周期性軌道缺陷態(tài)研究

柯文華， 李 祥， 魏 曉

(1. 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031； 2. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 四川成都 610031)

近些年我國(guó)軌道交通快速發(fā)展，列車(chē)運(yùn)行速度和密度都在不斷提高，輪軌之間的相互作用也隨之不斷加劇，由此引起的環(huán)境振動(dòng)與噪聲問(wèn)題逐漸進(jìn)入人們的視野，得到越來(lái)越多的重視。軌道作為一種向上承載列車(chē)荷載、向下傳遞輪軌作用力的結(jié)構(gòu)，它的振動(dòng)傳遞特性在解決軌道交通引起的環(huán)境振動(dòng)與噪聲問(wèn)題中顯得尤為重要。

為了方便施工與養(yǎng)護(hù)維修，軌道通常被設(shè)計(jì)成一種周期性結(jié)構(gòu)，最明顯的就是扣件呈現(xiàn)一定距離的周期性排列。以鋼軌-扣件系統(tǒng)為研究對(duì)象，可將鋼軌考慮成周期支撐梁模型，將最小的周期單元稱(chēng)為元胞，軌道結(jié)構(gòu)的元胞如圖1所示。

圖1 周期軌道結(jié)構(gòu)

近代固體物理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)周期結(jié)構(gòu)具有重要的物理特性，即衰減域特性，又稱(chēng)之為振動(dòng)帶隙特性：當(dāng)振動(dòng)在周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，某些頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)不能通過(guò)，則這些頻率段稱(chēng)之為帶隙或禁帶；而某些頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)可以通過(guò)，稱(chēng)之為通帶[1]。

由于軌道結(jié)構(gòu)存在周期性，而周期結(jié)構(gòu)又具有帶隙特性，因此有許多學(xué)者以周期結(jié)構(gòu)帶隙理論來(lái)研究軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

西南交通大學(xué)王平老師在文獻(xiàn)[2]中運(yùn)用傳遞矩陣方法和Bloch理論，通過(guò)Matlab編程計(jì)算，發(fā)現(xiàn)在周期性支撐的軌道結(jié)構(gòu)中存在帶隙。易強(qiáng)利用U變換法計(jì)算2種具有無(wú)限長(zhǎng)周期軌道特征的軌道模型在靜荷載作用下的精確解[3]。孟鐸基于局域共振原理研究軌道周期性結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，并在軌道上周期性附加吸振器，研究周期結(jié)構(gòu)帶隙特性在軌道減振中的應(yīng)用[1]。陳代秀運(yùn)用ANSYS建立車(chē)-軌耦合模型發(fā)現(xiàn)扣減的周期性布置對(duì)輪軌力有一定的影響[4]。

以上研究均表明扣件周期性支撐會(huì)使軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)存在帶隙，但都是針對(duì)嚴(yán)格周期軌道結(jié)構(gòu)而言的，現(xiàn)實(shí)運(yùn)營(yíng)路線經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)彈條斷裂、軌下橡膠墊板失效等情況，破壞軌道結(jié)構(gòu)嚴(yán)格的周期性，這樣必然會(huì)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性帶來(lái)一定的影響，因此本文基于Bloch定理，結(jié)合超元胞理論，用有限元計(jì)算方法，建立含缺陷的周期性軌道結(jié)構(gòu)超元胞，研究扣件受損或失效對(duì)周期性軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響。

1 有限元法軌道結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)計(jì)算

解析解模型都過(guò)于簡(jiǎn)化和理想化，與現(xiàn)實(shí)情況相差較大，而有限元算法能考慮復(fù)雜的邊界條件，使計(jì)算結(jié)果更加接近現(xiàn)實(shí)，而且可利用現(xiàn)有的專(zhuān)業(yè)軟件如ANSYS、ABAQUS等，操作方便，已有學(xué)者運(yùn)用有限元法對(duì)周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行過(guò)相關(guān)研究[5-8]。由于以上優(yōu)點(diǎn)，本文采用基于ANSYS的有限元方法進(jìn)行建模計(jì)算，鋼軌和扣件分別采用beam4梁?jiǎn)卧蛷椈蓡卧M(jìn)行模擬，模型如圖2所示。

圖2 模型示意

對(duì)包含任意N個(gè)元胞的周期軌道結(jié)構(gòu)應(yīng)用有限元方法離散后可得到廣義特征值方程：

KU=ω2MU

(1)

該方程可縮聚到一個(gè)元胞子結(jié)構(gòu)中[9]，因此運(yùn)用有限元法研究周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)只需對(duì)單個(gè)元胞子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，在整個(gè)結(jié)構(gòu)中提取單個(gè)元胞，采用有限元技術(shù)將單個(gè)元胞進(jìn)行離散化處理，然后根據(jù)周期元胞之間的邊界條件，運(yùn)用Bloch定理對(duì)其進(jìn)行處理，可以得到相對(duì)應(yīng)的各個(gè)振動(dòng)模態(tài)[10]。

將圖1虛線中的單個(gè)元胞提取出來(lái)如圖3所示。

圖3 單個(gè)元胞示意

該元胞的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(k-ω2m)u=F

(2)

根據(jù)Bloch定理，周期結(jié)構(gòu)元胞的邊界點(diǎn)之間的位移和力之間存在如下關(guān)系：

ur=ulei(qk·a)Fr=-Flei(qk·a)

(3)

式中：qk表示波矢，a表示元胞長(zhǎng)度，即扣件間距，可得：

u=AuBF=BFB

(4)

(5)

將式(5)代入式(2)后得到：

(k-ω2m)AqB=BFB

(6)

式(7)兩邊乘A的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣AH，又Fi=0，可得：

(7)

式(7)是一個(gè)典型的矩陣特征值問(wèn)題。特征值問(wèn)題的形成與求解還依賴(lài)于邊界條件的處理，將節(jié)點(diǎn)位移寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，即：

u=uR+iuI

(8)

上標(biāo)I、R分別代表實(shí)部和虛部。

將式(8)代入式(3)，又ei(qk·a)=cos(qk·a)+isin(qk·a)，可得：

(9)

求解關(guān)于周期結(jié)構(gòu)的Hermitain特征值問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為求解在式(9)約束條件下單個(gè)周期子結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題。由于特征值方程分成了實(shí)部和虛部，所以需要建立兩個(gè)完全相同的元胞子結(jié)構(gòu)有限元模型。在通用有限元軟件ANSYS中建立頻率提取分析步，沿不可約Brillouin區(qū)邊界選取波矢，分別求解每個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的特征值，就可以得到能帶結(jié)構(gòu)ωn(k)。取多個(gè)元胞子結(jié)構(gòu)組合成超元胞，在超元胞中引入受損扣件，以此超元胞計(jì)算含缺陷的周期軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性。

2 有限元模型計(jì)算結(jié)果

鋼軌采用CHN60軌，截面面積為7 745 mm2，截面慣性矩為3.217×10-5m4，彈性模量為210 GPa，扣件間距a=0.625 m，扣件剛度取值如下表1所示：

表1 扣件剛度參數(shù)

取30個(gè)元胞組成超元胞，受損扣件位于正中間，根據(jù)理論推導(dǎo)部分可知，需要建立兩個(gè)完全相同的元胞子結(jié)構(gòu)有限元模型分別代表特征方程的實(shí)部和虛部，圖中的上面那條線代表實(shí)部模型，下面的代表虛部模型(圖4)。

圖4 模型示意

由于在橫向振動(dòng)分析時(shí),梁模型無(wú)法反映鋼軌于軌頭處橫向激勵(lì)引起的扭轉(zhuǎn)變形,計(jì)算結(jié)果與實(shí)體模型差別較大，而且鋼軌從1 200Hz開(kāi)始會(huì)發(fā)生較大的截面變形振動(dòng)，Beam4梁?jiǎn)卧獰o(wú)法模擬這種截面變形[11]，故本文只研究1 200Hz內(nèi)鋼軌垂向與縱向振動(dòng)，通過(guò)分別改變扣件垂向剛度kv和縱向剛度kl來(lái)簡(jiǎn)單模擬扣件受損，以研究這種缺陷對(duì)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。

2.1 改變垂向剛度

Kv依次等于Kv,0、0.75Kv,0、0.5Kv,0和0，其中Kv,0為扣件正常垂向剛度，不同扣件剛度下鋼軌垂向振動(dòng)的能帶曲線如圖5所示。

(a)Kv=Kv,0

(b)Kv=0.75Kv,0

(c)Kv=0.5Kv,0

(d)Kv=0圖5 垂向振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)曲線

由圖5可知，在不同Kv值下，130～1 200Hz范圍內(nèi)垂向振動(dòng)都有對(duì)應(yīng)的波矢，相應(yīng)的振動(dòng)能正常傳遞，這種振動(dòng)不受抑制的頻帶即為通帶。在0～130Hz范圍內(nèi)的能帶曲線比較密集，現(xiàn)分別對(duì)圖5(a)～圖5(d)在0～13Hz頻段內(nèi)進(jìn)行局部放大，如下圖6(a)～圖6(d)所示。

(a)Kv=Kv,0

(b)Kv=0.75Kv,0

(c)Kv=0.5Kv,0

(d)Kv=0圖6 0～130 Hz頻帶內(nèi)局部放大

將圖6中的帶隙及缺陷態(tài)頻率匯總?cè)绫?所示。

當(dāng)Kv=Kv,0時(shí)，為嚴(yán)格周期結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)圖6 (a)，可知在0～129.2Hz頻帶內(nèi)，垂向振動(dòng)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的波矢k，說(shuō)明此頻帶范圍內(nèi)的垂向振動(dòng)波在結(jié)構(gòu)中無(wú)法傳播，這個(gè)頻帶稱(chēng)為帶隙，與通帶相對(duì)應(yīng)，也被稱(chēng)作禁帶。這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[1]結(jié)果一致，證明有限元法結(jié)合超元胞算法的正確性。從圖6(b)～圖6(d)可知，不同扣件下都存在0～129.2Hz的帶隙，但是在帶隙內(nèi)，還有一個(gè)平直帶，此即為缺陷態(tài)，當(dāng)缺陷處扣件剛度從0.75Kv,0變化至0時(shí)，該固定頻率從126.7Hz降到112.6Hz，說(shuō)明這個(gè)特定頻率的振動(dòng)是因?yàn)槭軗p扣件剛度變化而引起的，且隨剛度的減小而減小。觀察能帶曲線的帶邊頻率振型以及缺陷態(tài)頻率振型(圖7)。

表2 扣件剛度參數(shù)

(a)帶邊振型

(b)缺陷處振型圖7 振型示意

從圖7(a)可知，帶邊頻率處表現(xiàn)為鋼軌整體的垂向平移振動(dòng)，在缺陷態(tài)頻率處，鋼軌的振動(dòng)被局域化在受損扣件附近，這種局域化會(huì)使原本受損的扣件產(chǎn)生較大的振動(dòng)，加速受損扣件的破壞失效。

在帶隙之外的能帶曲線與無(wú)缺陷時(shí)基本一致，說(shuō)明振動(dòng)正常傳播，在通帶范圍內(nèi)的陣型如下圖所示，扣件缺陷并沒(méi)有對(duì)陣型產(chǎn)生明顯的影響。

2.2 改變縱向剛度

與垂向剛度一樣，將縱向剛度KL分成4個(gè)值，依次為KL,0、0.75KL,0、0.5KL,0和0。

由圖8可知，縱向振動(dòng)帶隙為0～71Hz，改變扣件縱向剛度對(duì)縱向振動(dòng)的帶隙特性沒(méi)有影響，且沒(méi)有出現(xiàn)缺陷態(tài)，這是因?yàn)殇撥壉旧砜v向剛度比較大，扣件縱向剛度對(duì)鋼軌縱向振動(dòng)影響很小。此時(shí)的帶邊振型如圖9所示，為鋼軌的縱向伸縮振動(dòng)。

(a)KL=KL,0

(b)KL=0.75KL,0

(c)KL=0.5KL,0

(d)KL=0

圖9 帶邊振型

3 結(jié)論

通過(guò)有限元方法結(jié)合超元胞理論，建立30跨軌道結(jié)構(gòu)有限元模型，并添加周期性邊界條件，改變中間扣件垂向、縱向剛度來(lái)模擬扣件受損，從周期結(jié)構(gòu)帶隙特性理論的角度研究單個(gè)扣件受損引起的軌道結(jié)構(gòu)缺陷對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響。計(jì)算分析可得如下結(jié)論：

(1)周期性支撐的軌道結(jié)構(gòu)在垂向和縱向振動(dòng)方向上都存在帶隙，且垂向振動(dòng)帶隙為0～129.2Hz，縱向振動(dòng)帶隙為0～71Hz。

(2)扣件垂向剛度減小會(huì)在垂向帶隙內(nèi)引起平直帶，且平直帶頻率隨著扣件垂向剛度的減小而減小，該平直帶頻率的振動(dòng)波被局域在受損扣件處，會(huì)進(jìn)一步加快受損扣件的破壞失效。

(3)改變扣件縱向剛度對(duì)縱向振動(dòng)帶隙無(wú)明顯影響，且?guī)秲?nèi)沒(méi)有出現(xiàn)平直帶。