蘇 俊 謝基偉 王思慧

(1. 江蘇省海安高級(jí)中學(xué),江蘇 海安 226600； 2. 南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023；3. 南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

近些年,從國(guó)際物理奧林匹克賽(IPHO),到亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽(APHO),到泛珠三角物理奧林匹克競(jìng)賽暨中華名校邀請(qǐng)賽,再到全國(guó)中學(xué)生物理奧林匹克競(jìng)賽,其中很多賽題來(lái)源于科研熱點(diǎn),還有一些賽題由專業(yè)物理學(xué)術(shù)論文改編而成．賽題命題結(jié)合科研熱點(diǎn),視角較為新穎,不拘泥于陳題改編．從物理科研背景中引出問(wèn)題,理論聯(lián)系前沿,有利于物理科研創(chuàng)新人才的選拔.

2019年諾貝爾物理獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給了兩個(gè)領(lǐng)域,分別授予詹姆斯·皮布爾斯教授,表彰他在物理宇宙學(xué)的理論貢獻(xiàn);另一半由米歇爾·梅耶教授和迪迪?！た迤澖淌诜窒?他們第一次發(fā)現(xiàn)了一顆圍繞類太陽(yáng)恒星運(yùn)行的系外行星飛馬座51b,[2]開(kāi)啟了人類對(duì)太陽(yáng)系外行星與生命的探索.

根據(jù)exoplanet.eu官網(wǎng)統(tǒng)計(jì),[3]至今人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)4000多顆系外行星．系外行星的主要搜尋方法有徑向速度法、凌星法、微引力透鏡法等．徑向速度法與凌星法是目前最主要的搜尋系外行星的方法．徑向速度法發(fā)現(xiàn)了約20%的系外行星;凌星法發(fā)現(xiàn)了超過(guò)75%的系外行星,這其中絕大部分是由開(kāi)普勒空間望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)的.

IPHO和APHO等物理競(jìng)賽的賽題經(jīng)常涉及科研熱點(diǎn).筆者嘗試用IPHO和APHO的試題的格式來(lái)介紹“系外行星的發(fā)現(xiàn)”． 一方面向中學(xué)生普及諾貝爾獎(jiǎng)的最新發(fā)現(xiàn),另一方面豐富奧賽試題的命題模型.

本文分為以下3部分,前面兩部分分別討論徑向速度法和凌星法發(fā)現(xiàn)系外行星的基本原理．這兩部分內(nèi)容參考了一些科研論文和物理教育方面的論文．[2-5]最后一部分給出了相關(guān)問(wèn)題的解答,供讀者參考.

1 徑向速度法

圖1

米歇爾·梅耶教授和迪迪?！た迤澖淌谠?995年利用徑向速度法第一次發(fā)現(xiàn)一顆圍繞類太陽(yáng)恒星運(yùn)行的系外行星．系外行星本身不發(fā)光,體積很小,且離地球較為遙遠(yuǎn),一般不容易直接觀測(cè)到．恒星與行星構(gòu)成兩體系統(tǒng),它們會(huì)繞共同的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)．恒星圍繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),相對(duì)于地球有周期性變化的徑向速度,這個(gè)速度是恒星速度在地球與恒星連線方向上的分量．人們可以通過(guò)測(cè)量恒星相對(duì)于地球徑向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒效應(yīng)來(lái)計(jì)算這個(gè)徑向速度．在下面的問(wèn)題中,我們假設(shè)恒星—行星系統(tǒng)中只有一顆行星,且軌道均近似為圓周運(yùn)動(dòng),不計(jì)恒星—行星系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)．如圖1,M為恒星,它到質(zhì)心距離為dM,繞質(zhì)心速度為vM,m為行星,它到質(zhì)心距離為dm,繞質(zhì)心速度為vm.為了示意,圖中夸大了質(zhì)心與恒星中心的距離．一般恒星質(zhì)量遠(yuǎn)大于行星質(zhì)量(M?m),質(zhì)心C與恒星中心其實(shí)是非常接近的.

問(wèn)題1:若地球上測(cè)得某靜止光源發(fā)出的Hα譜線波長(zhǎng)為λ0,真空中的光速記作c,在一個(gè)恒星—行星系統(tǒng)中,地球上測(cè)得該恒星Hα譜線的波長(zhǎng)為λ,計(jì)算當(dāng)恒星靠近地球的徑向速度vr.

問(wèn)題2:若恒星—行星雙星系統(tǒng)的軌道平面與我們的視線在同一個(gè)平面內(nèi),測(cè)得恒星Hα譜線最大波長(zhǎng)為λmax,恒星譜線波長(zhǎng)變化的周期為T(mén),當(dāng)恒星、行星、地球三者共線,且行星位于恒星與地球之間開(kāi)始計(jì)時(shí),寫(xiě)出徑向速度vr隨時(shí)間t變化的表達(dá)式.

問(wèn)題3:若已知恒星質(zhì)量M,恒星繞質(zhì)心速度為vM,軌道周期為T(mén),計(jì)算行星的質(zhì)量m,假設(shè)M?m.

2 凌星法

當(dāng)恒星—行星系統(tǒng)的軌道平面與連線夾角較小時(shí),我們會(huì)看到行星會(huì)飛凌恒星的表面,這種現(xiàn)象稱為凌星．發(fā)生凌星時(shí)會(huì)遮擋恒星一部分光線,導(dǎo)致恒星的亮度會(huì)有一定的減弱,如圖2,恒星原亮度為L(zhǎng)0,行星遮擋在恒星前方時(shí)亮度為L(zhǎng),凌星過(guò)程中各時(shí)刻為tA～tD.圖中夸大了這種遮擋效果,事實(shí)上亮度的變化是非常微弱的,一般不到1%．為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),以下問(wèn)題均只考慮圓軌道.

圖2

問(wèn)題1: 已知行星軌道半徑為r,行星的半徑為Rp,恒星的半徑為Rs．(1) 若軌道平面與視線連線夾角為i,計(jì)算發(fā)生凌星現(xiàn)象需要滿足的條件; (2) 若我們不知道軌道平面夾角i,請(qǐng)計(jì)算系統(tǒng)發(fā)生凌星的概率.

問(wèn)題2: 若測(cè)得恒星原來(lái)的亮度為L(zhǎng)0,當(dāng)行星路過(guò)恒星前方時(shí),亮度最小值為L(zhǎng),已知恒星半徑為Rs,假設(shè)恒星與行星相距較遠(yuǎn),恒星光線認(rèn)為是平行光,估算行星的半徑Rp.

問(wèn)題3: 若行星遮擋過(guò)程中各時(shí)刻tA～tD均已知,并已知恒星半徑Rs,且軌道平面與視線連線夾角為0,計(jì)算行星速度vm.

問(wèn)題4:若已知恒星的半徑Rs,行星的半徑Rp,軌道周期為T(mén),軌道半徑r,軌道平面與視線的夾角為i,計(jì)算整個(gè)凌星現(xiàn)象持續(xù)的時(shí)間tT.

3 問(wèn)題解答

3.1 徑向速度法問(wèn)題解答

(1)

波長(zhǎng)變短,頻率變高,發(fā)生藍(lán)移現(xiàn)象;同理,當(dāng)恒星遠(yuǎn)離地球時(shí),頻率變低,發(fā)生紅移現(xiàn)象.

問(wèn)題2: 雙星系統(tǒng)軌道平面與我們的視線方向共面時(shí),不計(jì)質(zhì)心相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng),測(cè)得的最大波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著恒星相對(duì)于質(zhì)心的速度大小為

(2)

當(dāng)從恒星、行星與地球三者共線,且行星在恒星地球之間開(kāi)始計(jì)時(shí),徑向速度大小可以表示為

(3)

即測(cè)得的徑向速度隨時(shí)間變化是正弦圖像.

問(wèn)題3:設(shè)恒星到質(zhì)心的距離為dM,行星到質(zhì)心距離為dm,由開(kāi)普勒第三定律可知

(4)

系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心滿足動(dòng)量守恒定律,有MdM=mdm,代入(4)式,

(5)

3.2 凌星法問(wèn)題解答

問(wèn)題1:行星軌道沿地球的視線方向投影距離為rsini,要發(fā)生凌星現(xiàn)象,必須要滿足:

|rsini|≤Rp+Rs.

(6)

系統(tǒng)發(fā)生凌星的概率為

(7)

(8)

問(wèn)題3:從光變圖像圖2可知,行星的速度vm滿足2Rs=vm(tC-tA),則行星速度為

(9)

(tC-tA)也可以表示為(tD-tB).

圖3 從視線方向看恒星—行星系統(tǒng)(a);從側(cè)面看恒星—行星系統(tǒng)(b)

(10)

4 小結(jié)

本文主要描述了系外行星搜尋的2種主要方法:徑向速度法和凌星法,并按照IPHO和APHO的賽題格式進(jìn)行命題．微引力透鏡的命題思路可以參照“2015年泛珠三角及中華名校物理奧林匹克邀請(qǐng)賽卷2第1題:系外行星的微引力透鏡效應(yīng)”．[1]搜尋系外行星與地外文明是當(dāng)前的熱門(mén)科研課題,激發(fā)了人們對(duì)于外星文明的美好遐想,我們希望本文能夠?qū)Ω信d趣的師生有所幫助,也希望能拓寬物理資優(yōu)生的視野.