楊宗林， 陳曉勇,2,3， 熊繼軍,2， 張曉明,2， 洪應(yīng)平,2

(1. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051； 3. 中北大學(xué) 化學(xué)工程與技術(shù)學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展， 各國(guó)開(kāi)始關(guān)注地震破壞、 高能爆破和強(qiáng)撞擊等特殊危害的精準(zhǔn)評(píng)估及極端沖擊動(dòng)力學(xué)研究. 三軸加速度計(jì)廣泛應(yīng)用于極端或常規(guī)沖擊和振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測(cè)、 撞擊點(diǎn)定位、 波場(chǎng)重建以及目標(biāo)損傷評(píng)估等方面的研究. 三軸加速度計(jì)用于敏感載體三軸比力， 其性能好壞對(duì)解算監(jiān)測(cè)和定位信息的準(zhǔn)確性有直接影響， 由于三軸加速度計(jì)在轉(zhuǎn)臺(tái)上確定的標(biāo)度因數(shù)矩陣與零位輸出電壓會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化， 因此在無(wú)大型轉(zhuǎn)臺(tái)情況下， 現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定補(bǔ)償方法的研究具有重要意義.

目前， 國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了諸多針對(duì)三軸加速度計(jì)不正交角、 主軸靈敏度與零偏等的補(bǔ)償方法， 例如最大似然數(shù)標(biāo)定補(bǔ)償方法[1-2]， 支持向量機(jī)的加速度計(jì)參數(shù)估計(jì)[3]， 橢球擬合法[4-5]， 自適應(yīng)系數(shù)求解法[6-7], 自適應(yīng)濾波算法[8]， 遺傳算法[9-10]， 粒子群算法[11-12]， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13-14]等參數(shù)估計(jì)方法. 其中橢球擬合法由于現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定快速簡(jiǎn)易穩(wěn)定而應(yīng)用較多， 但是由于存在旋轉(zhuǎn)模糊性， 其精度還是不能滿足日益增加的應(yīng)用需求.

為了提升三軸加速度計(jì)現(xiàn)場(chǎng)快速標(biāo)度的精度， 本文通過(guò)對(duì)三軸加速度計(jì)進(jìn)行標(biāo)定誤差分析， 引入傳統(tǒng)橢球擬合標(biāo)度補(bǔ)償方法， 將旋轉(zhuǎn)模糊性考慮進(jìn)來(lái)， 提出了基于自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化非對(duì)準(zhǔn)誤差矩陣的方法. 在實(shí)際使用橢球擬合的補(bǔ)償方法時(shí)， 都會(huì)采取預(yù)先假設(shè)標(biāo)度因數(shù)矩陣的三角矩陣的方式來(lái)解決旋轉(zhuǎn)模糊問(wèn)題. 然而， 在標(biāo)定補(bǔ)償中， 通常標(biāo)度因數(shù)矩陣的形式是不可預(yù)知的， 因而橢球擬合補(bǔ)償存在非對(duì)準(zhǔn)誤差. 本文通過(guò)橢球擬合方法引入非對(duì)準(zhǔn)誤差， 將旋轉(zhuǎn)模糊問(wèn)題作為研究對(duì)象， 通過(guò)自適應(yīng)遺傳算法對(duì)非對(duì)準(zhǔn)誤差進(jìn)行參數(shù)估計(jì).

1 三軸加速度計(jì)標(biāo)定模型

1.1 三軸加速度計(jì)輸出補(bǔ)償模型

在實(shí)際測(cè)量中， 三軸加速度計(jì)的安裝誤差、 刻度因子以及測(cè)量噪聲等因素會(huì)導(dǎo)致測(cè)量誤差. 因此， 三軸加速度計(jì)的輸出模型為

(1)

U=Ka+U0,

(2)

1.2 橢圓擬合標(biāo)定模型

在室溫下， 同一地點(diǎn)加速度恒定不變， 現(xiàn)假設(shè)現(xiàn)場(chǎng)的重力加速度的模為恒定g， 將式(2)輸出模型轉(zhuǎn)化為加速度校正模型，

a=K-1(U-U0)，

(3)

因此，

‖a‖=‖K-1(U-U0)‖=g.

(4)

對(duì)式(4)變換成標(biāo)準(zhǔn)二次型為

(U-U0)T(K-1)TK-1(U-U0)=g2.

(5)

令

M=(K-1)TK-1/g2，

(6)

聯(lián)立式(5)和(6)， 得到廣義的橢球面方程

(U-U0)TM(U-U0)=1.

(7)

將橢球方程表示為一般形式

2eUxUz+2fUyUz+2gUx+

2hUy+2iUz+2j=0,

(8)

(9)

聯(lián)立式(6)和(9)可得出標(biāo)度因數(shù)矩陣的逆矩陣K-1.

1.3 三軸加速度計(jì)橢球擬合快速標(biāo)定方法的不足

在1.2節(jié)中利用擬合的橢球面方程求解標(biāo)度因數(shù)矩陣K時(shí)， (K-1)TK-1=Mg2需要做對(duì)稱矩陣分解. 然而， 無(wú)論采用cholesky分解[16]、 特征值分解[17]或是其他方法， 都需要假設(shè)標(biāo)度因數(shù)矩陣K為對(duì)角矩陣、 三角矩陣或?qū)ΨQ矩陣的矩陣形式， 從而分解得到對(duì)角矩陣、 三角矩陣或?qū)ΨQ矩陣的矩陣形式的標(biāo)度因數(shù)矩陣的逆矩陣K-1. 一般情況下， 標(biāo)度因數(shù)矩陣K沒(méi)有確定的具體形式， 所以， 分解得到的標(biāo)度因數(shù)矩陣的逆矩陣K-1是不準(zhǔn)確的.

2 基于自適應(yīng)遺傳算法的非對(duì)準(zhǔn)誤差補(bǔ)償方法

2.1 三軸加速度計(jì)輸出橢球擬合補(bǔ)償模型

從幾何角度分析， 造成非對(duì)準(zhǔn)誤差的原因是存在一個(gè)正交矩陣R， 使得橢球擬合標(biāo)定的三軸加速度計(jì)相對(duì)于載體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)了某一個(gè)固定角造成的. 因此， 在橢球擬合的基礎(chǔ)上， 假設(shè)三軸加速度計(jì)坐標(biāo)分別繞z軸，y軸，x軸旋轉(zhuǎn)固定的角度θ1,θ2,θ3變換到載體坐標(biāo)系， 則非對(duì)準(zhǔn)誤差角為θ=(θ1,θ2,θ3)， 因此， 存在正交矩陣R(θ)為

(10)

于是有

K′-1=R(θ)K-1.

(11)

利用式(3)將1.1節(jié)校正的三軸加速度計(jì)的輸出電壓轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)加速度g值， 記為a=[azi,ayi,azi]T,i=1,2,…,n， 則非對(duì)準(zhǔn)誤差補(bǔ)償?shù)募铀俣葹?/p>

(12)

2.2 基于自適應(yīng)遺傳算法的非對(duì)準(zhǔn)誤差補(bǔ)償方法

1) 編碼. 將非對(duì)準(zhǔn)誤差矩陣R(θ)包含的3個(gè)未知數(shù)作為一條染色體上的9段基因， 用實(shí)數(shù)編碼對(duì)種群中的全部基因進(jìn)行初始化.

2) 計(jì)算適應(yīng)值. 適應(yīng)度函數(shù)的選區(qū)直接影響算法的收斂性能. 本文根據(jù)距離的平方和構(gòu)造適度函

(13)

顯然，L(θ)越趨近于零， 非對(duì)準(zhǔn)誤差角越接近實(shí)際值， 對(duì)測(cè)量值的補(bǔ)償標(biāo)定越準(zhǔn)確， 所以， 目標(biāo)函數(shù)為minL(θ).

3) 選擇. 通過(guò)計(jì)算每一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的適應(yīng)度值得到每個(gè)個(gè)體的選擇概率以及累加概率作為選擇區(qū)間， 選擇最優(yōu)的個(gè)體復(fù)制到下一代種群中去.

4) 自適應(yīng)交叉和變異. 交叉和變異是整個(gè)算法的核心， 傳統(tǒng)算法中， 交叉概率過(guò)大會(huì)導(dǎo)致代溝大， 變成了隨機(jī)算法， 而過(guò)小會(huì)導(dǎo)致停滯收斂太慢， 抑制早熟現(xiàn)象的能力就會(huì)較差； 變異概率過(guò)大也會(huì)使基因的遺傳變得不穩(wěn)定， 優(yōu)良的基因容易被破壞， 變異概率過(guò)小導(dǎo)致個(gè)體穩(wěn)定， 容易陷入局部收斂， 搜索不到全局最優(yōu). 因此提出自適應(yīng)交叉和變異概率

(14)

式中：fmax為種群中最大適應(yīng)度值；favg為種群中平均適應(yīng)度值；f為交叉?zhèn)€體中較大的適應(yīng)度值；f′為變異個(gè)體的適應(yīng)度值； 參數(shù)k1=k3=1,k2=k4=0.5.

5) 反復(fù)迭代3)、 4)步直至算法收斂， 適應(yīng)度提升的空間很小， 計(jì)算出非對(duì)準(zhǔn)誤矩陣R(θ).

最后， 通過(guò)式(11)計(jì)算出準(zhǔn)確的標(biāo)定因數(shù)矩陣K和零位輸出電壓U0， 利用輸出補(bǔ)償模型對(duì)三軸加速度計(jì)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)快速標(biāo)定.

3 算法性能分析

為了驗(yàn)證本文所提非對(duì)準(zhǔn)誤差參數(shù)估計(jì)方法的有效性和可行性， 在田曉春等[18]基于轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定的標(biāo)定因數(shù)矩陣K和零位輸出電壓U0基礎(chǔ)上， 創(chuàng)建3組分別繞x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)半徑為1個(gè)g的標(biāo)準(zhǔn)球面數(shù)據(jù)， 如圖 1 所示.

圖 1 標(biāo)準(zhǔn)球形三軸加速度Fig.1 Standard spherical triaxial acceleration

將標(biāo)定因數(shù)矩陣K和零位輸出電壓U0代入輸出電壓模型， 把標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)球面轉(zhuǎn)化為橢球面的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)， 如圖 2 所示. 從圖中可以看出， 標(biāo)準(zhǔn)的球面數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變成了球心不在原點(diǎn)的橢球面數(shù)據(jù)， 下面使用這些數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文算法的可行性.

圖 2 橢球面加速度計(jì)實(shí)際輸出電壓Fig.2 Actual output voltage of ellipsoidal accelerometer

創(chuàng)建測(cè)試數(shù)據(jù)后， 采用橢球擬合對(duì)三軸加速度計(jì)進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的比對(duì)圖如圖 3 所示.

圖 3 三軸加速度計(jì)標(biāo)定補(bǔ)償結(jié)果Fig.3 Calibration compensation results of triaxial accelerometer

通過(guò)自適應(yīng)遺傳算法搜索全局最優(yōu)適應(yīng)度值， 快速收斂到全局最優(yōu)解， 非對(duì)準(zhǔn)誤差參數(shù)估計(jì)全部實(shí)現(xiàn)收斂， 橢球擬合補(bǔ)償?shù)?個(gè)軸的均方誤差分別為1.412 3e-05， 1.424 3e-05， 6.774 6e-08； 本文所提方法補(bǔ)償非對(duì)準(zhǔn)誤差后， 3個(gè)軸的均方誤差分別為1.347 0e-11， 1.383 5e-11， 1.920 2e-11. 從各個(gè)軸向的精度來(lái)看， 精度最大提升了6個(gè)數(shù)量級(jí)， 因此自適應(yīng)遺傳算法可以很好地應(yīng)用在三軸加速度計(jì)非對(duì)準(zhǔn)誤差參數(shù)估計(jì)中. 圖 4 為最優(yōu)適應(yīng)度與平均適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)變化情況， 最終結(jié)果趨近于零.

圖 4 適應(yīng)度收斂過(guò)程Fig.4 Convergence process of fitness

由于上述數(shù)據(jù)不正交角和零位輸出電壓都較小， 而且標(biāo)定的環(huán)境干擾較少， 因此數(shù)據(jù)誤差不大， 旋轉(zhuǎn)模糊性導(dǎo)致的非對(duì)準(zhǔn)誤差顯示不明顯. 本文基于標(biāo)準(zhǔn)球面經(jīng)過(guò)伸縮、 平移、 旋轉(zhuǎn)以及測(cè)量噪聲畸變成不標(biāo)準(zhǔn)橢球的原理， 創(chuàng)建出帶有噪聲的一般橢球面， 再利用本文所提方法進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償， 結(jié)果如圖 5 所示. 在數(shù)據(jù)畸變較大的情況下， 橢球擬合補(bǔ)償?shù)姆菍?duì)準(zhǔn)誤差影響很明顯， 橢球擬合補(bǔ)償?shù)?個(gè)軸的均方誤差分別為0.056 0， 0.204 6， 0.164 3； 本文所提方法補(bǔ)償非對(duì)準(zhǔn)誤差后， 3個(gè)軸的均方誤差分別為0.001 1， 4.307 5e-04， 5.037 7e-04， 驗(yàn)證了基于橢球擬合的標(biāo)定方法存在非對(duì)準(zhǔn)誤差的缺陷以及本文所提非對(duì)準(zhǔn)誤差估計(jì)方法的有效性， 并且在觀測(cè)數(shù)據(jù)受到較大干擾時(shí)， 精度提升了2個(gè)數(shù)量級(jí)， 表現(xiàn)出良好的補(bǔ)償精度.

圖 5 不良數(shù)據(jù)下三軸加速度計(jì)標(biāo)定補(bǔ)償結(jié)果Fig.5 Calibration compensation results of triaxial accelerometer in bad data

4 結(jié) 論

本文所提算法在傳統(tǒng)橢球擬合的基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)遺傳算法非對(duì)準(zhǔn)誤差估計(jì)， 解決了旋轉(zhuǎn)模糊問(wèn)題. 仿真結(jié)果表明， 本文所提補(bǔ)償算法對(duì)三軸加速度計(jì)補(bǔ)償標(biāo)定的精度均方誤差達(dá)到了 0.001 的誤差精度， 在數(shù)據(jù)良好時(shí)， 誤差均方誤差精度達(dá)到了10-11. 在數(shù)據(jù)干擾較大時(shí)， 該算法對(duì)非對(duì)準(zhǔn)誤差的補(bǔ)償表現(xiàn)良好， 解決了傳統(tǒng)橢球擬合旋轉(zhuǎn)模糊的問(wèn)題， 并且有良好的魯棒性和精度.