張斌 李云召 吳宏春 劉勇 王冬勇 王星博 鐘旻霄

(1.中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 四川成都 610213；2.西安交通大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 陜西西安 710049)

20世紀(jì)70年代以后，得益于粗網(wǎng)節(jié)塊法[1,2]的迅速發(fā)展，以組件均勻化理論[3,4]和粗網(wǎng)節(jié)塊方法為理論框架的兩步法計(jì)算方案逐漸成為了壓水堆工程計(jì)算中普遍采用的燃料管理中子學(xué)數(shù)值計(jì)算方法。伴隨著粗網(wǎng)節(jié)塊法的大量工程應(yīng)用，適用于組件均勻化的均勻化理論得到了長(zhǎng)足的發(fā)展?；诰鶆蚧话阍恚Y(jié)合早期有限差分堆芯計(jì)算的傳統(tǒng)均勻化方法，Kord Smith基于等效均勻化理論提出了能夠用于工程計(jì)算的廣義等效均勻化方法[5]，即在等效均勻化參數(shù)中引入不連續(xù)因子以達(dá)到各節(jié)塊的守恒條件，此化方法很好地滿足了絕大部分商用壓水堆的工程應(yīng)用需求。

隨著科學(xué)研究的不斷深入、計(jì)算條件和對(duì)核設(shè)計(jì)計(jì)算精度要求的不斷提高，傳統(tǒng)的兩步法計(jì)算方案面臨著越來(lái)越嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。為提高堆芯設(shè)計(jì)計(jì)算精度且滿足對(duì)新型反應(yīng)堆堆芯計(jì)算的精度要求，基于均勻化理論的改進(jìn)型兩步法計(jì)算方案全堆芯Pin-by-pin計(jì)算成為了下一代堆芯數(shù)值計(jì)算方法的研究熱點(diǎn)。全堆芯Pin-by-pin計(jì)算減少了堆芯計(jì)算過(guò)程中的近似與假設(shè)，能夠更加精細(xì)地考慮堆芯布置的非均勻性，直接求出單棒功率分布，便于堆芯燃料管理計(jì)算和相應(yīng)的堆芯安全分析。

區(qū)別于組件均勻化的廣義等效均勻化方法，Pin-bypin均勻化計(jì)算中，不連續(xù)因子的計(jì)算[6]不僅與非均勻介質(zhì)本身及其所處環(huán)境有關(guān)，也與堆芯計(jì)算方法相關(guān)。本文研究了廣義等效均勻化方法在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中的理論模型，針對(duì)矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)擴(kuò)散方法和SP3方法推導(dǎo)了零階不連續(xù)因子和二階不連續(xù)因子的計(jì)算公式，通過(guò)SP3方程形式構(gòu)造偽固定源問(wèn)題解決了高階輸運(yùn)方程無(wú)法提供SP3方程中二階中子通量密度的問(wèn)題，并分析了壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中應(yīng)用Pin-by-pin不連續(xù)因子的堆芯計(jì)算精度。

1 不連續(xù)因子的計(jì)算方法研究

廣義等效均勻化方法通過(guò)放寬節(jié)塊表面中子通量密度這一約束條件，來(lái)實(shí)現(xiàn)反應(yīng)率及中子泄漏率的守恒，并提出了新的節(jié)塊與節(jié)塊之間的邊界條件，即均勻化后堆芯內(nèi)界面上中子通量密度乘上不連續(xù)因子后保持連續(xù)，第i節(jié)塊第g能群的不連續(xù)因子定義式如下：

式中：f——不連續(xù)因子；s——節(jié)塊表面；——節(jié)塊非均勻中子面通量，單位（cm2·s）-1；——節(jié)塊均勻中子面通量，單位（cm2·s）-1。

在柵格計(jì)算中，由高階輸運(yùn)計(jì)算可以直接求得各個(gè)柵元各表面的非均勻中子面通量：

而柵元均勻中子面通量的計(jì)算方法則必須要與下游堆芯計(jì)算中所使用的中子學(xué)求解方法保持一致。

1.1 矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)擴(kuò)散方法

本文堆芯低階輸運(yùn)計(jì)算采用矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)節(jié)塊方法，在矩形節(jié)塊中，中子通量密度解析解取六階近似，展開(kāi)方向?yàn)楦髯鴺?biāo)軸的正負(fù)方向，則：

式中：Ci——展開(kāi)系數(shù)；S——中子源項(xiàng)；D——擴(kuò)散系數(shù)；Σr——移出截面；在保證右手系的前提下，。

公式(3)中的六個(gè)積分常數(shù)可由包含節(jié)塊平均中子通量密度和節(jié)塊五個(gè)邊界面上凈中子流密度（以出射流為正）在內(nèi)的六個(gè)定解條件確定。

當(dāng)堆芯中子學(xué)計(jì)算采用指數(shù)函數(shù)展開(kāi)擴(kuò)散方法求解時(shí)，根據(jù)公式(3)和表面出射中子流密度的定義式，可以得到指數(shù)函數(shù)展開(kāi)節(jié)塊方法內(nèi)第i節(jié)塊第g能群入射中子流密度與出射中子流密度之間的響應(yīng)關(guān)系，以u(píng)+方向?yàn)槔?/p>

式中：h——柵元長(zhǎng)度，單位cm；out——出射中子流；in——入射中子流；——系數(shù)；S——中子源。

圖1 KAIST基準(zhǔn)題二維全堆芯布置和幾何結(jié)構(gòu)

圖2 KAIST基準(zhǔn)題二維全堆芯棒功率分布

根據(jù)菲克定律中柵元中子面通量、柵元凈中子流密度與出射入射中子流密度的關(guān)系可以得到如下關(guān)系式：

根據(jù)均勻化前后特征值、各能群反應(yīng)率及中子泄漏率守恒，則在單組件柵格計(jì)算中有如下等式：

聯(lián)立公式(5)和公式(6)：

聯(lián)立公式(1)、公式(2)和公式(7)即可求出指數(shù)函數(shù)展開(kāi)擴(kuò)散方法下柵元的不連續(xù)因子。

1.2 矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)SP3方法

當(dāng)堆芯中子學(xué)計(jì)算采用矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)SP3方法求解時(shí)，通過(guò)與擴(kuò)散方法中相似的推導(dǎo)，根據(jù)均勻化前后特征值、各能群反應(yīng)率及中子泄漏率守恒，零階均勻化面通量與二階均勻化面通量表示如下：

圖3 組件均勻化粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算的棒功率誤差分布

柵格非均勻一步法計(jì)算通常采用高階輸運(yùn)方法進(jìn)行計(jì)算，公式(8)和公式（9）中非均勻零階中子通量密度和零階中子流密度即為柵格輸運(yùn)計(jì)算直接獲得，但非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度無(wú)法無(wú)法由柵格計(jì)算直接提供。根據(jù)SP3方程的形式，非均勻二階中子通量密度矩可由公式(10)計(jì)算得到。通過(guò)高階輸運(yùn)的柵格計(jì)算得到非均勻零階中子通量密度和零階中子流密度，根據(jù)公式(10)右端項(xiàng)構(gòu)造零階中子通量密度的泄漏項(xiàng)作為該方程的固定源項(xiàng)，通過(guò)求解此偽固定源問(wèn)題即可近似求得非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度。

通過(guò)偽固定源方法近似求解出柵格計(jì)算中的非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度后，根據(jù)公式(8)和公式(9)可以求出各階柵元均勻中子面通量。需要注意的是二階面通量的數(shù)值很小，且數(shù)值有正有負(fù)，而偽固定源方法是種近似方法，若按照不連續(xù)因子的定義式(1)進(jìn)行SP3方程中二階通量的不連續(xù)因子的求解會(huì)出現(xiàn)很大的數(shù)值甚至是負(fù)值。不合理的不連續(xù)因子會(huì)導(dǎo)致全堆芯SP3方程迭代求解時(shí)的不收斂。為避免出現(xiàn)這種情況，對(duì)二階中子通量密度的不連續(xù)因子的求解關(guān)系式重新定義如下：

式中：s——節(jié)塊表面。

根據(jù)公式(1)和公式(11)可以得到SP3方程中零階和二階不連續(xù)因子，相應(yīng)地，在SP3方法進(jìn)行全堆芯Pin-by-pin計(jì)算求解時(shí)，節(jié)塊內(nèi)部邊界的耦合條件應(yīng)為（以u(píng)方向?yàn)槔?/p>

2 計(jì)算結(jié)果分析

為驗(yàn)證超級(jí)均勻化方法在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中的計(jì)算精度，本節(jié)以KAIST基準(zhǔn)題2A問(wèn)題[7]下的二維全堆芯問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證與分析，堆芯布置和幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖4 堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布

圖5 堆芯Pin-by-pin SP3計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布

表1 堆芯兩步法計(jì)算的特征值誤差和棒功率誤差

采用堆芯Pin-by-pin計(jì)算和堆芯組件均勻化粗網(wǎng)計(jì)算兩種方案進(jìn)行堆芯計(jì)算并加以分析和比較：

（1）依據(jù)廣義等效均勻化理論模型，針對(duì)擴(kuò)散方法（P1）和簡(jiǎn)化球諧函數(shù)方法（SP3）利用柵元不連續(xù)因子（PDF）分別產(chǎn)生兩群和七群的等效均勻化少群常數(shù)，并在指數(shù)函數(shù)展開(kāi)節(jié)塊法中進(jìn)行全堆芯Pin-by-pin計(jì)算；

（2）根據(jù)傳統(tǒng)組件均勻化計(jì)算方法，產(chǎn)生兩群帶組件不連續(xù)因子（ADF）的組件等效均勻化常數(shù)并采用先進(jìn)變分節(jié)塊方法進(jìn)行堆芯計(jì)算。變分節(jié)塊方法在空間處理上直接針對(duì)中子通量密度分布進(jìn)行離散，因此不需要功率重構(gòu)過(guò)程而能直接得到中子通量密度分布，通過(guò)形狀因子的求解即可得到堆芯棒功率分布。

二維堆芯參考解由Bamboo-Lattice2.0一步法計(jì)算獲得，特征值參考解為0.97948，棒功率分布如圖2所示。堆芯兩步法計(jì)算的特征值誤差和棒功率誤差如表1所示。由表1的結(jié)果可知：堆芯Pin-by-pin SP3計(jì)算的計(jì)算精度普遍高于組件均勻化的堆芯粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算；除由于誤差抵消導(dǎo)致計(jì)算精度提高的兩群擴(kuò)散計(jì)算外，堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算的計(jì)算精度都低于組件均勻化的堆芯粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算。因此，SP3方法是堆芯Pin-by-pin計(jì)算的必要條件；隨著能群數(shù)的增加，堆芯Pin-by-pin簡(jiǎn)化球諧函數(shù)計(jì)算精度顯著提高。七群SP3計(jì)算中特征值誤差小于50pcm，最大棒功率相對(duì)誤差低于2%，相對(duì)棒功率誤差的AVG，MRS，MRE在1%以下；而在組件均勻化的粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算中，特征值誤差為219pcm，最大棒功率相對(duì)誤差接近10%。因此，七群是適用于堆芯Pin-by-pin計(jì)算精度的能群數(shù)目。

組件均勻化粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算的棒功率誤差分布如圖3所示，堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算和SP3計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布分別如圖4和圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，最大棒功率相對(duì)誤差出現(xiàn)在組件與組件交界面以及燃料柵元與反射層交界面附近。這是堆芯內(nèi)組件真實(shí)環(huán)境與單組件計(jì)算中全反射邊界條件之間的不同所導(dǎo)致的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中采用廣義等效均勻化方法作為均勻化技術(shù)，對(duì)矩形指數(shù)函數(shù)展開(kāi)擴(kuò)散方法和SP3方法推導(dǎo)了零階不連續(xù)因子和二階不連續(xù)因子的計(jì)算公式，產(chǎn)生了適用于擴(kuò)散計(jì)算和SP3計(jì)算的Pin-bypin等效均勻化參數(shù)?；贙AIST基準(zhǔn)題，分析了壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中應(yīng)用Pin-by-pin不連續(xù)因子的堆芯計(jì)算精度，與傳統(tǒng)組件均勻化計(jì)算方法相比，應(yīng)用了廣義等效均勻化方法的壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算的計(jì)算精度更高。7群簡(jiǎn)化球諧函數(shù)方法是高精度堆芯Pin-by-pin計(jì)算方案的實(shí)施策略，與KAIST基準(zhǔn)題一步法計(jì)算結(jié)果相比，其特征值誤差小于50pcm，最大棒功率相對(duì)誤差小于2%，相對(duì)棒功率誤差的AVG，MRS，MRE都在1%以下。