)例對(duì)比,從形式上的不同認(rèn)識(shí)到實(shí)質(zhì)上的一致,體會(huì)存在性問(wèn)題的描述方式,緊扣教材中直線和圓的位置關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生從邏輯關(guān)系上打通兩者的聯(lián)系.(2)中隱藏了一個(gè)圓,為增加難度,可以考慮將條件“PA=1”修改為“OP=2AP”.修改后難度更高,條件“OP=2AP”需要采用坐標(biāo)法得到代數(shù)方程,進(jìn)而通過(guò)方程認(rèn)識(shí)到本題中隱藏的軌跡,這也是考試熱點(diǎn)“阿波羅尼斯圓”.

三、鞏固深化,模型應(yīng)用

活動(dòng)3(1)已知點(diǎn)P是圓O:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),若直線y=kx+1上總存在點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q恰是線段AP的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析(1)關(guān)于點(diǎn)Q的條件分成兩部分：① 在直線y=kx+1上;② 滿足點(diǎn)Q恰是線段AP的中點(diǎn).為了認(rèn)識(shí)條件②,利用解析法,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用幾何關(guān)系中點(diǎn)得出點(diǎn)P,代入已知圓O.第(2)題同理設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，表示有向距離之和為0并化簡(jiǎn)，即可分析出隱藏的軌跡.

解題過(guò)程(1)設(shè)Q(x0,y0),點(diǎn)Q恰是線段AP的中點(diǎn),則P(2x0-4,2y0).

故存在點(diǎn)Q等價(jià)于直線y=kx+1與圓(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn).

(2)設(shè)C(x0,y0),直線m:y=k(x-3).

化簡(jiǎn)得y0=k(x0-9).

故存在點(diǎn)C等價(jià)于直線y=k(x-9)與圓x2+(y-18)2=81有公共點(diǎn)，

設(shè)計(jì)意圖從兩個(gè)具體的實(shí)例入手,抓住雙軌模型分析存在性問(wèn)題的重難點(diǎn),也即找到題目中隱藏的“軌跡”,兩個(gè)問(wèn)題各自隱藏了“圓”和“直線”,具有代表性.問(wèn)題(1)實(shí)質(zhì)上是活動(dòng)2中的問(wèn)題,改變了面貌.問(wèn)題(2)提供了新概念,要求很高.問(wèn)題的實(shí)質(zhì)也就是兩個(gè)軌跡有公共點(diǎn)即直線和圓的位置關(guān)系.

四、鏈接高考,模型追擊

活動(dòng)4(2016年江蘇高考題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).

(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA，求直線l的方程;

(1)，(2)解題過(guò)程略.

解題過(guò)程(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

將(x2,y2)代入已知圓M的方程，得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.點(diǎn)P滿足

故圓M上存在點(diǎn)P,Q等價(jià)于圓M:(x-

設(shè)計(jì)意圖本題利用幾何法解釋略有不足,作為解析幾何的核心思想,應(yīng)培養(yǎng)或引導(dǎo)學(xué)生多從代數(shù)角度思考,即利用坐標(biāo)法.代數(shù)法推理嚴(yán)謹(jǐn),常常能彌補(bǔ)觀察的局限性,回避復(fù)雜的幾何特征.坐標(biāo)法可以挖掘題目所蘊(yùn)含的軌跡方程或代數(shù)關(guān)系,通過(guò)軌跡方程揭示隱藏的圖形或軌跡,回到本質(zhì)的位置關(guān)系.

“軌跡”實(shí)際上就是點(diǎn)的集合,加以推廣,“兩條軌跡存在交點(diǎn)”與“兩集合交集非空”實(shí)質(zhì)上也是相同的.對(duì)于集合A∩B≠?,借用教材中“含有一個(gè)量詞的存在性命題”,我們給出數(shù)學(xué)形式:?x∈A，使得x∈B.由此來(lái)看,存在性問(wèn)題利用雙軌模型來(lái)解釋實(shí)在合理不過(guò).

舉一舉生活中的情境,兩個(gè)人的朋友各自構(gòu)成了朋友圈,所謂存在共同的朋友即意味著兩個(gè)朋友圈有重疊,從數(shù)學(xué)上看即兩個(gè)集合有交集.數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)自于生活的高度抽象,而數(shù)學(xué)方法仍然是實(shí)際的抽象.知識(shí)和方法都是模型建構(gòu)的范圍,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中著重強(qiáng)調(diào)建模能力,用數(shù)學(xué)的眼光看世界.“雙軌模型”的學(xué)習(xí),在課堂上或課后引導(dǎo)學(xué)生從集合,從生活等角度觀察,學(xué)生思維一定會(huì)愈加開(kāi)闊.