一類具有年齡結(jié)構(gòu)的捕食-食餌反應(yīng)擴散恒化器模型

張 帥,王治國

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119)

1 引言與研究模型

近年來, 非均勻恒化器模型的研究受到越來越多的關(guān)注。與競爭型非均勻恒化器模型相比, 捕食型非均勻恒化器模型的研究難度大,相關(guān)的研究工作目前仍較少。 文獻(xiàn)[1-3]研究物種競爭同一資源的恒化器模型, 得到了物種的共存、滅絕等模型。 Nie等[4]討論了一個競爭者產(chǎn)生毒素抑制另一競爭者的競爭型恒化器模型, 應(yīng)用度理論和一直持續(xù)性理論得到模型解的共存和雙穩(wěn)狀態(tài)的可能性, 并通過數(shù)值模擬的方法驗證了理論結(jié)果。 類似的一系列研究極大地促進(jìn)了競爭型恒化器模型的發(fā)展。Leung 等[5-6]研究了帶有擴散的捕食-食餌模型, 討論了解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[7]研究了交叉擴散-捕食食餌模型, 得出了非負(fù)平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。 這些研究促進(jìn)了捕食-食餌反應(yīng)擴散模型的快速發(fā)展, 但是捕食-食餌反應(yīng)擴散模型的研究并不完善, 需要進(jìn)一步的研究、發(fā)展并完善捕食-食餌反應(yīng)擴散模型。

本文研究一類帶有年齡結(jié)構(gòu)的捕食-食餌反應(yīng)擴散恒化器模型的動力學(xué)行為。 本文的模型來源于2000年Fussmann 等[8]提出的帶有年齡結(jié)構(gòu)的捕食食餌模型

(1)

式中:N、C、R、B分別為t時刻營養(yǎng)物濃度、小球藻濃度、可育輪蟲濃度以及輪蟲濃度；N0、δ、τ、m、α均為正常數(shù)；δ代表輸出率；τ代表輪蟲對藻類的吸收率；m代表輪蟲的死亡率；α代表可育輪蟲的衰老率。 反應(yīng)函數(shù)f1(N)=b1N/(k1+N),f2(C)=b2C/(k2+C)，其中,b1、b2分別是藻類、輪蟲的最大生長速率,k1、k2分別表示相應(yīng)的半飽和常數(shù)。 Fussmann等通過實驗和數(shù)值模擬最終得出捕食者和食餌可能出現(xiàn)循環(huán)、平衡、捕食者滅亡或捕食者食餌都滅亡的情況, 但缺乏理論證明驗證其結(jié)果。 洪等[9]簡化了Fussmann的模型, 并研究了模型的漸近穩(wěn)定性。本文考慮的物種生存與空間有關(guān), 結(jié)合Leung等[5]的想法, 在Fussmann模型的基礎(chǔ)上引入擴散, 研究具有擴散的捕食-食餌模型

(2)

邊界條件為

(3)

初始值條件為

(4)

式中:d>0為擴散系數(shù)；γ>0為常數(shù)；N0(x)、C0(x)、R0(x)、B0(x)是關(guān)于x∈ [0,1] 上的連續(xù)函數(shù)。結(jié)合生物實際,假設(shè)

B0(x)≥R0(x),x∈ [0,1]

(H)

系統(tǒng)(2),(3)對應(yīng)的平衡態(tài)方程為

(5)

邊界條件為

(6)

由于物種及營養(yǎng)物濃度具有非負(fù)性,故只考慮系統(tǒng)(2)～(4)與系統(tǒng)(5)、(6)的非負(fù)解。 年齡結(jié)構(gòu)的引入導(dǎo)致守恒定律在系統(tǒng)(2)～(4)中失效,對研究系統(tǒng)(2)～(4)解的性質(zhì)造成了一定的困難。本文通過應(yīng)用一致持續(xù)性理論, 得到拋物系統(tǒng)(2)～(4)至少存在一個正穩(wěn)態(tài)解；利用局部和全局分歧理論, 分析了系統(tǒng)解與死亡率的依賴關(guān)系。

2 解的全局存在性

首先給出系統(tǒng)(2)～(4)解的L∞估計, 從而建立模型解的全局存在性。 假設(shè)R0(x)≡0,B0(x)≡0, 則 (R,B)≡(0,0), 于是系統(tǒng)(2)～(4)退化為

(7)

引理1系統(tǒng)(7)的解 (N(x,t),C(x,t)) 是非負(fù)的, 有界的, 并且?α>0, 當(dāng)t充分大時有

‖N(x,t)+C(x,t)-z(x)‖∞=

O(exp(-αt))

(8)

證明參見文獻(xiàn)[10]中引理2.1和文獻(xiàn)[11]的引理 3.4.1,類似可證。

引入空間

設(shè)μ是特征值問題

(9)

的主特征值。利用文獻(xiàn)[12]中引理 2.1以及引理2.2,可得如下結(jié)果。

定理1設(shè)((N(x,t),C(x,t))∈X1是系統(tǒng)(7)的解,那么以下結(jié)論成立:

ⅱ) 如果μ≤0,那么

引理2假設(shè)(H)成立,則對任意給定的δ0>0, 當(dāng)d≥δ0時, 系統(tǒng)(2)～(4)有唯一的解(N,C,R,B), 且存在只依賴于初值(N0(x),C0(x),R0(x),B0(x))的正常數(shù)ρi,i=0,1,2,3,使得

證明系統(tǒng)(2)～(4)解的局部存在以及唯一性文獻(xiàn)[13]中已證, 故只需證(2)～(4)解的有界性和全局存在性。 為此,令Z(x,t)滿足方程

由拋物方程的最大值原理可得0

由強最大值原理[14]可得χ>0,x∈ [0,1],t>0,所以B≥R。注意到

考慮方程式

(10)

3 平衡解的穩(wěn)定性

顯然系統(tǒng)(2)的非負(fù)穩(wěn)態(tài)解只有3種情況:

ⅰ) 半平凡解E0(z(x),0,0,0);

ⅱ) 半平凡解E1(N*,C*,0,0);

ⅲ) 正解E2(N,C,R,B)。

引理3當(dāng)μ<0 時,E0是穩(wěn)定的;當(dāng)μ>0 時,E0是不穩(wěn)定的。其中μ為式(9)的主特征值。

證明考慮系統(tǒng)(2)在E0(z(x),0,0,0)處線性化特征值問題

(11)

且滿足

(12)

的主特征值。

證明考慮系統(tǒng)(2)在E1(N*,C*,0,0)處線性化特征值問題

Λ(ψ1,ψ2,ψ3,ψ4)T=

(13)

且滿足

注意到系統(tǒng)(13)的特征值是由

算子的特征值組成。

(14)

把式(14)的第一,第二個方程相加得到

此時有2種情況:

ⅰ) 若ψ1+ψ2≡0, 則ψ2=-ψ1, 于是式(14)可簡化為

由于ψ2?0,故λ是

4 一致持續(xù)性

記系統(tǒng)(2)～(4)的生物可行域為Y={(N,C,R,B)∈C([0,1],R+4):B(x,t)≥R(x,t)}。 令Ψt:Y→Y是系統(tǒng)(2)～(4)的解映射,Y0={(N,C,R,B)∈Y:C?0,R?0}, ?Y=YY0。借助文獻(xiàn)[16]引理3討論系統(tǒng)(2)～(4)的一致持續(xù)性。

引理5假設(shè)μ>0, 那么E0關(guān)于Y0一致弱排斥, 即?δ1>0,當(dāng)P0=(N0,C0,R0,B0)∈Y0時,有

(15)

證明因為μ>0, 從而存在充分小的ε1>0,使得μ(ε1)>0, 其中μ(ε1)是下列特征值問題的主特征值：

(16)

由函數(shù)的連續(xù)性知存在常數(shù)δ1>0, 當(dāng)

‖N(x,t)-z(x)‖∞<δ1

時,有

f1(N)>f1(z)-ε1

(17)

當(dāng)‖B(x,t)-0‖∞<δ1時,有

(18)

用反證法證明。假設(shè)式(15)不成立, 那么?P0∈Y0,使得

因此,?δ1>0,?T1>0,使得

‖N(x,t)-z(x)‖∞<δ1, ?t≥T1

(19)

‖B(x,t)-0‖∞<δ1,?t≥T1

(20)

‖C(x,t)-0‖∞<δ1,?t≥T1

(21)

根據(jù)式(17)～(20)和系統(tǒng)(2)的第二個方程,得到

(22)

因為P0∈Y0, 由強極值原理容易發(fā)現(xiàn)C(x,T1)>0。 因此, 存在常數(shù)a1,使得

(23)

(24)

從式(22)～(24)和比較原理，得到

x∈[0,1],t≥T1

(25)

證明證明類似于引理 5 的證明。

(26)

證明若P0=(N0,C0,R0,B0)∈Y0,由于假設(shè)(H) 成立, 類似引理 2可得B(x,t,P0)≥R(x,t,P0)。 由強極值原理以及Hopf邊界引理知，?x∈[0,1],t>0，都有C(x,t,P0)>0,R(x,t,P0)>0,B(x,t,P0)>0，所以?t>0,有ΨtY0?Y0。

(27)

定義連續(xù)函數(shù)h:Y→[0,∞]形如

?φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)∈Y

5 分歧解

由定理1知，當(dāng)μ>0系統(tǒng)(2)有半平凡解E1=(N*,C*,0,0), 于是Γ1={(m;N*,C*,0,0):m∈R+} 為系統(tǒng)(2)的半平凡分支。以m作為一個分歧參數(shù), 討論從半平凡點E1產(chǎn)生的正解分支。

引理7假設(shè) (N,C,R,B)是方程(5)的解, 而且C?0,R?0,B?0, 那么

ⅰ) 0

ⅱ)m

由強極值原理得,在[0,1]上N>0。同理可得C>0,B>0,R>0, 因此(ⅰ)成立。

式中M為常數(shù)。

考慮系統(tǒng)(5), 令Q=N*-N,U=C*-C,V=R,G=B, 那么

(28)

其中

顯然,F=(F0,F1,F2,F3)對(Q,U,V,G)是連續(xù)可微的,F(0,0,0,0)=0, 而且F的Fréchet導(dǎo)數(shù)D(Q,U,V,G)F|(0,0,0,0)=0。令

其中M1充分大,使得

f2(C*)-(m*+α)+M1>0

對p>1,令X=(W2,p(0,1))4, 那么X(C1[0,1])4。定義TM1:→R+×X→X如下:

則TM1(m;Q,U,V,G)是X上的緊微分算子。 令

A(m;Q,U,V,G)=(m;Q,U,V,G)-

TM1(m;Q,U,V,G)

那么A:R+×X→X是C1光滑的, 并且A(m;Q,U,V,G)=0,N*-z

L0(m*;0,0,0,0):=D(Q,U,V,G)A(m*;0,0,0,0)

(29)

(30)

類似于文獻(xiàn)[21]的引理 4.1 的證明,可得結(jié)論如下:

引理8方程(30)存在唯一解(Q1,U1)。

引理9問題

(31)

證明由定理2可得結(jié)論成立。

(32)

Z=R(L0(m*;0,0,0,0))=

且

可證(m*;N*,C*,0,0)是系統(tǒng)(5)、(6)的一個分歧點, 而且在它的鄰域內(nèi)，系統(tǒng)(5)、(6)存在正解分支

Γ={(m(s);N(s),C(s),R(s),B(s)):0

其中

應(yīng)用Fredholm算子的全局分歧定理(見文獻(xiàn)[23]定理 4.3～4.4)把局部分支延伸到全局分支。由T:R+×X→X是C1光滑和緊的, 利用文獻(xiàn)[21]定理1.4的證明得Fréchet導(dǎo)數(shù)

D(Q,U,V,G)A(m;Q,U,V,G)

?(m;Q,U,V,G)∈R+×X

是指數(shù)為0的Fredholm算子。應(yīng)用文獻(xiàn)[23]的定理4.3，得到集合

{(m;Q,U,V,G)∈R+×X:A(m;Q,U,V,G)=0, (Q,U,V,G)≠(0,0,0,0)}

C′={(m;N,C,R,B):N=N*-Q,C=C*-U,

R=V,B=G, (m;N,C,R,B)∈C}

那么Γ∈C′。記P={(N,C,R,B)∈(C1[0,1])4:N>0,C>0,R>0,B>0,x∈[0,1]},那么C′∩(R+×P)≠?。令C*=C′∩(R+×P),C*由分歧點 (m*;N*,C*,0,0) 附近的局部正解分支Γ組成, 即C*?(R+×P)在點(m*;N*,C*,0,0) 的小鄰域內(nèi)。 令Γ-={(m(s);N(s),C(s),R(s),B(s)):-δ

ⅱ) 不是緊的；

ⅲ) 包含點 (m;N*-Q,C*-U,R,B), 其中(Q,U,V,G)≠0,(Q,U,V,G)∈Z。

參見文獻(xiàn)[21]定理 1.4 證明，可證ⅰ),ⅲ) 不成立。 由引理7得系統(tǒng)(5)的任意正解 (N,C,R,B) 滿足 0

‖N‖C1, ‖C‖C1, ‖R‖C1, ‖B‖C1≤M。

條件(ⅱ)意味著C*-{(m*;N*,C*,0,0)}?R+×P, 故?

{(m*;N*,C*,0,0)}∩?(R+×P)

(33)